Her üç çubuk
bir üçgen
yapmaz.
Etkinlik dört renkli çubukla başlıyor: 7, 5, 4, 2 ve 2 cm. Üçünü uç uca birleştirmeyi deniyorsun ve bazı üçlülerin kapanmadığını görüyorsun. Neden kapanmadığının cevabı üçgen eşitsizliğidir; hangi kenarın hangi açının karşısında olduğunun cevabı da açı-kenar bağıntısı.
Kontrol Noktası’ndaki ifade: bir üçgende en uzun kenar
karşısında ölçüsü en büyük açı, en kısa kenar karşısında ölçüsü en küçük açı bulunur. Bu ifadenin
tersi de doğrudur.
“Tersi de doğru” cümlesi bu ünitenin en işe yarar yeridir: açıları
biliyorsan kenarları sıralayabilirsin, kenarları biliyorsan açıları
sıralayabilirsin. Ayrıca ölçüleri eşit açıların karşısında
uzunlukları eşit kenarlar bulunur — ikizkenarlığın tanımı buradan gelir.
ABC üçgeninde |AB| = 5, |AC| = 8
ve |BC| = √42 cm. Açılar büyükten küçüğe sıralanacak.
Karekökle uğraşmadan karşılaştırmanın yolu karelerini
karşılaştırmaktır:
8² = 64 > 42 > 25 = 5² ⇒
8 > √42 > 5
yani |AC| > |BC| > |AB|.
Uzun kenarın karşısında büyük açı bulunduğuna göre — |AC|’nin karşısı B, |BC|’nin karşısı A,
|AB|’nin karşısı C — sıralama:
m(B) > m(A) > m(C).
ABC üçgeninde D ∈ [BC], m(BAD) = 80°,
m(BDA) = 60°, m(DAC) = 20°;
|AB| = c, |AC| = b, |BD| = m, |AD| = n, |DC| = p.
· ABD üçgeni: m(B) = 180° − 80° − 60° = 40°.
Açılar 40° < 60° < 80° ⇒ karşı kenarlar
n < c < m.
· ADC üçgeni: m(ADC) = 180° − 60° = 120°, m(C) = 180° − 120° − 20° = 40°.
Açılar 20° < 40° < 120° ⇒ p < n < b.
· ABC üçgeni: m(A) = 100°, m(B) = m(C) = 40° ⇒ ikizkenar ⇒
b = c.
Hepsi birleştirilince: p < n < b = c < m.
Bir şekilde birden fazla üçgen varsa, açı-kenar bağıntısı her üçgende
ayrı ayrı uygulanır. İki farklı üçgenin açılarını doğrudan karşılaştırıp kenarları
sıralayamazsın.
Yukarıdaki alıştırmada ABD ve ADC üçgenlerinden iki ayrı sıralama çıktı; ikisini birleştiren
şey, ortak kenar n = |AD| oldu. Ortak kenar olmasaydı iki
sıralama birbirine bağlanamazdı.
Aynı hata şu biçimde de yapılır: “ADC üçgeninde 120° var, o hâlde b, ABD üçgenindeki m’den
büyüktür.” Yanlış — 120° farklı bir üçgenin açısıdır, m ile
arasında doğrudan bir bağ kurulamaz.
Etkinlikte 7, 5, 4, 2 ve 2 cm’lik çubuklardan üçü seçilip uç uca birleştiriliyor ve bazı üçlülerin üçgen oluşturmadığı görülüyor. Sebep tek: iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Kısa iki çubuk uzun olanın iki ucuna yetişemezse şekil kapanmaz.
Bir ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunlukları olmak üzere
aşağıdaki üç eşitsizliğin üçü birden sağlanır:
b − c < a < b + c
a − c < b < a + c
a − b < c < a + b
Bu eşitsizliklere üçgen eşitsizliği denir. Uygulamada tek satır
yeter: bir kenar, öteki ikisinin farkından büyük ve toplamından
küçüktür. Fark alınırken büyükten küçük çıkarılır (uzunluk negatif olamaz), bu yüzden
alt sınır çoğu kitapta |b − c| diye de yazılır.
Uçlarda eşitlik yoktur: a = b + c olsaydı üç nokta
doğrusal olurdu, üçgen oluşmazdı.
Çubuklar 7, 5, 4, 2 ve 2 cm. Üçlü seçimlerin bir kısmı
üçgen vermez; kuralı uygulayarak kendin denetleyebilirsin:
· 7, 5, 4 ⇒ 5 + 4 = 9 > 7 ✔ üçgen olur.
· 7, 5, 2 ⇒ 5 + 2 = 7, üçüncü kenara eşit
✘ olmaz (üç nokta doğrusal olur).
· 7, 4, 2 ⇒ 4 + 2 = 6 < 7 ✘ olmaz.
· 7, 2, 2 ⇒ 2 + 2 = 4 < 7 ✘ olmaz.
· 5, 4, 2 ⇒ 4 + 2 = 6 > 5 ✔ olur.
· 5, 2, 2 ⇒ 2 + 2 = 4 < 5 ✘ olmaz.
· 4, 2, 2 ⇒ 2 + 2 = 4, eşit ✘ olmaz.
Kontrol ederken yalnız en uzun kenara bakmak yeter: en uzun
kenar, öteki ikisinin toplamından küçükse öteki iki eşitsizlik kendiliğinden sağlanır.
Sınav sorularının çoğu “üçgen olur mu?” diye değil, “üçüncü kenar hangi değerleri alabilir?” diye sorar. Cevap her zaman açık bir aralıktır; tam sayı isteniyorsa o aralıktaki tam sayılar sayılır.
Büşra, Ahmet ve Ceylin’in evlerinin konumları doğrusal değil.
Büşra’nın evi Ahmet’inkine 7 km, Ceylin’inkine
11 km uzaklıkta. Ahmet ile Ceylin’in evleri arası kaç km olabilir?
Konumlar ABC üçgeni olarak modellenir: |AB| = 7, |BC| = 11, |AC| = x.
a) x < 7 + 11 = 18
b) x > 11 − 7 = 4
Birlikte: 4 < x < 18.
“Doğrusal değil” ifadesi boşuna verilmemiştir: doğrusal olsaydı
uzaklık 4 ya da 18 olabilir, üçgen oluşmazdı. Eşitsizliğin
katı olmasının sebebi budur.
ABC ve ACD üçgenlerinde |AB| = 6,
|BC| = |AD| = 8, |CD| = 13 cm.
|AC| = x’in alabileceği tam sayı değerleri isteniyor.
· ABC üçgeninde: 8 − 6 < x < 8 + 6 ⇒
2 < x < 14
· ADC üçgeninde: 13 − 8 < x < 13 + 8 ⇒
5 < x < 21
|AC| her iki üçgende de eşitsizliği sağlamak zorunda olduğundan
iki aralığın kesişimi alınır:
5 < x < 14.
Ortak kenarı olan iki üçgen gördüğünde refleks bu olmalı:
iki aralık üret, kesiştir.
ABC ve BCD üçgenlerinde |AB| = 3,
|AC| = 10, |BD| = 7,
|DC| = 4 birim. |BC|’nin alabileceği tam sayı değerlerinin
toplamı isteniyor.
· ABC üçgeninde: 10 − 3 < |BC| < 10 + 3 ⇒
7 < |BC| < 13
· BDC üçgeninde: 7 − 4 < |BC| < 7 + 4 ⇒
3 < |BC| < 11
· Kesişim: 7 < |BC| < 11
Tam sayı değerler 8, 9, 10 ve toplamları
27’dir.
Zeynep’in aldığı çubuk makarna kırılıp iki parçaya ayrılıyor; parçaların birer ucu C ve D
noktalarına değiyor, öteki uçları E’de birleşiyor.
|CE| / |ED| = 3/5 ve |CD| = 16 cm.
|ED| kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
|CE| = 3k, |ED| = 5k densin. CDE üçgeninde:
· 3k + 5k > 16 ⇒ 8k > 16 ⇒ k > 2
· 5k − 3k < 16 ⇒ 2k < 16 ⇒ k < 8
Buradan 2 < k < 8 ve
|ED| = 5k ⇒ 10 < |ED| < 40.
Bu aralıktaki tam sayılar 11’den 39’a kadardır:
39 − 11 + 1 = 29 farklı değer.
4 < x < 18 aralığındaki tam sayı sayısı 15’tir
(5’ten 17’ye), 17 değil. Uçlar dâhil değildir, çünkü
x = 4 ya da x = 18 olsaydı üç nokta doğrusal olurdu.
Doğru sayma yöntemi: (büyük uç − küçük uç) − 1, yani
18 − 4 − 1 = 13… değil. Aralıktaki ilk tam sayı 5, son tam sayı 17;
adet 17 − 5 + 1 = 13’tür. Formülü ezberlemek yerine
ilk ve son tam sayıyı yaz, aradaki farka 1 ekle.
Aynı hata alıştırma 3’te açı tarafında yapılır: “x > 10” denildiğinde x tam sayıysa
en küçük değer 11’dir, 10 değil.
Teknoloji uygulaması bir önerme ile başlıyor: ABC bir üçgen ve D üçgenin iç bölgesinde bir nokta ise |DB| + |DC| < |AB| + |AC| olur. D’yi üçgenin içinde gezdirdikçe uzunluklar değişir ama eşitsizlik hiç bozulmaz.
D iç noktaysa |DB| + |DC| < |AB| + |AC|.
Bu, matematik yazılımında D’yi hareket ettirip ölçerek doğrulanıyor. Ayrıca
şunu soruyor: D noktası A ile çakışırsa ne olur?
Cevap: D = A olduğunda |DB| = |AB| ve |DC| = |AC| olur, yani iki taraf
eşitlenir. Önermede “iç bölgede” denmesinin sebebi budur —
A köşesi iç bölgeye ait değildir, orada eşitsizlik eşitliğe
dönüşür.
9. Sıra Sizde’sindeki önerme:
bir üçgenin içinde alınan bir noktanın üçgenin köşelerine
uzaklıkları toplamı, üçgenin çevresinin uzunluğundan küçük, çevresinin uzunluğunun
yarısından büyüktür.
Ç, üçgenin çevresi olmak üzere:
Ç / 2 < |DA| + |DB| + |DC| < Ç
Alt sınırın sebebi üçgen eşitsizliğidir: |DA| + |DB| > |AB|, |DB| + |DC| > |BC| ve
|DA| + |DC| > |AC| eşitsizlikleri taraf tarafa toplanınca
2(|DA| + |DB| + |DC|) > Ç elde edilir.
Bu ünitede “eşkenar üçgen”, “ikizkenar üçgen”, “dik üçgen” diye yazıyoruz. Bu adların hepsi Mustafa Kemal Atatürk’ün yazdığı Geometri adlı kitaptan geliyor. Üç bölümden oluşan 44 sayfalık bu kitap, Türkiye’deki geometri öğretiminin kilometre taşlarından biridir; Atatürk burada Arapça ve Farsça kökenli terimler yerine çoğu bugün hâlâ kullanılan Türkçe geometri terimlerini üretmiştir. Aşağıdaki tabloda arama yapabilirsin.
Bu terimlerin bir kısmı için bugün
farklı kullanımlar söz konusudur: Atatürk’ün “dikey üçgen”
dediğine bugün dik üçgen diyoruz.
Türk milletini muasır medeniyet seviyesine ulaştırmayı temel
gaye edinen Atatürk, bu çalışmasıyla “zaviyetan-ı mütekabiletan-ı
dahiletan” gibi terimlere dönülmemesini ve
dünyada kabul gören çağdaş eğitim literatürüyle uyumlu bir eğitim
sisteminin hayata geçirilmesini hedeflemiştir.
Şunu bir dene: bu ünitenin bir cümlesini eski terimlerle yaz — “müselles-i mütesâviyü’l-adlânın
adlâı mütesâvidir.” Sonra bugünkü hâlini oku: “eşkenar üçgenin
kenarları eşittir.” İkinci cümleyi okur okumaz anlıyorsun;
terim seçiminin öğrenmeyi ne kadar etkilediği tam olarak bu.
Aşağıdaki durumlar karışık sırayla geliyor. Üçgen eşitsizliğini ve açı-kenar bağıntısını uygulayarak doğru cevabı seç.
Üçgen eşitsizliğinin günlük hayattaki adı basit: iki nokta arasındaki en kısa yol doğru parçasıdır. Bir yerden dolaşarak gitmek her zaman daha uzundur.
Okul bahçesinde kaldırım köşeyi dönerek gidiyor ama herkes çimin üstünden köşeyi keserek
yürüyor ve orada bir patika oluşuyor.
Kaldırımın iki kolu 40 m ve 30 m ise patika 40 + 30 = 70 m’den
kesinlikle kısadır — üçgen eşitsizliğinin tam ifadesi budur. (Kaldırımlar dik açı
yapıyorsa patika 50 m çıkar, ama üçgen eşitsizliği açıyı bilmeden bile
70’ten küçük dedirtir.)
Şehir plancıları bu patikalara “arzu hattı” diyor ve yeni
kaldırımları oraya yapıyorlar.
10. örneğin aynısı, senin mahallende: senin evin arkadaşının evine
7 dakikalık, öteki arkadaşının evine
11 dakikalık yürüyüş mesafesinde (aynı hızla).
İki arkadaşının evleri arasındaki yürüyüş
4 dakikadan az, 18 dakikadan çok olamaz.
Tam 4 ya da tam 18 çıkarsa üç ev aynı doğru üzerindedir;
yani biri, ötekilerin tam arasında ya da tam uzantısındadır. Haritaya bakmadan
bunu bile söyleyebilirsin.
Çadırın direği 2 m, ipi bağladığın kazık direğin dibinden
1,5 m uzakta. İp kaç metre olmalı?
Üçgen eşitsizliğinden: 2 − 1,5 < ip < 2 + 1,5, yani
0,5 m < ip < 3,5 m.
Bu aralık geniş görünüyor ama işe yarıyor: 4 metrelik bir iple o kazığa
gergin bağlantı yapamazsın, ip sarkar. 30 cm’lik ip ise
yetişmez. Kampta ip keserken aklında tutulacak tek kural bu.
Sen, takım arkadaşın ve pota bir üçgen oluşturuyor. Sen potaya
6 m, arkadaşın potaya 4 m
uzaktaysa aranızdaki mesafe 2 m ile 10 m arasındadır.
Bunun oyun içindeki karşılığı şu: arkadaşın sana 2 metreden yakın
duramaz (yoksa üçünüz aynı hizadasınız, savunma ikinizi birden kapatır) ve
10 metreden uzak olamaz.
Antrenörlerin “açılın, üçgen kurun” demesinin geometrik
sebebi tam olarak budur.
Odana raf asıyorsun; duvara 25 cm dikey, rafa
30 cm yatay tutturulan bir destek çubuğu kullanacaksın.
Çapraz destek parçası kaç cm olmalı?
30 − 25 < d < 30 + 25 ⇒ 5 < d < 55 cm.
Destek çubuğu bu üçgeni kilitler: kenarları sabitlenmiş bir
üçgenin açıları da sabittir, bu yüzden raf aşağı kaykılmaz.
Üçgen, şekil değiştirmeyen tek çokgendir; mobilya montaj
talimatlarındaki çapraz parçaların hepsi bunun için vardır.
Ailenle tatile giderken direkt uçuş yerine aktarmalı bilet alıyorsunuz. A’dan C’ye
direkt uçuş 900 km; B üzerinden aktarma yapılıyor.
Üçgen eşitsizliğinden |AB| + |BC| > 900 km olmak zorundadır —
aktarmalı yol her zaman daha uzundur; B tam yol üzerindeyse bile ancak
eşit olur.
Yine de aktarmalı bilet ucuz olabilir: geometri mesafeyi söyler,
fiyatı söylemez. Karar verirken hangi büyüklüğü küçültmek istediğine bakman gerekir.
Gitarın telini iki parmağınla ortadan çekip bıraktığında tel gerilir.
Çekilen telin oluşturduğu iki parça, düz telden
daha uzundur — çünkü telin iki ucu ve parmağının olduğu nokta
bir üçgen oluşturur ve iki kenarın toplamı üçüncüden büyüktür.
Bu yüzden teli çekmek onu gerer: uzunluğun artması gerilimi
artırır. Ne kadar çok çekersen ses o kadar
tizleşir. Vibrato yaparken elinin yaptığı iş, bu üçgenin
yüksekliğini oynatmaktır.
Telefondaki harita, evinle okulun arasını kuş uçuşu 1,2 km,
yürüyüş rotasını 1,7 km gösteriyor. Aradaki fark garip değil,
zorunlu: rota, kuş uçuşu doğrunun üzerinde olmayan
köşelerden geçtiği için her ara nokta bir üçgen ekler ve toplam uzar.
Kuş uçuşu mesafenin yürüyüş mesafesinden büyük olması imkânsızdır.
Uygulama sana 1,0 km yürüyüş gösterseydi bir yerde hata vardır
derdin — ve haklı olurdun.
Masa tenisinde çapraz köşeye atılan top, düz atılan toptan
daha uzun yol alır: masanın kenarı ve genişliği bir dik üçgenin
iki kenarı, çapraz vuruş ise en uzun kenardır.
Açı-kenar bağıntısı bunu doğruluyor: en büyük açının (90°)
karşısındaki kenar en uzundur.
Oyun içindeki sonucu şu: çapraz atış rakibe daha çok tepki süresi
bırakır ama daha geniş açı açar. İyi oyuncular ikisi arasında
bilinçli seçim yapar.
48 soruluk test · açı-kenar bağıntısı ve iki yönlü sıralama, üçgen eşitsizliğinin üç satırı, üçüncü kenarın değer aralığı ve tam sayı sayma, ortak kenarlı iki üçgende kesişim, iç nokta önermeleri ve Atatürk’ün geometri terimleri
En uzun kenar karşısında en büyük açı,
en kısa kenar karşısında en küçük açı.
Tersi de doğrudur.
Eşit açılar karşısında eşit kenarlar bulunur.
b − c < a < b + c
a − c < b < a + c
a − b < c < a + b
Üçü de sağlanmalıdır; pratikte
en uzun kenarı denetlemek yeter.
a = b + c olsaydı üç nokta doğrusal olurdu ve üçgen oluşmazdı. Bu yüzden bütün eşitsizlikler katıdır, uçlar dâhil değildir.
7 ve 11 verilirse: 4 < x < 18
Tam sayılar 5’ten 17’ye, 13 tane.
Sayarken son − ilk + 1.
Kenar iki üçgende birden yer alıyorsa iki aralık üretilip
kesiştirilir.
11. örnek: 2 < x < 14 ve 5 < x < 21 ⇒
5 < x < 14.
|AB| = 5, |AC| = 8, |BC| = √42 ⇒
64 > 42 > 25 ⇒ 8 > √42 > 5 ⇒
m(B) > m(A) > m(C).
Karekökleri kareleriyle karşılaştır.
D iç noktaysa
|DB| + |DC| < |AB| + |AC|.
D, A ile çakışırsa iki taraf eşitlenir — önermede
“iç bölge” denmesinin sebebi budur.
Ç çevre olmak üzere
Ç / 2 < |DA| + |DB| + |DC| < Ç.
Alt sınır, üç üçgen eşitsizliğinin taraf tarafa toplanmasından çıkar.
3 bölüm, 44 sayfa.
Yöndeş açı · ters açı · dik üçgen · eşkenar üçgen · ikizkenar üçgen —
bugünkü terimlerin çoğu bu kitaptan gelir.