Bölmeden
kalanı bilmek.
1279 sayısının 8’e bölümünden kalanı bulmak için uzun bölme yapmana gerek yok: son üç basamağa bak, 279’un 8’e bölümünden kalan neyse odur. Sayıyı basamaklarına çözümlediğinde geriye kalan tek parça budur; gerisi zaten bölünüyordur. Bu ünite, o “geriye kalan parçayı” her bölen için ayrı ayrı bulmayı öğretiyor.
a, b, c ve k doğal sayıları için bölme algoritmasına göre a = b · c + k ve k < b olmak üzere a’nın b ile bölümünden kalan k’dir. Buradaki iki şart birlikte çalışır: c bölüm, k kalandır ve kalan her zaman bölenden küçüktür. Aşağıdaki sayı doğrusunda b’lik adımlar atılıyor; son adımdan sonra geriye kalan kısa parça kalandır.
Açı ölçmede tam açının 360 derece kabul edilmesinin kökeni MÖ 2000 yıllarında Mezopotamya’da yaşamış Babillilere dayanır. Babilliler sayı sistemi olarak 60 tabanlı bir sistem kullanıyorlardı; 60’ın 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20 ve 30’a bölünebilmesi hesaplamaları kolaylaştırıyordu. 360 sayısı da 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ve 10’un hepsine tam bölünür — kalan hiçbirinde çıkmaz. Bu yüzden dairesel açıölçer 360’a bölünmüştür.
Bu beş bölende kalanı sayının tamamı değil, son birkaç basamağı belirler. Sebebi basamak değerleridir: 10, 100, 1000 sayılarının kendileri 2’ye, 4’e ya da 8’e bölünür; bölünmeyen tek parça sonda kalır. Aşağıda bölen düğmesini değiştir, hangi basamakların işe yaradığını gör.
2 ile: kalan, birler basamağındaki rakamın 2 ile bölümünden kalana eşittir. Son rakam çiftse 0, tekse 1.
5 ile: kalan, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir. Rakam 7 ise kalan 2’dir.
10 ile: kalan doğrudan birler basamağındaki rakama eşittir.
4 ile: kalan, son iki basamağı oluşturan sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
8 ile: kalan, son üç basamağı oluşturan sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Neden: 10 = 2 · 5, 100 = 4 · 25, 1000 = 8 · 125. Bu basamaklardan yukarısı ilgili bölene zaten tam bölünür.
152 → 2 ile kalan 0 · 5 ile kalan 2 · 10 ile kalan 2 · 4 ile kalan 0 (52 tam bölünür) · 8 ile kalan 0 (152 = 8 · 19).
1279 → 2 ile kalan 1 · 5 ile kalan 4 · 10 ile kalan 9 · 4 ile kalan 3 (79 = 4 · 19 + 3) · 8 ile kalan 7 (279 = 8 · 34 + 7).
Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Aynısı 9 için de geçerlidir. Toplam hâlâ büyükse işlemi tekrarlayabilirsin: 4728 → 21 → 3. Aşağıdaki panoda sayıyı değiştir, indirgeme zincirini izle.
252 → rakamlar toplamı 2 + 5 + 2 = 9 → 3 ile bölümünden
kalan 0, 9 ile bölümünden kalan 0. Gerçekten 252 = 3 · 84 = 9 · 28.
1472 → 1 + 4 + 7 + 2 = 14 → 3 ile bölümünden kalan 2,
9 ile bölümünden kalan 5. Uzun bölme de aynısını verir: 1472 = 3 · 490 + 2 = 9 · 163 + 5.
Bu kurallar ezberlenecek şeyler değil; her biri tek satırlık bir çözümlemeden çıkıyor. Beş basamaklı abcde sayısını açalım.
abcde = 10 000a + 1000b + 100c + 10d + e
= 2(5000a + 500b + 50c + 5d) + e
Parantezdeki kısım 2 ile çarpıldığı için tam bölünür; kalanı belirleyen tek şey e rakamıdır. Aynı açılım 5 ve 10 için de kurulur: 10d + 100c + … zaten 5’in de 10’un da katıdır.
abcde = 10 000a + 1000b + 100c + 10d + e
= 4(2500a + 250b + 25c) + de
100’den yukarısı 4’e tam bölünür; geriye de yani son iki basamaklı sayı kalır. 8 için aynı işlem 1000 = 8 · 125 ile yapılır ve geriye cde kalır.
abcde = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a + b + c + d + e)
= 3(3333a + 333b + 33c + 3d) + (a + b + c + d + e)
Her basamak değerinden 1 çıkarıldığında (9, 99, 999, 9999) ortaya çıkan sayılar 3’e tam bölünür. Geriye rakamlar toplamı kalır.
abcde = 9(1111a + 111b + 11c + d) + (a + b + c + d + e)
9999, 999, 99 ve 9 sayılarının hepsi 9’un katıdır. Bu yüzden 3 ve 9 kuralları aynı çözümlemenin iki okunuşudur — 3 kuralı işe yarıyorsa 9 kuralı da yarar.
Aynı fikir 11 için de çalışır ama bu kez işaretler dönüşümlüdür: 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 1001 − 1 … Bu yüzden bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamlar sondan başlayarak sırayla toplanıp çıkarılır. Örnek: 2 4 8 6 → 6 − 8 + 4 − 2 = 0 → 2486 sayısı 11’e tam bölünür.
Bir doğal sayı başka bir doğal sayıya tam bölünüyorsa bölen sayının aralarında asal çarpanlarına da tam bölünür. Yani 12 ile bölünen bir sayı hem 3’e hem 4’e bölünür; tersi de doğrudur, hem 3’e hem 4’e bölünen bir sayı 12’ye bölünür. Şart önemlidir: çarpanlar aralarında asal olmalı. 60 sayısı hem 2’ye hem 4’e bölünür ama 8’e bölünmez — çünkü 2 ile 4 aralarında asal değildir.
Bir sayının 12’ye bölümünden kalan a ise, o sayının 3 ve 4’e bölümünden kalanlar, a sayısının 3 ve 4’e bölümünden kalanlara eşittir. Aşağıdaki tablo bunu üç sayı üzerinde gösteriyor:
| Bölünen | 12 | 3 | 4 | 45 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 175 | 7 | 1 | 3 | 40 | 0 | 4 |
| 218 | 2 | 2 | 2 | 38 | 3 | 2 |
| 286 | 10 | 1 | 2 | 16 | 1 | 7 |
Satırları oku: 175’in 12’ye bölümünden kalan 7’dir; 7’nin 3’e bölümünden kalan 1, 4’e bölümünden kalan 3 — tablodaki değerlerin aynısı. 175’in 45’e bölümünden kalan 40’tır; 40’ın 5’e bölümünden kalan 0, 9’a bölümünden kalan 4 — yine aynı. Genel ifade: bir doğal sayının 12’ye bölümünden kalan a, 3 ve 4’e bölümünden kalanlar sırasıyla b ve c ise, a’nın 3 ve 4’e bölümünden kalanlar da sırasıyla b ve c’dir.
6 = 2 · 3 — ikisi aralarında asal, kural çalışır.
12 = 3 · 4 · 15 = 3 · 5 ·
45 = 5 · 9 · 36 = 4 · 9
Yanlış ayrıştırmalar: 12 = 2 · 6 (aralarında asal değil), 8 = 2 · 4 (değil), 36 = 6 · 6 (değil). Bu ayrıştırmalarla yapılan çıkarım yanlış sonuç verir.
Kalanı iki yolla bulabilirsin: basamak çözümlemesi (sayıyı basamak değerlerine ayırıp bölünen kısımları atmak) ve kat ilişkisi (bölenin sayıya en yakın katını bulup farkı almak). Aşağıya bir sayı yaz, sayfa yedi bölen için kalanı ve hangi kuralla bulunduğunu birlikte yazsın.
Basamak çözümlemesi: 72 = 70 + 2. 70 sayısı 5’e tam bölünür, geriye 2 kalır → kalan 2.
Kat ilişkisi: 72 = 5 · 14 + 2. Beşin 72’ye en yakın alt katı 70’tir → kalan 2.
Diğer değerler: 87 → kalan 2 · 143 → kalan 3 · 2549 → kalan 4. 4 ile bölümünden kalanlar: 32 → 0 · 121 → 1 · 1453 → 1. Hangisi ne zaman: sayı büyükse basamak kuralı (son iki-üç basamak, rakamlar toplamı) çok daha hızlıdır; sayı küçükse kat ilişkisi doğrudan görülür.
Arama kutusuna bir kalan değeri ya da sayı yaz; sütun süzgeciyle yalnız tek bir bölene de bakabilirsin.
Aşağıdaki problemlerin hepsinde bilinmeyen bir sayı var ve elimizde yalnız kalanlar var. Kalanlar, sayıyı adım adım daraltıyor.
Beş varilin her biri 127 litre; şişeler 2, 4, 5, 8 ve 10 litrelik. Şişeleme sonrası artan
miktarlar 127’nin bu sayılara bölümünden kalanlardır:
2 → 1, 4 → 3, 5 → 2, 8 → 7, 10 → 7.
Toplam: 1 + 3 + 2 + 7 + 7 = 20 litre.
Miray yalnız 9 TL’lik mavi bilye almış ve 7 TL kalmış → parası 9y + 7 biçiminde, yani 9’a
bölümünden kalan 7. 90, 118, 120, 142, 155 arasında bu şartı sağlayan tek sayı
142.
Buğra yalnız 3 TL’lik beyaz bilye almış, 1 TL kalmış → 3’e bölümünden kalan 1: 118 ve 142.
142 Miray’ın olduğuna göre Buğra’nınki 118 TL.
Öğrenciler ABC sayısının rakamlarının yerini değiştirip farkın mutlak değerini alıyor.
Beş olası fark çözümlendiğinde hepsi 9’un katı çıkar: |9(B − C)|, |90(A − B)|,
|9(11A − 10B − C)|, |99(A − C)|, |9(10A + B − 11C)|.
Yani her şifre 9’un katı olmalı. 027, 180, 225, 495
sayıları 9’a tam bölünüyor; 478’in 9 ile bölümünden kalan
1 olduğu için hatalı üretilen şifre odur.
Tutar dört basamaklı a03b sayısı ve 45’e tam bölünmeli. 45 = 5 · 9 (aralarında asal) →
sayı hem 5’e hem 9’a bölünmeli.
5’e bölünme için b = 0 ya da b = 5. b = 0 ise a030 için rakamlar toplamı a + 3 = 9’un katı
→ a = 6, sayı 6030. b = 5 ise a035 için a + 8 = 9’un katı → a = 1, sayı 1035.
En az tutar istendiğinden 1035 TL; bardak sayısı
1035 / 45 = 23 adet.
15 = 3 · 5 → 15’e bölümünden kalan 8 ise 3’e bölümünden kalan 8’in 3’e bölümünden kalanı
(2), 5’e bölümünden kalan 8’in 5’e bölümünden kalanıdır (3).
5 ile kalan 3 → B = 3 ya da B = 8.
3 ile kalan 2: 74A3 için 7 + 4 + A + 3 = 14 + A → A ∈ {0, 6, 9}; 74A8 için 19 + A →
A ∈ {1, 7}.
Toplam: 0 + 1 + 6 + 7 + 9 = 30.
82A’nın 9 ile kalanı 7 → 10 + A ≡ 7 → A = 6.
3AB = 36B’nin 4 ile kalanı 3 → 6B sayısı 4’e bölününce 3 kalmalı → B = 3 ya da 7; rakamlar
farklı olacağı için B = 7.
7ABC = 767C’nin 8 ile kalanı 2 → son üç basamak 67C: 670 + C, 670’in 8 ile kalanı 6 →
6 + C ≡ 2 (mod 8) → C = 4.
Buradan 84CBA = 84476: 3 ile kalanı 2 (rakamlar toplamı
29), 5 ile kalanı 1, 10 ile kalanı 6.
Numaralar 408, 412, 424, 438, 446, 457, 474 arasından seçilecek.
Okul: 5 ile kalan 3, 4 ile kalan 2 → 438.
Kütüphane: 3 ile kalan 1, 10 ile kalan 4 → 424.
Tiyatro: 9 ile kalan 7, 8 ile kalan 1 → 457.
4 ile kalan 3 → son iki basamak 7B: 70 + B, 70’in 4 ile kalanı 2 → B ∈ {1, 5, 9}.
9 ile kalan 2 → A + 1 + 7 + B ≡ 2 (mod 9) → A + B = 3 ya da 12.
Rakamların farklı olma şartıyla tek çözüm 3179
(B = 9, A = 3): 79’un 4 ile kalanı 3, rakamlar toplamı 20’nin 9 ile kalanı 2.
Uzun kenarda köşelerden 4’er metre boşluk bırakılıp her 9 metrede bir çınar dikiliyorsa
uzun kenar 8 + 9k biçimindedir; 200’den büyük en küçük değer
206 m.
Kısa kenarda köşelere 1’er metre boşlukla her 3 metrede bir çam dikiliyorsa kısa kenar
2 + 3m biçimindedir; 100’den büyük en küçük değer 101 m.
Çevre = 2 · (206 + 101) = 614 metre.
Yol dört basamaklı, binler basamağı 2, onlar basamağı 7 ve 36 ile bölümünden kalan 13.
Bu şartları sağlayan sayılar 2173 ve 2677’dir.
“En çok” istendiğine göre yol 2677 metre
(2677 = 36 · 74 + 13; 74 ışıklandırma yapılır, geriye 13 metre kalır).
“Hem 2’ye hem 4’e bölünüyorsa 8’e de bölünür” yanlıştır: 60 sayısı 2’ye de 4’e de bölünür ama 8’e bölünmez. Kural yalnız aralarında asal çarpanlarda geçerlidir: 8 = 8, 12 = 3 · 4, 45 = 5 · 9.
Bölme algoritmasında k < b şartı vardır. “7’ye bölümünden kalan 9” gibi bir ifade tanım gereği imkânsızdır. Cevabın bölenden büyük çıktıysa hesabında bir adım eksiktir.
Rakamlar toplamı yalnız 3 ve 9 için çalışır. 1236’nın rakamları toplamı 12; bu, sayının 4’e bölünmesiyle ilgili hiçbir şey söylemez. 4 için son iki basamağa (36) bakılır.
1472’nin rakamlar toplamı 14’tür ama 3 ile bölümünden kalan 14 değil, 14’ün 3 ile bölümünden kalan olan 2’dir. Toplamı bulmak işin yarısıdır; ikinci adımı atlamak en sık yapılan hatadır.
Problemde “şişeleme sonrası varilde 7 litre kaldı” demek 7’nin kalan olduğu anlamına gelir. Ama “7 litre eksik kaldı” demek kalanın bölen eksi 7 olduğu anlamına gelir. Cümleyi bölme algoritmasına çevirmeden hesaba başlama.
A17B ve 3AB gibi sorularda “rakamları farklıdır” cümlesi süs değildir; iki adayı birden eleyen tek bilgi çoğu zaman odur. Bulduğun her adayı şartların tamamına geri koy.
Sorular karışık geliyor; bazıları hesap, bazıları “hangi kural işe yarar” sorusu.
Bugün salıysa 100 gün sonra hangi gün? 100’ün 7 ile bölümünden kalan 2 → salıdan iki gün sonra, yani perşembe. Takvim soruları hep 7’ye bölme kalanıdır.
12 şarkılık liste sürekli tekrarlanıyor. 100. sırada çalan şarkı, 100’ün 12 ile bölümünden kalanla bulunur: kalan 4 → listedeki 4. şarkı.
Cebinde 47 TL var, tanesi 9 TL olan tost alacaksın. 47 = 9 · 5 + 2 → 5 tost alır, 2 TL artar. Alışverişte “kaç tane ve ne kalır” sorusu tam olarak bölme algoritmasıdır.
32 kişilik sınıf beşerli gruplara ayrılıyor. 32 = 5 · 6 + 2 → 6 tam grup kurulur, 2 kişi açıkta kalır. Öğretmen genelde bu 2 kişiyi gruplara dağıtır.
Sezonda 23 bölüm var, günde 4 bölüm izliyorsun. 23 = 4 · 5 + 3 → beş gün dörder bölüm, altıncı gün 3 bölüm. Son günün kısa olması kalandan gelir.
Arkadaşın “bu 4 782 sayısı 3’e bölünür” dediyse rakamları topla: 4 + 7 + 8 + 2 = 21 → 3’ün katı, doğru. Aynı sayı 9’a bölünmez çünkü 21’in 9 ile bölümünden kalan 3’tür.
Bir oyunda gece-gündüz döngüsü 20 dakika. Oyuna 143. dakikada girdiysen döngünün neresinde olduğunu 143’ün 20 ile bölümünden kalan söyler: 3. dakika, yani günün başı.
Sunumda 58 fotoğrafı sayfa başına 8 tane koyacaksın. 58 = 8 · 7 + 2 → 7 dolu sayfa ve son sayfada 2 fotoğraf. Toplam 8 sayfa eder.
Tanesi 45 TL olan bir üründen aldıysan ödediğin tutar hem 5’e hem 9’a bölünmeli. Fişte 1040 TL yazıyorsa bir yanlışlık vardır: 1040 sayısının rakamları toplamı 5 olduğu için 9’a bölünmez. Bu, iki saniyede yapılan bir kontrol.
Bölünebilme ve kalan bulma testi · bölme algoritması, son basamak kuralları, rakamlar toplamı kuralları, basamak çözümlemesiyle ispat, aralarında asal çarpanlara bölünme ve varil, bilye, şifre, bilgi fişi, bina numarası problemleri
a = b · c + k ve k < b
a bölünen, b bölen, c bölüm, k kalan.
Kalan hiçbir zaman bölene eşit ya da ondan büyük olamaz.
2 → birler basamağının 2 ile kalanı
5 → birler basamağının 5 ile kalanı
10 → doğrudan birler basamağı
4 → son iki basamağın 4 ile kalanı
8 → son üç basamağın 8 ile kalanı
3 → rakamlar toplamının 3 ile kalanı
9 → rakamlar toplamının 9 ile kalanı
Gerekirse toplama işlemi tekrarlanır: 4728 → 21 → 3.
Bir sayı bir bölene tam bölünüyorsa bölenin aralarında asal
çarpanlarına da bölünür.
6 = 2·3 · 12 = 3·4 · 15 = 3·5 · 36 = 4·9 · 45 = 5·9
12’ye bölümünden kalan a ise 3 ve 4’e kalanlar, a’nın 3 ve 4’e kalanlarıdır.
abcde = 2(5000a + 500b + 50c + 5d) + e
abcde = 4(2500a + 250b + 25c) + de
abcde = 3(3333a + 333b + 33c + 3d) + (a+b+c+d+e)
abcde = 9(1111a + 111b + 11c + d) + (a+b+c+d+e)
Variller → 20 litre · Bilye → Buğra 118, Miray 142
Hatalı şifre → 478 · Bilgi fişi → 1035 TL, 23 bardak
74AB → A toplamı 30 · 84CBA = 84476 → kalanlar 2, 1, 6
Binalar → 438, 424, 457 · A17B → 3179 · Bahçe → 614 m · Sahil yolu → 2677 m