Tek merkez,
sabit uzaklık
Çemberin bütün özellikleri tek bir şeyden çıkar: bütün noktaları merkeze eşit uzaklıktadır. Kirişin orta dikmesinin merkezden geçmesi de, eşit kirişlerin merkeze eşit uzaklıkta olması da, çevre açının merkez açının yarısı olması da bu tek cümlenin sonucudur. Bu ünitede temel elemanlar, doğru ile çemberin durumları, kiriş özellikleri ve açılar var.
Önce iki sözcüğü ayıralım: çember eğrinin kendisidir, daire ise çember ile iç bölgesinin birleşimidir — biri sınır, öteki sınırın kapattığı bölge. (Dairenin çevresi ve alanı 35. ünitenin konusu.) Adlandırmalar sırayla şöyle: çemberin merkezi O noktasıdır; [OA] çemberin yarıçapıdır; |OA| = r çemberin yarıçap uzunluğudur. Kiriş için: O merkezli çemberde [AB] ve [KL] kiriştir; merkezden geçen kirişe çap denir; |AB| = 2r çemberin çap uzunluğudur. Teğet için: KL doğrusu L noktasında O merkezli çembere teğettir — yani çemberi tek noktada keser. Yay için de dört ayrı gösterim veriliyor: AB yayı, ACB yayı, AB yayının ölçüsü m(AB) ve AB yayının uzunluğu |AB|. Son olarak: bir çemberin tamamı 360°’dir — yani bütün yaylarının ölçüleri toplamı 360°’dir. (Çemberin çevresi bir uzunluktur ve 2πr’dir; burada ölçülen şey uzunluk değil, yayın derece cinsinden ölçüsüdür.) Ayrıca çap çemberi iki eş ölçülü yaya ayırır; [AB] çaplı çemberde her iki yayın ölçüsü de 180°’dir.
[OA] yarıçap, |OA| = r yarıçap uzunluğudur. Merkezden geçen kirişe çap denir ve uzunluğu 2r’dir. Çap, çemberin en uzun kirişidir.
Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçası kiriştir; çemberi tek noktada kesen doğru ise teğettir. Teğetin çemberle ortak noktasına değme noktası denir.
İkisi ayrı ayrı gösterilir: m(AB) yayın derece cinsinden ölçüsüdür, |AB| ise uzunluğudur ve birim cinsindendir. Aynı 60°’lik yay, yarıçapı büyük çemberde daha uzundur — ölçüsü ise yine 60°’dir.
Üç durum, merkezin doğruya uzaklığı olan h ile yarıçap r karşılaştırılarak veriyor: h < r ise doğru çemberi iki noktada keser; h = r ise doğru çembere teğettir; h > r ise doğru çemberi kesmez. Üç durumu ayıran tek şey bu karşılaştırmadır — doğrunun eğimi ya da yeri değil, merkeze olan dik uzaklığı.
h = 0, doğrunun merkezden geçtiği anlamına gelir. Bu da h < r durumunun özel hâlidir: doğru çemberi iki noktada keser ve aradaki kiriş çaptır, yani en uzun kiriş elde edilir. Kaydırağı sıfıra çek: kesen kirişin uzunluğunun 2r’ye çıktığını görürsün.
Üç özellik vardır. Birincisi iki cümle hâlinde: çemberin merkezi ile kirişin orta noktasını birleştiren doğru kirişe dik olur ve çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi eşit uzunlukta iki parçaya böler. İkincisi: bir çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin merkeze olan uzaklıkları eşittir — yani |AB| = |CD| ise |OK| = |OL| olur. Üçüncüsü: bir çemberin iki kirişinden uzun olanı merkeze daha yakındır; |AB| < |CD| ise |OL| > |OK| olur.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eş parçaya böler; tersi de doğrudur: kirişin orta noktasını merkeze birleştiren doğru kirişe diktir. Bu, bir üçgende |OA| = |OB| olmasının (ikizkenarlık) doğrudan sonucudur.
|AB| = |CD| ise |OK| = |OL|. Tersi de geçerlidir: merkeze eşit uzaklıktaki iki kiriş eşit uzunluktadır.
İki kirişten uzun olanı merkeze daha yakındır. En uzun kiriş olan çapın merkeze uzaklığı sıfırdır — kural burada uç değerine ulaşır.
Merkez, kirişin orta noktası ve kirişin bir ucu bir dik üçgen oluşturur: dik kenarlar h (merkeze uzaklık) ve kirişin yarısı, hipotenüs ise yarıçaptır. Pisagor uygulanırsa (kiriş/2)² + h² = r² çıkar. Bu bağıntı yukarıdaki iki özelliğin doğrudan sonucudur ve “h büyüdükçe kiriş kısalır” cümlesinin sayısal karşılığıdır.
Çemberin merkezinden çıkan iki ışının oluşturduğu açıya merkez açı denir ve O merkezli çemberde m(AOB) = m(AB) olur — yani merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Köşesi çemberin üzerinde olan ve çemberi kesen ışınların oluşturduğu açıya çevre açı denir; bu açı için de m(ACB) = m(AB) / 2 olur. Thales notu bu keşfi ona bağlar: Thales çember üzerindeki açıların gördüğü yayların ölçüsünün yarısı kadar olduğunu keşfetti; bu keşif, çember geometrisinin temellerinin birini oluşturmaktadır.
Köşesi merkezdedir. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir: m(AOB) = m(AB).
Köşesi çember üzerindedir. Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır: m(ACB) = m(AB)/2.
Çap, çemberi iki 180°’lik yaya ayırır. Çevre açı kuralı bu yaya uygulanırsa 180°/2 = 90° çıkar: çapı gören her çevre açı diktir. Bu sonuç, yukarıdaki iki maddenin doğrudan birleşimidir. Kaydırağı 180°’ye getirip C’yi gezdir — açı hep 90° kalır.
Tekerlekten pizzaya, saat kadranından stadyum tribününe kadar çemberin özellikleri hayatın içinde. Hepsinin altında aynı cümle var: merkeze uzaklık sabittir.
Bütün teller aynı uzunluktadır, çünkü hepsi yarıçaptır. Biri kısa olsaydı jant merkeze göre kayardı ve teker zıplayarak dönerdi.
Bir dilimin tepe açısı merkez açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Sekiz eş dilimde her açı 360°/8 = 45°’dir.
12 rakam çemberi eşit yaylara böler; iki komşu rakam arası 30°’lik merkez açıdır. Akrep ile yelkovan arasındaki açı hesapları bu bölümlemeye dayanır.
Yuvarlak bir kapağın merkezini bulmak için iki kiriş çizip orta dikmelerini kesiştirmek yeter — ikisi de merkezden geçer.
Çemberin içinden geçen topun izlediği yol bir kiriştir. Top tam merkezden geçerse bu kiriş çaptır ve en uzun geçiş yoludur.
Sahanın aynı kenarını gören ve aynı yay üzerinde oturan iki taraftar, koltukları farklı olsa bile o kenarı aynı açıyla görür — çevre açı kuralı. Belirleyici olan koltuğun yeri değil, hangi yay üzerinde olduğudur; öteki yaydaki bir koltuktan aynı kenar farklı bir açıyla görünür.
Her kabin merkezden aynı uzaklıktadır. Kabinler arası doğrusal mesafe kiriş, üzerinde gittikleri yol ise yaydır — ikisi aynı şey değildir.
Yuvarlak masanın çevresine bir ip gerip merkezden uzaklaştığını düşün: merkeze olan uzaklık yarıçaptan küçükse ip masayı iki noktada keser, tam yarıçapa eşitse tek noktada dokunur (teğet), büyükse hiç değmez. Üç durum ayrıdır; “kesmez” ile “teğet geçer” aynı şey değildir.
İçteki kulvar merkeze daha yakındır, bu yüzden daha kısadır. Kiriş ise bunun tersidir: merkeze yaklaşan kiriş uzar, merkezden uzaklaşan kısalır. İkisini karıştırma — kulvarda ölçülen bir yay, kirişte bir doğru parçasıdır.
Çemberin temel elemanları, doğru ile çemberin durumları, kiriş özellikleri, merkez ve çevre açı üzerine 50 soruluk test.
Merkez O · yarıçap [OA] · yarıçap uzunluğu |OA| = r · kiriş [AB] · merkezden geçen kiriş = çap, uzunluğu 2r · çemberi tek noktada kesen doğru = teğet.
Yayın ölçüsü m(AB) derece cinsinden, uzunluğu |AB| birim cinsindendir. Bir çemberin tamamı 360°’dir (çevresi ise bir uzunluktur: 2πr); çap çemberi iki eş ölçülü yaya (180° + 180°) ayırır.
h < r → iki noktada keser · h = r → teğet · h > r → kesmez. (h: merkezin doğruya uzaklığı)
Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar · eşit kirişlerin merkeze uzaklıkları eşittir · uzun kiriş merkeze daha yakındır.
Köşesi merkezdedir; m(AOB) = m(AB). Ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
Köşesi çember üzerindedir; m(ACB) = m(AB)/2. Aynı yayı gören bütün çevre açılar birbirine eşittir.
Yayın ölçüsü ile uzunluğu aynı şey değildir: ölçü
derece, uzunluk birimdir.
Merkeze yakın kiriş uzundur, uzak olan kısadır —
sezgi çoğu zaman tersini söyler.
Çapı gören çevre açı 90°’dir (180°/2). Ayrıca kirişte Pisagor: (kiriş/2)² + h² = r². İkisi de yukarıdaki maddelerden doğrudan çıkar.
Thales MÖ 624 ile MÖ 547 yılları arasında yaşamış, Anadolu topraklarında doğmuş Miletli bir matematikçi ve filozoftur. Çember üzerindeki açıların gördükleri yayların ölçüsünün yarısı kadar olduğunu keşfetmiştir.