Yerini değiştir,
şeklini koru
Analitik düzlemde bir noktayı kaydırmak, döndürmek ya da aynalamak — üçünün de bir formülü var. Bu ünitede öteleme, dönme ve simetri dönüşümlerini, sonra da ikisinin birlikte uygulandığı bileşke dönüşümleri göreceksin. Ortak özellikleri şu: şeklin boyu ve açıları değişmez, yalnız yeri değişir.
Tanım: analitik düzlemde verilen bir noktanın belli bir doğrultuda ve belli bir yönde yer değiştirmesine öteleme denir. Dört kural veriliyor ve dördü de aynı mantığı taşıyor — hangi eksen boyunca ötelenirsen o eksenin koordinatı değişir: x ekseni boyunca pozitif yönde (sağa) a birim ötelemede A′(x + a, y), negatif yönde (sola) a birim ötelemede A′(x – a, y); y ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı) a birim ötelemede A′(x, y + a), negatif yönde (aşağı) a birim ötelemede A′(x, y – a) elde edilir.
Sağa a birim: A′(x + a, y)
Sola a birim: A′(x – a, y)
Ordinat hiç değişmez.
Yukarı a birim: A′(x, y + a)
Aşağı a birim: A′(x, y – a)
Apsis hiç değişmez.
Bir şeklin bütün köşelerine aynı öteleme uygulanırsa noktalar arası farklar değişmediği için kenar uzunlukları ve açılar aynı kalır. Bu, bileşke dönüşümler başlığında ayrıca belirtilir.
Dönme formülü kutupsal gösterimden türetilir. P(x, y) noktası için [OP]’nin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı θ ve |OP| = r ise x = r·cos θ ve y = r·sin θ olur. Nokta orijin etrafında pozitif yönde α kadar döndürülürse yeni açı θ + α olur; x′ = r·cos(θ + α) ve y′ = r·sin(θ + α) açılımları yapılınca r·cos θ yerine x, r·sin θ yerine y yazılır ve R(α)(x, y) = (x·cos α – y·sin α, x·sin α + y·cos α) elde edilir. Ders kitabı α açısına dönme açısı diyor ve dört özel değeri liste hâlinde veriyor. Son madde de şu: dönme dönüşümü, analitik düzlemde bir nokta dışındaki tüm noktaları değiştirir; değiştirmediği bu noktaya dönme merkezi denir.
R₁₈₀(x, y) = (–x, –y)’dir ve bir noktanın orijine göre simetriği de (–x, –y)’dir. İkisi düzlemde aynı dönüşümdür: bir noktaya göre simetri, o nokta etrafında 180° döndürmenin ta kendisidir ve şeklin dönüş yönünü korur. Yönü ters çeviren simetri, bir doğruya göre olandır — x eksenine, y eksenine ya da y = x doğrusuna göre simetride köşelerin dizilme yönü tersine döner. Ayrıca R₃₆₀ hiçbir noktayı değiştirmez; dönme merkezi olan orijin ise her α için yerinde kalır.
Simetri dört başlıkta verilir. Bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi: A(x, y) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği, orta nokta koordinatlarından A′(2a – x, 2b – y) bulunur — çünkü B, A ile A′ nün orta noktasıdır. Bunun özel hâli olarak A(x, y) noktasının orijine göre simetriği A′(–x, –y)’dir. Eksenlere göre: A(a, b) noktasının x eksenine göre simetriği B(a, –b), y eksenine göre simetriği C(–a, b)’dir. y = x doğrusuna göre simetriği ise A′(b, a)’dır — koordinatlar yer değiştirir.
A(x, y)’nin B(a, b)’ye göre simetriği A′(2a – x, 2b – y). B, [AA′]’nın orta noktasıdır.
A′(–x, –y). Noktaya göre simetrinin a = b = 0 hâlidir.
x eksenine göre (a, –b), y eksenine göre (–a, b). Hangi eksene göre simetri alınıyorsa öteki koordinat işaret değiştirir.
A′(b, a). Koordinatlar yer değiştirir; ters fonksiyon grafiğinin y = x’e göre simetrik olmasının sebebi de budur.
A(x₁, y₁) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna göre simetriğini bulmak için sırasıyla uygulanacak adımları veriyor: doğrunun eğimi m = –a/b bulunur; [AA′] ile doğru birbirine dik olduğundan [AA′]’nın eğimi b/a olur; eğimi b/a olan ve A’dan geçen doğrunun denklemi y – y₁ = (b/a)·(x – x₁) ifadesinden elde edilir; bu yeni doğru ile ax + by + c = 0 doğrusu ortak çözülerek K(m, n) noktası bulunur; son olarak A’nın K’ya göre simetrisi alınarak A′(2m – x₁, 2n – y₁) elde edilir. Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği için ise daha kısa bir yol var: d₁ doğrusunun denkleminde x yerine 2a – x, y yerine 2b – y yazılarak d₂ elde edilir.
Simetride ayna doğrusu, [AA′] doğru parçasının orta dikmesidir: hem tam ortasından geçer hem de diktir. Bu yüzden [AA′]’nın eğimi, doğrunun eğimiyle çarpıldığında –1 vermelidir; –a/b’nin bu şartı sağlayan eşi b/a’dır.
d₁ üzerindeki bir B(x, y) noktasının A(a, b)’ye göre simetriği olan C(2a – x, 2b – y) noktası d₂ üzerindedir. Bu yüzden d₂’yi bulmak için d₁’in denkleminde x yerine 2a – x, y yerine 2b – y yazmak yeter. Sonuçta d₁ // d₂ olur; eğim değişmez, yalnız sabit terim değişir.
İki bileşke tanımlanır. Ötelemeli dönme dönüşümü: öteleme ve dönme dönüşümünün birlikte uygulandığı dönüşümlerdir; uygulanan şekillerin üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklık değişmez ve şekillerin üzerindeki açıların ölçüleri de aynı kalır. Ötelemeli simetri dönüşümü: öteleme ve simetri dönüşümünün birlikte uygulandığı dönüşümlerdir; burada da iki nokta arasındaki uzaklık değişmez ama bir fark vardır: şekillerin üzerindeki açıların ölçülerinin yönü değişir. Yani ölçüler aynı kalır, yön ters döner — aynaya bakan bir yazının okunamamasının sebebi tam olarak budur.
Örnekler: bir kuşun tüyüne bakıldığında üzerindeki şekillerin simetrik olduğu görülür; bir çiçeğin yapraklarında dönme dönüşümü ve simetri görülür. Mimaride de çağlar boyu binaların yapımında ve süslenmesinde bu kavramlardan yararlanılmıştır. Özellikle süsleme alanında halı, kilim, çini ve el işleri gibi sanatlarda simetri, dönme ve öteleme örnekleriyle sıkça karşılaşılır.
Bileşke dönüşümlerde önce hangisinin uygulandığı sonucu değiştirebilir. Önce 90° döndürüp sonra sağa 5 birim ötelemekle, önce sağa 5 birim öteleyip sonra döndürmek çoğu zaman farklı noktalar verir — çünkü ikinci durumda öteleme de döndürülmüş olur. Değişmeyen tek şey uzunluklar ve açı ölçüleridir.
Öteleme, dönme ve simetri; telefonundaki fotoğraf uygulamasından oyunlara, halı desenlerinden dans koreografisine kadar her yerde. Üçünün de ortak sözü şu: şeklin kendisi değişmez, yalnız yeri ya da yönü değişir.
Galeride “döndür” düğmesine her bastığında fotoğrafın her pikseline R₉₀ uygulanır: (x, y) noktası (–y, x) olur. Dört kez basarsan başa dönersin, çünkü R₃₆₀ hiçbir şeyi değiştirmez.
Ön kamera görüntüyü y eksenine göre aynalar: (a, b) noktası (–a, b) olur. Tişörtündeki yazının ters görünmesinin sebebi budur — ölçüler aynı, yön ters.
Sağ tuşa basılı tutmak karakteri x ekseni boyunca pozitif yönde öteler: (x + a, y). Zıplamak ise y ekseni boyunca ötelemedir: (x, y + a).
Bir kâğıdı ikiye katlayıp kestiğinde çıkan iki parça birbirinin katlama çizgisine göre simetriğidir. Katlama çizgisi tam olarak ayna doğrusudur.
Bir motifin yan yana tekrarlanması öteleme, çevresine dizilmesi dönme, karşılıklı yerleşmesi simetridir. Örnek olarak halı, kilim ve çiniyi veriyor.
Sahanın iki yarısı orta çizgiye göre simetriktir. Bir taktik çizimini öteki yarıya taşımak, bütün noktalara aynı simetri dönüşümünü uygulamak demektir.
Yelkovanın ucu her dakikada 6° döner ve merkez hiç kıpırdamaz. “Dönme merkezi” denen nokta budur: dönüşümün değiştirmediği tek nokta.
İki dansçı aynı hareketi karşılıklı yapıyorsa aralarında simetri, aynı yöne kayarak yapıyorsa öteleme vardır. Hareketin “büyüklüğü” ikisinde de aynıdır, değişen yön ve yerdir.
Bir çiçeğin yapraklarında hem dönme hem simetri görülür. Kar tanesi de merkezine göre 60°’lik dönmelerle kendisiyle çakışır.
Öteleme, dönme, simetri ve bileşke dönüşümler üzerine 51 soruluk test.
Sağa a birim: (x + a, y) ·
sola: (x – a, y)
Yukarı a birim: (x, y + a) ·
aşağı: (x, y – a)
R(α)(x, y) = (x·cos α – y·sin α, x·sin α + y·cos α)
x = r·cos θ ve y = r·sin θ yazımından türetilir; α’ya
dönme açısı denir.
R₉₀(x, y) = (–y, x) ·
R₁₈₀(x, y) = (–x, –y)
R₂₇₀(x, y) = (y, –x) ·
R₃₆₀(x, y) = (x, y)
Dönme dönüşümü bir nokta dışındaki tüm noktaları değiştirir; değiştirmediği bu noktaya dönme merkezi denir. Bu ünitedeki formüllerde dönme merkezi orijindir.
B(a, b)’ye göre: (2a – x, 2b – y) ·
orijine göre: (–x, –y)
x eksenine göre: (a, –b) ·
y eksenine göre: (–a, b) ·
y = x’e göre: (b, a)
1) m = –a/b · 2) [AA′]’nın eğimi b/a · 3) A’dan geçen dik doğru yazılır · 4) iki denklem ortak çözülüp K(m, n) bulunur · 5) A′(2m – x₁, 2n – y₁).
d₁’in denkleminde x yerine 2a – x, y yerine 2b – y yazılır. Bulunan d₂, d₁’e paraleldir.
Ötelemeli dönmede uzaklıklar ve açı ölçüleri aynı kalır. Ötelemeli simetride uzaklıklar yine değişmez ama açıların ölçülerinin yönü değişir.
R₁₈₀ ile orijin simetrisi aynı dönüşümdür: ikisi de
(–x, –y) verir ve şeklin dönüş yönünü korur. Yönü ters çeviren, bir doğruya göre
simetridir.
Eksene göre simetride öteki koordinat işaret
değiştirir — x eksenine göre simetride y, y eksenine göre simetride x.
Kuş tüyünde simetri, çiçek yapraklarında dönme ve simetri görülür; halı, kilim, çini ve el işlerinde üç dönüşüm de sıkça karşımıza çıkar.