Biri parçalar,
öteki buluşturur.
“En büyük eşit parça kaç olur?” diye soruyorsan EBOB, “ne zaman aynı anda olurlar?” diye soruyorsan EKOK arıyorsun. İkisi de aynı yerde saklı: sayıların asal çarpanlarındaki üslerde. EBOB ortak asalların en küçük üssünü, EKOK bütün asalların en büyük üssünü alır.
En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla doğal sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. A ile B doğal sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(A, B) ile gösterilir. Aşağıdaki ızgarada iki sayının bölenleri aynı anda duruyor: yalnız birini bölenler soluk, ikisini birden bölenler dolu. Dolu kutuların en büyüğü EBOB’dur.
1’den başka ortak böleni olmayan sayıların EBOB’u 1’dir; bu sayılara aralarında asal denir. EBOB(4, 9) = 1.
Biri diğerinin katıysa EBOB küçük sayının kendisidir: EBOB(10, 20) = 10, EBOB(6, 12) = 6.
Birbirinden farklı doğal sayıların pozitif ortak bölenlerinin en küçüğü her zaman 1’dir — 1 her sayıyı böler.
İkisi birbirine karıştırılmadan, hacmi tam sayı olan eşit hacimli şişelere ayrılacaksa şişe hacmi hem 12’yi hem 18’i bölmelidir. Ortak bölenler 1, 2, 3, 6 → şişe hacmi 1, 2, 3 ya da 6 litre olabilir. “En az sayıda şişe” istenirse hacim en büyük ortak bölen, yani 6 litre seçilir: 2 + 3 = 5 şişe.
En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla doğal sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK(A, B) ile gösterilir. Aşağıda iki sayı iki ayrı ritim gibi ilerliyor; ilk çakıştıkları yer EKOK’tur. En büyük ortak kat diye bir sayı yoktur — ortak katlar sonsuza kadar sürer, en küçüğünü sormak anlamlıdır.
Biri diğerinin katıysa EKOK büyük sayıdır: EKOK(10, 20) = 20. Zaten 20, 10’un da katıdır.
Aralarında asalsa EKOK çarpımlarıdır: EKOK(4, 9) = 36. Ortak asal çarpan olmadığı için hiçbir çarpan paylaşılmaz.
Liste yapmak küçük sayılarda işe yarar, büyük sayılarda çöker. Asıl yöntem şudur: iki sayıyı asal çarpanlarına ayır, her asalın iki taraftaki üssüne bak. EBOB için ortak asalların küçük üssünü, EKOK için bütün asalların büyük üssünü al. Aşağıdaki şemada her asal için iki çubuk var; alt sınır EBOB’a, üst sınır EKOK’a gidiyor.
8 = 2³, 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3².
EBOB: ortak asal yalnız 2; üsler 3, 2, 1 → en küçüğü 1 →
EBOB(8, 12, 18) = 2.
EKOK: asallar 2 ve 3; 2’nin en büyük üssü 3, 3’ün en büyük üssü 2 →
2³ · 3² = 72.
4, 5 ve 9 sayıları ikişer ikişer aralarında asaldır: EBOB(4, 5, 9) = 1,
EKOK(4, 5, 9) = 4 · 5 · 9 = 180.
6 ile 8 sayıları için dört yöntemi yan yana koyalım. Hepsi EBOB = 2 ve EKOK = 24 verir; fark yalnız hangisinin ne zaman kullanışlı olduğudur.
6’nın bölenleri: 1, 2, 3, 6 · 8’in bölenleri: 1, 2, 4, 8 → ortak: 1, 2 → EBOB = 2
6’nın katları: 6, 12, 18, 24, … · 8’in katları: 8, 16,
24, … → EKOK = 24
Ne zaman: sayılar küçükken en hızlısı; 348 ile 522’de
kullanılamaz.
İki sayı yan yana yazılır, kalan 1 olana kadar asallara bölünür:
6 8 | 2 → 3 4 | 2 → 3 2 | 2 → 3 1 | 3 → 1 1
Her ikisini birden bölen asalların çarpımı EBOB (yalnız
ilk adımdaki 2), kullanılan bütün asalların çarpımı EKOK
(2 · 2 · 2 · 3 = 24).
6 = 2 · 3 ve 8 = 2 · 2 · 2. Ağaçların uçlarındaki asallar karşılaştırılır: ortak olan tek
bir 2 vardır → EBOB = 2; birleşimleri 2 · 2 · 2 · 3 → EKOK = 24.
Ne zaman: çarpanları gözle görmek istediğinde.
6 = 2¹ · 3¹, 8 = 2³.
EBOB = 2min(1,3) · 3min(1,0) = 2¹ · 3⁰ = 2
EKOK = 2maks(1,3) · 3maks(1,0) = 2³ · 3¹ = 24
Ne zaman: sayılar büyükken ve üsler soruluyorken tek
güvenilir yol budur.
Arama kutusuna “aralarında asal” yaz, EBOB’u 1 olan satırlar kalsın; “kat” yaz, biri diğerinin katı olan çiftler kalsın.
Pozitif iki tam sayının çarpımı, sayıların en küçük pozitif ortak katı ile en büyük pozitif ortak böleninin çarpımına eşittir: A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B). Gerekçesi üslerde: her asal için min(x, y) + maks(x, y) = x + y’dir. Yani EBOB ile EKOK birlikte, A ile B’nin bütün asal çarpanlarını tam bir kez kullanır.
| Bilinen sayı | EBOB | EKOK | Aranan sayı | Nasıl |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 3 | 30 | 15 | 3 · 30 / 6 |
| 15 | 5 | 60 | 20 | 5 · 60 / 15 |
| 12 | 4 | 48 | 16 | 4 · 48 / 12 |
| 16 | 2 | 112 | 14 | 2 · 112 / 16 |
| 60 | 12 | 480 | 96 | 12 · 480 / 60 |
Dikkat: bu tablo yalnız EBOB gerçekten EKOK’u bölüyorsa anlamlıdır. Verilen EBOB, EKOK’un bir böleni değilse öyle bir sayı ikilisi zaten yoktur; çarpım kuralı sayı üretse bile o sayı şartları sağlamaz.
A · B = EBOB · EKOK bağıntısı yalnız iki sayı için geçerlidir. 6, 10 ve 15 sayılarını dene: EBOB = 1, EKOK = 30, çarpımları 1 · 30 = 30 ama 6 · 10 · 15 = 900. Üç sayıda bağıntı bozulur; üslerle çalışan yöntem ise her sayıda çalışır.
Herhangi iki doğal sayının EBOB’u sayılardan küçük ya da birine eşit, EKOK’u sayılardan büyük ya da birine eşittir. Yani EBOB(A, B) ≤ min(A, B) ≤ maks(A, B) ≤ EKOK(A, B). Bir soruda EBOB sayılardan büyük çıktıysa hata yapmışsındır.
Aralarında asal olan doğal sayıların en büyük pozitif ortak böleni 1’dir. Bu durumda EKOK, sayıların çarpımına eşit olur. Tersi de doğrudur: EKOK = A · B ise A ile B aralarında asaldır — çarpım kuralında EBOB’un 1 çıkması gerekir.
A, B’nin katıysa EBOB(A, B) = B ve EKOK(A, B) = A olur. 10 ile 20 için EBOB 10, EKOK 20; çarpım kuralı da tutar: 10 · 20 = 10 · 20. EBOB, sayılardan birine eşit çıktıysa o sayı diğerini bölüyordur.
Birbirinden farklı doğal sayıların pozitif ortak bölenlerinin en küçüğü her zaman 1’dir; sorulmaya değmez. Aynı şekilde “en büyük ortak kat” diye bir şey yoktur: ortak katlar sonsuza gider.
12 ile 18’in ortak bölenleri 1, 2, 3, 6; hepsi EBOB olan 6’yı böler. Bu yüzden “ortak bölenler kaç tanedir?” sorusunun cevabı, EBOB’un bölen sayısıdır: 6 = 2 · 3 → 4 tane.
4 ile 6’nın ortak katları 12, 24, 36, 48, … — hepsi EKOK olan 12’nin katıdır. Bu yüzden “200 ile 300 arasında kaç ortak kat var?” sorusu, 12’nin o aralıktaki kat sayısını saymaya dönüşür.
Ayırt etme kuralı basit: bölüp parçalıyorsan EBOB, tekrarlayıp buluşturuyorsan EKOK. Aşağıdaki sekiz problemin çözümleri adım adım verildi.
Eşit aralıklarla ve en az sayıda fidan dikileceğinden iki fidan arası mesafe, iki kenar
uzunluğunu tam bölen en büyük sayı olmalıdır. 52 = 2² · 13, 108 = 2² · 3³ →
EBOB(52, 108) = 4 metre.
Fidan dikilecek kenarların toplamı 52 + 52 + 108 = 212 m; fidan sayısı
212 / 4 + 1 = 54 adet (başa ve sona da fidan dikildiği
için 1 eklenir).
Yolun uzunluğu A olsun: A = 3x + 2 = 5y + 4 = 9z + 8. Her iki tarafa 1 eklenirse
A + 1 = 3(x+1) = 5(y+1) = 9(z+1), yani A + 1 sayısı 3, 5 ve 9’un ortak katıdır.
En küçüğü EKOK(3, 5, 9) = 45 → A = 44 metre.
Maliyetler (yolun iki tarafı): 3 m → 28 çit · 650 = 18 200 TL · 5 m → 16 çit · 1100 =
17 600 TL · 9 m → 8 çit · 2300 = 18 400 TL. En ucuzu
5 metrelik çit.
Yolun iki yanı, aralarında boşluk kalmadan ve en az sayıda tomrukla kapatılıyorsa yolun
uzunluğu 12 ile 21’in ortak katlarının en küçüğüdür: 12 = 2²·3, 21 = 3·7 →
EKOK = 84 metre (7 tane 12’lik, 4 tane 21’lik).
Aynı tomruklar eşit ve en büyük uzunlukta kesilecekse bu kez EBOB(12, 21) =
3 metre.
Fayans parçalanmadan döşendiği için her iki kenarı da 210’u bölmeli; alanı 630 cm² ve bir
kenarı en fazla 40 cm. 210’un bölenlerinden çarpımı 630 olan ve ikisi de 40’ı geçmeyen tek
ikili 21 cm × 30 cm’dir.
Fayans sayısı = 210 · 210 / 630 = 70 adet.
a ile b, 105’i bölmeli ve 5a = 3b olmalı; buradan a = 3k, b = 5k. 105 = 3 · 5 · 7 olduğuna göre k = 7 alındığında a = 21, b = 35 çıkar ve ikisi de 105’i böler. En az sayıda fayans istendiği için en büyük fayans seçilir: 21 cm × 35 cm, çevresi 2 · (21 + 35) = 112 cm. (Döşenen fayans sayısı 11 025 / 735 = 15.)
Görsel 1: 40 ve 60 cm’lik taşlar → EKOK = 120 cm; 17 m’den büyük ilk kat
18 m. Gri (60 cm) taş sayısı 30, turuncu (40 cm) taş
sayısı 45.
Görsel 2: 50 = 2 · 5², 76 = 2² · 19 → EKOK = 1900 cm = 19 m.
Turkuaz (50 cm) 38 taş, yeşil (76 cm) 25 taş.
Poşet kütlesi 5 kg ve en az sayıda poşet kullanıldığına göre iki çuvalın EBOB’u 5’tir. Toplam 45 kg, her biri 10 kg’dan ağır ve buğday daha ağır. Beşin katı olan ikililer (15, 30) ve (20, 25); ilkinin EBOB’u 15 olduğu için elenir. Sonuç: mısır 20 kg, buğday 25 kg.
Kenarları 24, 40 ve 48 m olan bahçenin köşelerine de ağaç dikilecekse aralık
EBOB(24, 40, 48) = 8 m; ağaç sayısı çevre / aralık = 112 / 8 =
14 ağaç.
Laleler üçerli sayınca 2, dörderli 3, beşerli 4 artıyorsa her seferinde
1 eksik demektir: lale sayısı + 1, EKOK(3, 4, 5) = 60’ın
katıdır. 200 ile 250 arasındaki tek değer 240 − 1 = 239.
1. çubukta 2, 3, 6, 7; 2. çubukta 4, 5, 9, 12 sayıları var.
EBOB’u 1 olan ikililer (aralarında asal olanlar):
(2, 5), (2, 9), (3, 4), (3, 5), (6, 5), (7, 4), (7, 5), (7, 9), (7, 12).
3 ile EKOK’u çarpıma eşit olanlar: EKOK = çarpım demek
aralarında asal demektir; 3 ile aralarında asal olanlar 4 ve 5.
“En az sayıda parça / en büyük eşit ölçü / aralarında boşluk kalmadan bölme” → EBOB.
“Aynı anda / en az kaç metre sonra / birlikte tekrar” → EKOK.
Şaşırdığında sayının büyümesi mi küçülmesi mi gerektiğine
bak: EBOB küçültür, EKOK büyütür.
Açık bir doğru parçasına eşit aralıklarla ağaç dikilirken ağaç sayısı = uzunluk / aralık + 1’dir. Kapalı bir şekilde (üçgen, dikdörtgen çevresi) başlangıç ile bitiş aynı nokta olduğu için +1 yoktur: çevre / aralık kadar ağaç dikilir.
3’erli sayınca 2, 4’erli sayınca 3, 5’erli sayınca 4 artıyorsa her birinde 1 eksik vardır: sayı + 1 = EKOK’un katı. Kalanlar eşitse (hepsinde 2 artıyorsa) sayı − 2 = EKOK’un katıdır. Doğru kaydırmayı seçmezsen sonuç tutmaz.
A · B = EBOB · EKOK yalnız iki sayı içindir. 6, 10, 15’te çarpım 900, EBOB · EKOK ise 30. Üç sayıda üsleri karşılaştıran yönteme dön.
EBOB her zaman EKOK’un bölenidir. “EBOB’u 12, EKOK’u 50 olan iki sayı” sorusu imkânsızdır; 12, 50’yi bölmez. Çarpım kuralını uygulamadan önce bu kontrolü yap.
“12 ile 18’in kaç ortak böleni var?” sorusunun cevabı EBOB olan 6 değil, 6’nın bölen sayısı olan 4’tür. EBOB soruyu bitirmez, başlatır.
Sorular karışık geliyor; kimi doğrudan hesap, kimi “hangi kavram gerekir” sorusu.
Okul servisi 12 dakikada bir, belediye otobüsü 18 dakikada bir aynı duraktan geçiyor. 08.00’de birlikte geçtilerse tekrar aynı anda geçmeleri EKOK(12, 18) = 36 dakika sonra, yani 08.36’dadır.
Matematik kursu 4 günde bir, kimya kursu 6 günde bir tekrarlanıyor. İkisinin aynı güne düşmesi EKOK(4, 6) = 12 günde bir olur. O günü boş bırakmak istiyorsan takvimi 12’şer 12’şer işaretlemen yeter.
Kermeste 36 kurabiye ve 48 poğaça var; ikisi karıştırılmadan, hepsi eşit içerikli paketlere konacak. Paket sayısı en çok EBOB(36, 48) = 12 olabilir; her pakete 3 kurabiye ve 4 poğaça düşer.
Antrenmanda 30 saniyede bir düdük, 45 saniyede bir su molası işareti çalıyor. İkisinin çakışması EKOK(30, 45) = 90 saniyede bir olur — bir buçuk dakika.
80 cm × 120 cm’lik panoyu kare fotoğraflarla, kesmeden ve boşluk kalmadan kaplayacaksın. Kare kenarı EBOB(80, 120) = 40 cm olabilir; 2 × 3 = 6 fotoğraf gerekir.
Telefonun 3 günde bir, kulaklığın 5 günde bir şarj istiyor. Aynı akşam ikisini birden şarja takman EKOK(3, 5) = 15 günde bir olur; ikisi aralarında asal olduğu için EKOK doğrudan çarpımdır.
Münazara kulübünde 28 kız, 35 erkek var; karışık olmayan, eşit büyüklükte en az sayıda grup kurulacak. Grup büyüklüğü EBOB(28, 35) = 7; 4 + 5 = 9 grup çıkar.
Bir oyunda ödül sandığı 8 saatte bir, günlük görev 6 saatte bir yenileniyor. İkisinin aynı saatte yenilenmesi EKOK(8, 6) = 24 saatte bir — yani günde tam bir kez.
Sınıf sunumunda 45 dakikalık ders, iki gruba eşit ve tam dakika olarak bölünecek; ayrıca her gruba en az 15 dakika verilecek. 45’in bölenlerinden 15 ve 45 uygun; 15 + 15 + 15 ile üç gruba da yer açılır.
EBOB-EKOK testi · tanımlar, üslerle min-maks yöntemi, dört bulma yöntemi, çarpım kuralı, aralarında asallık, sınır özellikleri ve fidan, çit, tomruk, fayans, yürüyüş yolu problemleri
Pozitif ortak bölenlerin en büyüğü → EBOB(A, B)
Pozitif ortak katların en küçüğü → EKOK(A, B)
Ortak bölenlerin en küçüğü hep 1’dir; en büyük ortak kat yoktur.
EBOB = ortak asalların en küçük üssü
EKOK = bütün asalların en büyük üssü
6 = 2·3, 8 = 2³ → EBOB 2, EKOK 24
A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B)
Yalnız iki sayı için geçerli (6, 10, 15 karşı örnektir).
EBOB her zaman EKOK’u böler.
Aralarında asal → EBOB = 1, EKOK = A · B
Biri diğerinin katı → EBOB küçük sayı, EKOK büyük sayı
EBOB ≤ min(A, B) ≤ maks(A, B) ≤ EKOK
Bahçe 52-108 → aralık 4 m, 54 fidan
Çit problemi → yol 44 m, en ucuz 5 m’lik çit 17 600 TL
Tomruklar 12-21 → yol 84 m, kazık 3 m
Depo 210 → fayans 21 × 30 cm, 70 adet
105 cm zemin → 21 × 35 cm fayans, çevre 112 cm
Yürüyüş yolları → 18 m ve 19 m
Çuvallar → mısır 20 kg, buğday 25 kg
Üçgen bahçe 24-40-48 → 14 ağaç · Laleler → 239