Kenar sayısı
her şeyi söyler.
Bir çokgenin köşegen sayısı, iç açılarının toplamı, düzgünse bir açısının ölçüsü — hepsi tek bir sayıdan, n den çıkar. Dört formül ezberlemek yerine ikisinin nereden geldiğini anlamak yeter.
Konu özetinin tanımı: n ≥ 3 ve n bir doğal sayı olmak üzere, düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A₁, A₂, …, Aₙ noktalarından geçen [A₁A₂], [A₂A₃], …, [Aₙ₋₁Aₙ], [AₙA₁] doğru parçalarının birleşimine çokgen denir.
Tanımdaki doğru parçalarına çokgenin kenarları denir.
A₁, A₂, …, Aₙ noktalarına çokgenin köşeleri denir.
Çokgenin komşu olmayan herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır.
Bir çokgenin köşe sayısı ile kenar sayısı birbirine eşittir. Adlandırma da buna göre yapılır: üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen…
Kenar bir köşegen değildir. Köşegen, komşu olmayan köşeleri birleştirir; komşu iki köşeyi birleştiren parça zaten kenardır. Bu yüzden bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı hesaplanırken kendisi ve iki komşusu çıkarılır.
Konu özetinin iki maddesi: n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilen köşegen sayısı (n – 3) tür ve toplam köşegen sayısı n(n – 3)/2 dir.
Her köşeden (n – 3) köşegen çıkar; n köşe için n(n – 3) eder. Ama her köşegen iki kez sayılmıştır — bir kez bir ucundan, bir kez öbür ucundan. Bu yüzden sonuç ikiye bölünür.
n = 3 için n – 3 = 0 dır; üçgende her köşe diğer ikisiyle komşudur, bu yüzden hiç köşegen çizilemez. Formül de 3·0/2 = 0 verir.
Konu özetinin iki maddesi: n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 2)·180°, dış açılarının ölçüleri toplamı ise 360° dir.
Bir köşeden çizilen (n – 3) köşegen çokgeni (n – 2) üçgene ayırır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan çokgenin iç açıları toplamı (n – 2)·180° olur.
Çokgenin kenarları boyunca yürüyüp başladığın yere döndüğünde tam bir tur dönmüş olursun. Her köşede döndüğün miktar o köşenin dış açısıdır; toplamları bu yüzden kenar sayısından bağımsız olarak 360° dir.
Konu özetinin tanımı: bütün kenar uzunlukları eşit ve iç veya dış açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Eşkenar üçgen ve kare dışındaki düzgün çokgenler adlandırılırken başlarına "düzgün" kelimesi getirilir.
Bütün iç açılar eşit olduğu için toplam, kenar sayısına bölünür.
Dış açılar toplamı hep 360° olduğundan, düzgün çokgende her biri 360°/n dir.
Konu özetinin ayrıca verdiği iki değer: düzgün beşgenin bir iç açısı 108°, bir dış açısı 72°; düzgün altıgenin bir iç açısı 120°, bir dış açısı 60° dir.
Bir iç açı ile onun dış açısı bütünlerdir; toplamları 180° dir. Düzgün beşgende 108° + 72° = 180° olması tesadüf değildir. Sorularda "bir dış açısı 40° olan düzgün çokgen" denince önce n = 360/40 = 9 bulunur.
Bir yüzeyi boşluksuz kaplamak, eşit paylaştırmak ya da simetrik bir şey tasarlamak gerektiğinde çokgen açıları devreye giriyor.
Klasik topun yüzeyinde düzgün beşgenler ve düzgün altıgenler bir arada dikilidir; beşgenin 108°, altıgenin 120° lik açıları küreyi kapatacak biçimde birleşir.
Zemini boşluksuz kaplayabilen düzgün çokgenler üçgen, kare ve altıgendir; çünkü bir iç açıları 360° yi tam böler (60, 90, 120). Beşgenin 108° si bölmediği için tek başına kaplamaz.
Arıların yaptığı gözler düzgün altıgendir. Aynı alanı en az duvarla kapattığı için mumdan tasarruf sağlar; üç altıgen bir köşede birleşir çünkü 3 · 120° = 360° dir.
"Dur" levhası düzgün sekizgendir; bir dış açısı 360/8 = 45° dir. Bu yüzden levhayı 45° lik adımlarla döndürdüğünde aynı görünür.
Rol yapma oyunlarındaki çok yüzlü zarların yüzleri eşkenar üçgen ya da düzgün beşgendir; bütün yüzler eş olduğu için her sonucun gelme olasılığı eşittir.
Kulüp panosuna beş köşeli bir yıldız çizerken düzgün beşgenin köşegenlerini kullanırsın; beşgenin 5 köşegeni tam olarak yıldızı verir.
Telefon kamerasının bulanık arka planındaki ışık noktaları bazen altıgen görünür; sebebi diyafram bıçaklarının bir düzgün çokgen oluşturmasıdır.
Sınıfta 8 kişi herkes herkesle bir kez oynayacaksa maç sayısı, sekizgenin kenar ve köşegenlerinin toplamı kadardır: 8 + 20 = 28 maç.
Altı direkli bir çadırın tabanı düzgün altıgense her direğin arasındaki açı 120° dir; eşit gerilim için ipleri bu açılara göre çakarsın.
Çokgen ve köşegen kavramı, bir köşeden çizilen köşegen sayısı, n(n – 3)/2 kuralı, iç açılar toplamı (n – 2)·180°, dış açılar toplamı 360° ve düzgün çokgenlerde iç/dış açı hesabı üzerine 32 soru.
n ≥ 3 olmak üzere herhangi üçü doğrusal olmayan n noktayı ardışık birleştiren doğru parçalarının birleşimidir.
Bir çokgenin köşe sayısı ile kenar sayısı birbirine eşittir.
Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır; kenarlar köşegen sayılmaz.
Köşenin kendisi ve iki komşusu çıkarılır.
Her köşegen iki uçtan sayıldığı için ikiye bölünür.
Çokgen bir köşeden (n – 2) üçgene ayrıldığı için.
Kenar sayısı ne olursa olsun değişmez.
Bütün kenar uzunlukları eşit ve iç veya dış açılarının ölçüleri eşit olan çokgendir.
Eşkenar üçgen ve kare dışındaki düzgün çokgenlerin adının başına "düzgün" getirilir.
Toplam kenar sayısına bölünür.
Düzgün beşgende 72°, düzgün altıgende 60° dir.
Düzgün beşgen: iç 108°, dış 72°. Düzgün altıgen: iç 120°, dış 60°.