Şekil aynı
kalır, yalnız
yeri değişir.
Ünitenin açılışı İznik çinilerindeki lale deseni. Tek bir motiften koca bir süsleme çıkıyor; çünkü desen kopyalanmıyor, dönüştürülüyor. Geometrik dönüşümler şekil üzerindeki noktaları düzlemdeki başka noktalara bire bir eşler ve ortaya çıkan görüntü, ilk şeklin eşidir. Bu ünitede ikisini öğreniyoruz: yansıma ve öteleme.
Tanım: yansıma dönüşümü, düzlemdeki tüm noktaları düzlemdeki tüm noktalara dönüştüren ve noktalar arası uzaklığı koruyan bir dönüşümdür. Bir şekle bir doğruya göre yansıma dönüşümü uygulandığında bu doğru yansıma doğrusu olarak adlandırılır. Şekil üzerindeki bir noktanın ve görüntüsünün yansıma doğrusuna uzaklığı eşittir ve bir şekil ile görüntüsü eştir.
ABCDE beşgeni üzerinde ölçülen değerler:
|AB| = 8, |BC| = 6, |CD| = 4√2, |DE| = 2, |EA| = 2√2 birim;
m(A) = 45°, m(B) = 90°, m(C) = 45°, m(D) = 225°, m(E) = 135°.
A′B′C′D′E′ beşgeninde bu değerlerin hepsi aynı çıkar.
Buradan çıkan genellemeler:
· Kenar uzunlukları değişmez
· İç açı ölçüleri değişmez
· Çevre uzunluğu ve alan değişmez
· Yansıma dönüşümü noktalar arası uzaklıkları korur
Değişen tek şey: şeklin düzlemdeki yeri ve yönü.
· Simetrik şekillerin simetri ekseni olan doğruya göre yansıma
dönüşümü altındaki görüntüsü ile şekil çakışıktır. Dolayısıyla şeklin düzlemdeki yeri ve
yönü değişmez.
· Bir şekil üzerindeki noktalar ile bunların görüntülerini
birleştiren doğru parçaları yansıma doğrusuna diktir. Dolayısıyla bu doğru parçaları
birbirlerine paraleldir.
İkinci madde, elle çizim yaparken kullanacağın kuraldır: her köşeden yansıma doğrusuna
dik in, aynı uzaklık kadar öbür
tarafa devam et, noktayı işaretle. Köşeleri birleştir, görüntü hazır.
Birim kareli zeminde ABC üçgensel bölgesi ve d doğrusu veriliyor; d, üçgenin kenarlarını
K ve M noktalarında kesiyor.
b) Şekil üzerindeki bazı noktaların görüntüsü ABC üçgeninin
iç bölgesindedir (bu noktalar KLMN dörtgensel bölgesini
oluşturur); bazılarının görüntüsü ise üçgenin dış bölgesindedir
(ALK ve BMNC bölgelerindeki noktalar). Sebebi:
yansıma doğrusunun şekille kesişmesidir.
c) K ve M noktalarının görüntüleri
yine K ve M’dir: noktalar ve görüntüleri
çakışıktır.
ç) Aynı ilişkiyi sağlayan başka noktalar var mı?
Var: d doğrusu üzerindeki [KM]’nin
tüm noktalarının görüntüleri kendileridir.
Genel kural: yansıma doğrusu üzerindeki her nokta sabit kalır,
çünkü o noktanın doğruya uzaklığı sıfırdır ve görüntüsünün de sıfır olması gerekir.
Bir şeklin yansıma görüntüsü her zaman şekle eştir; kenarları ve
açıları hiç değişmez. Ama bu, “şekil yerinde kaldı” demek
değildir.
Görüntünün şekille çakışması yalnız özel bir durumda olur:
yansıma doğrusu şeklin simetri ekseni ise. Kelebek şeklini orta
çizgisine göre yansıtırsan kelebeğin kendisini elde edersin; aynı kelebeği
yanındaki bir doğruya göre yansıtırsan yeri de yönü de değişir.
Sınav ifadesi olarak: “eş olma” her yansımada,
“çakışık olma” yalnız simetri ekseninde geçerlidir.
Tanım: düzlemde bir şeklin belirli bir uzaklık ve yönde öteleme dönüşümü altındaki görüntüsü, şekil üzerindeki tüm noktaların verilen yön ve uzaklıkta ilerletilmesiyle oluşturulur. Yani ötelemede her nokta aynı doğrultuda, aynı yönde ve aynı kadar kayar — kimse geride kalmaz, kimse fazladan gitmez.
· Öteleme dönüşümü, düzlemdeki tüm noktaları belirli bir doğrultu,
uzaklık ve yönde bulunan tüm noktalara dönüştüren bir dönüşümdür.
· Bir şekle öteleme dönüşümü uygulandığında şeklin düzlemdeki yeri
değişir.
· Şekil üzerindeki tüm noktalar öteleme dönüşümü altındaki
görüntülerine eşit uzaklıktadır. Bu nedenle şeklin yönü
değişmez.
· Bir şeklin öteleme dönüşümü altındaki görüntüsü ile şekil eştir.
· Öteleme dönüşümünün bileşenleri: dönüşümün uygulandığı
doğrultu, yön ve uzaklıktır.
|AB| = 7, |BC| = 4√2, |CD| = 3, |AD| = 4 birim;
m(A) = 90°, m(B) = 45°, m(C) = 135°, m(D) = 90°.
A′B′C′D′ dörtgeninde bütün bu değerler aynı çıkar.
Yansımadaki listeye ek olarak ötelemede şu da ölçülür:
şekil üzerindeki noktalar ile görüntüleri arasındaki uzaklık —
ve bu uzaklık bütün noktalar için aynıdır.
Etkinlikte ABCD, EFGH ve PRS bölgeleri farklı
doğrultularda (yatay-dikey) ve
yönlerde (pozitif-negatif) öteleniyor; içlerinden biri
hem yatay hem dikey ötelenmiş oluyor. Bu, öteleme vektörünün
iki bileşeni olduğu anlamına gelir.
“ABCDE beşgeninin 6 birim sağa, 8 birim aşağıya ötelenmesi
sonucu oluşan görüntüsünü çiziniz.”
Yapılacak iş şu: her köşeye ayrı ayrı aynı işlemi uygula.
Bir köşe (x, y) ise görüntüsü (x + 6, y − 8) olur — sağa gitmek
x’i artırır, aşağı inmek y’yi azaltır. Beş köşe taşındıktan sonra
aynı sırayla birleştirilir.
Alıştırmanın ikinci sorusu şunu soruyor: aynı görüntüyü elde etmek için başka hangi dönüşüm ya da
dönüşümler uygulanabilirdi? Cevap: birbirine paralel iki doğruya göre
ardışık iki yansıma. Doğrular öteleme yönüne dik olmalı ve aralarındaki uzaklık, öteleme
uzaklığının yarısı olmalıdır. Bunun sebebi bir sonraki bölümde.
2. Uygulama, iki dönüşümün benzer ve farklı özelliklerini bir tabloya yazdırıyor ve sonra üç soru soruyor: kenar uzunlukları ya da açı ölçüleri eşitse hangi dönüşüm olduğu anlaşılır mı?, noktaların görüntülerine uzaklıkları eşitse anlaşılır mı?, peki nasıl anlaşılır?
10. “Kenar uzunlukları veya açı ölçüleri eşitse dönüşümün
yansıma mı öteleme mi olduğu anlaşılır mı?”
Hayır. Tablonun ilk beş satırı iki dönüşümde de aynı; bu
bilgiler ayırt edici değildir. Yalnız “bir dönüşüm uygulanmış
ve şekil eş kalmış” dedirtir.
11. “Tüm noktalar ile görüntüleri arasındaki uzaklık eşitse
hangi dönüşüm uygulandığına karar verilebilir mi?”
Evet, bu bilgi ayırt edicidir. Yansımada bu uzaklık
noktadan noktaya değişir (doğruya yakın nokta az yol gider, uzak nokta çok);
hepsi eşitse öteleme uygulanmıştır.
12. soru “nasıl tespit edilir?” diye soruyor. Pratikte iki bakış yeter:
1. Köşe sırasına bak. Şekilde köşeler saat yönünde A, B, C
diye sıralanıyorsa: ötelemede görüntüde de saat yönünde
A′, B′, C′ olur; yansımada saat yönünün tersine döner. Buna
“şeklin yönünün değişmesi” denir.
2. Birleştirme doğrularına bak. Her köşeyi görüntüsüyle
birleştir. Ötelemede bu doğru parçaları hem paralel hem
eşit uzunluktadır; yansımada paraleldir ama
uzunlukları farklıdır (ve hepsi yansıma doğrusuna diktir).
“Bir şekle hangi geometrik dönüşüm veya dönüşümler uygulandığında şeklin düzlemdeki yeri
kesinlikle değişir?”
Cevap: öteleme. Kontrol Noktası’nda açıkça yazıyor: bir şekle
öteleme uygulandığında şeklin düzlemdeki yeri değişir. Belirli bir
uzaklık verildiği için hiçbir nokta yerinde kalmaz.
Yansımada kesinlik yoktur: yansıma doğrusu şeklin simetri ekseni
ise görüntü şekille çakışır, yer değişmez. Kelebeği orta çizgisinden yansıtmak
hiçbir şeyi hareket ettirmez.
“Kesinlikle” kelimesi bu soruda tesadüfen yoktur; onu görmezden
gelirsen üç dönüşümü de işaretleme hatasına düşersin.
3. Uygulama birim kareli zeminde bir CDEF bölgesi ve birbirine paralel d₁ ve d₂ doğrularıyla başlıyor. Önce CDEF, d₁’e göre yansıtılıp C′D′E′F′ elde ediliyor; sonra C′D′E′F′, d₂’ye göre yansıtılıp C″D″E″F″ elde ediliyor. Soru şu: CDEF’ye tek bir dönüşüm uygulanarak C″D″E″F″ elde edilebilir mi?
Düzlemde bir şekle iki paralel doğrudan birine göre yansıma dönüşümü
uygulanıp elde edilen görüntüye diğer doğruya göre tekrar yansıma dönüşümü uygulanırsa şekil,
doğrular arasındaki uzaklığın iki katı kadar uzaklığa ötelenmiş olur. Şeklin elde edilen son
görüntüsü, ilk şeklin öteleme dönüşümü altındaki görüntüsüdür.
Adım adım gösterilen şey buydu:
· 3. adım: |CC″|, |DD″|, |EE″| ve |FF″| uzunlukları birim
karelerle bulunup karşılaştırılıyor — hepsi birbirine eşit çıkıyor.
· 4. adım: Bütün noktalar eşit uzaklık gittiğine göre uygulanan
dönüşüm bir ötelemedir.
· 5. adım: Bu ortak uzunluk, d₁ ile d₂ arasındaki uzaklığın
tam iki katıdır.
Buradan dikkat çekici bir sonuç çıkar: öteleme miktarı, doğruların
nerede durduğuna değil, aralarındaki uzaklığa bağlıdır. İki doğruyu birlikte kaydırırsan
görüntü değişmez.
Önce d₁’e sonra d₂’ye göre yansıtmakla, önce d₂’ye sonra d₁’e göre yansıtmak
aynı sonucu vermez. İkisi de 2d kadar öteler ama
yönler zıttır: biri d₁’den d₂’ye doğru, öteki d₂’den d₁’e doğru.
Ayrıca doğruların şeklin hangi tarafında durduğu sonucu
değiştirmez — bu, 3. Sıra Sizde’de doğrudan soruluyor. Şekil iki doğrunun arasında da
olsa, ikisinin de solunda da olsa öteleme miktarı yine 2d’dir.
Bir de şu var: doğrular paralel değilse sonuç öteleme olmaz.
Kesişen iki doğruya göre ardışık yansımanın ne verdiği bir sonraki
ünitenin konusudur — ipucu: noktalar düz değil, çembersel
bir yol izler.
Aşağıdaki durumlar karışık sırayla geliyor. Verilen bilgiye bakarak dönüşümü ya da özelliği seç.
Süsleme sanatlarından örnek verilir; ama dönüşümleri asıl her gün gördüğün yer telefonun ve oyunlar. Aşağıdaki dokuz sahnede hangi dönüşümün çalıştığına dikkat et.
Ön kamerayı açıp tişörtündeki yazıya baktığında yazı ters
görünür. Sebebi telefonun görüntüye
dikey bir doğruya göre yansıma uygulamasıdır — böylece kendini
aynada gördüğün gibi görürsün.
Yansıma şeklin yönünü değiştirdiği için harfler okunmaz hâle
geliyor. Fotoğrafı çektiğinde çoğu telefon bu yansımayı
geri alır: iki kez yansıtmak, şekli
başlangıç hâline döndürür.
Yandan görünüşlü bir platform oyununda karakter sağa yürürken aynı görsel
ötelenerek ekranda kaydırılır; sola dönünce görsel
dikey bir eksene göre yansıtılır.
Oyun yapımcıları bu yüzden karakterin yalnız tek yöne bakan
çizimini yapar; öteki yön yansımayla elde edilir ve dosya boyutu yarıya iner.
Karakterin göğsündeki rakam bazı oyunlarda sola dönünce ters çıkar —
yansımanın yönü değiştirmesinin gözle görülür kanıtı.
Defterinin kenarına tek bir motif çizip yan yana tekrarladığında yaptığın şey
ötelemedir: aynı motif, sabit bir uzaklıkta, aynı yönde.
Motifi bir de ayna görüntüsüyle dizersen desen “nefes alan” bir
ritim kazanır — İznik çinilerindeki lale
düzeni tam olarak bu iki dönüşümün karışımıdır.
Tek motiften bütün bir bordür çıkması, geometrik dönüşümlerin
şeklin eşini üretmesi sayesindedir.
Düşen parçayı sağa sola kaydırmak ötelemedir: parça birim
kareler kadar yatay olarak taşınır, şekli ve yönü hiç değişmez.
Bazı parçaların ayna çifti vardır (S ile Z, J ile L). Bunlar
birbirinin yansıma görüntüsüdür ve ötelemeyle biri ötekine
dönüştürülemez.
Oyunun zorluğu buradan gelir: elindeki parçayı kaydırabilirsin, ama
aynasına çeviremezsin. Öteleme yönü korur.
Berberde ya da bir asansörde karşılıklı iki ayna arasında durduğunda görüntün
arka arkaya sıralanır ve giderek uzaklaşır.
Bu, 3. Uygulamanın canlı hâlidir: iki paralel aynaya
göre ardışık yansıma bir ötelemedir ve her adımda görüntü
aynalar arası uzaklığın iki katı kadar geri gider.
Aynalar 2 metre aralıklıysa ikinci görüntün 4 metre, üçüncüsü
8 metre uzaktaymış gibi görünür. Sonsuz gibi görünen o
koridorun matematiği bu.
Bir futbol sahası, orta çizgiye göre neredeyse simetriktir: ceza
sahaları, kale alanları ve penaltı noktaları orta çizgiye göre birbirinin
yansımasıdır.
Sahanın kendisini orta çizgiye göre yansıtırsan yine sahayı
elde edersin — görüntü şekille çakışıktır, çünkü orta çizgi
sahanın simetri eksenidir.
Kontrol Noktası’nın ilk maddesinin somut karşılığı bu: yansıma her zaman
eş üretir, ama şekli yerinden
oynatmayabilir.
Sunum hazırlarken bir kutuyu kopyalayıp yanına yapıştırıp
“aralarındaki boşluk eşit olsun” diye uğraşıyorsun. Aslında
yaptığın şey bir ötelemedir ve programın “eşit aralıklarla
dağıt” düğmesi tam olarak bunu yapar: aynı öteleme vektörünü
tekrar tekrar uygular.
Nesneyi yatay çevir düğmesi ise dikey bir doğruya göre
yansımadır. Adı “çevirmek” olsa da ortada bir dönme yok —
ok işareti ters yöne bakar ama yazı da tersine döner. Fark buradan anlaşılır.
Okul bahçesindeki potanın iki destek ayağı, direğe göre birbirinin
yansımasıdır. Bu, hem simetrik bir görünüm hem de
dengeli bir yük dağılımı verir.
Üretimde de işe yarıyor: fabrikada tek bir kalıp yapılır, ikinci
ayak aynı kalıptan çıkan parçanın ters çevrilmişidir.
Yansımanın kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini koruması sayesinde iki ayak
tıpatıp eş olur; olmasaydı pota yamuk dururdu.
Robot süpürge odayı temizlerken düz gider, duvara değince yana kayar ve
aynı yolu paralel olarak tekrarlar. Her sıra, bir öncekinin
ötelenmiş hâlidir.
Öteleme uzaklığı süpürgenin genişliğinden küçük seçilir —
yoksa aralarda temizlenmemiş şeritler kalır. Uzaklığı çok küçük seçmek de
aynı yeri iki kez süpürtür ve pili boşa harcar.
Yazılımcının seçtiği o tek sayı, ötelemenin uzaklık bileşenidir;
doğrultu ve yön de rotanın öteki iki bileşeni.
47 soruluk test · geometrik dönüşüm kavramı, yansıma dönüşümü ve yansıma doğrusu, öteleme dönüşümü ve bileşenleri, korunan ve değişen özellikler, iki dönüşümün ayırt edilmesi, iki paralel doğruya göre ardışık yansımanın öteleme vermesi
Düzlemdeki noktaları düzlemdeki noktalara bire bir eşler.
Üç tanesi var: yansıma, öteleme, dönme.
Sonuç her zaman ilk şeklin eşidir.
Bileşeni: yansıma doğrusu.
Nokta ile görüntüsünün doğruya uzaklığı eşittir.
Şeklin yönü değişir.
Bileşenleri: doğrultu, yön, uzaklık.
Yer değişir, yön değişmez.
Bütün noktalar eşit uzaklık gider.
Kenar uzunlukları · iç açı ölçüleri · çevre · alan ·
noktalar arası uzaklık.
Bu yüzden şekil ile görüntüsü eştir.
Noktaların görüntülerine uzaklığı hepsinde aynıysa öteleme,
değişiyorsa yansıma.
Köşe sırası ters döndüyse yansıma.
Yansımada yansıma doğrusu üzerindeki her nokta kendisiyle
çakışıktır.
Ötelemede hiçbir nokta yerinde kalmaz.
Ardışık iki yansıma = öteleme.
Öteleme miktarı, doğrular arası uzaklığın
iki katıdır (2d).
Doğruların yeri değil, aralarındaki uzaklık önemlidir.
Yansıma doğrusu şeklin simetri ekseniyse görüntü şekille
çakışıktır; yer ve yön değişmez.
“Eş olmak” ile “çakışık olmak” aynı şey değildir.
6 birim sağa, 8 birim aşağı:
(x, y) → (x + 6, y − 8)
Her köşeye ayrı ayrı uygulanır, sonra
aynı sırayla birleştirilir.