Bir taban,
bir yükseklik.
Üçgenin alanı hangi kenarı taban seçersen seç aynı çıkar: a·ha/2 = b·hb/2 = c·hc/2. Soruların çoğu bu eşitlikten ya da iki alanın oranından çözülür — çoğu zaman tek bir uzunluğu bile bilmene gerek kalmaz.
Konu özetinin dar açılı üçgen için verdiği eşitlik: A(ABC) = a·ha/2 = b·hb/2 = c·hc/2 dir. Yani hangi kenarı taban alırsan al, o kenara ait yükseklikle çarpıp ikiye böldüğünde hep aynı sayı çıkar.
Üç ifade birbirine eşit olduğu için a·ha = b·hb = c·hc yazılabilir. Buradan çıkan pratik kural şudur: uzun kenara ait yükseklik daha kısadır. Çarpımları sabit tutmak için biri büyürken öteki küçülmek zorundadır.
Yükseklik, taban olarak seçtiğin kenara ait olmalı. a kenarını taban seçip hb ile çarpmak yanlış sonuç verir. Soruda verilen dikme hangi kenara inmişse taban o kenardır.
Konu özeti üç durumu ayrı ayrı veriyor ama formül değişmiyor. Değişen tek şey yüksekliklerin üçgenin içine mi dışına mı düştüğü — ve dik üçgende bir kısayolun doğması.
Üç yükseklik de üçgenin içine düşer.
Dik kenarlardan biri, diğerinin yüksekliğidir. Bu yüzden alan doğrudan dik kenarların çarpımının yarısıdır.
İki yükseklik kenarların uzantısına iner; yine de formül değişmez.
Dik üçgende a·ha/2 = b·c/2 olduğundan a·ha = b·c çıkar. Bu, 65. ünitedeki Öklid bağıntılarından h = b·c/a ile aynı eşitliktir; alan iki farklı yoldan yazılınca kendiliğinden ortaya çıkar.
Konu özetinin uygulama sayfasındaki iki bağıntı, soruların çoğunu tek satırda çözer: ortak olan neyse (taban ya da yükseklik) sadeleşir, geriye tek bir oran kalır.
D noktası [BC] üzerindeyse ABD ve ADC üçgenlerinin A dan inen yüksekliği ortaktır. Alanlar oranı bu yüzden yalnız tabanların oranıdır.
İki üçgenin tabanı ortak ([BC]) ise alanlar oranı yalnız o tabana inen yüksekliklerin oranıdır.
D noktası [BC] nin orta noktası olduğunda |BD| = |DC| olur ve oran 1 e iner: kenarortay üçgeni alanca iki eşit parçaya böler. Bu, 63. ünitedeki kenarortay bilgisinin alan cinsinden karşılığıdır.
Konu özetinin verdiği bağıntı: A(ABC) = (1/2)·b·c·sin  dır. Yani iki kenar ile aralarındaki açı biliniyorsa yüksekliğe hiç ihtiyaç yoktur.
C den [AB] ye inen yükseklik h ise, ACH dik üçgeninde h = b·sin  dır. Bunu A = c·h/2 formülünde yerine koyarsan doğrudan A = (1/2)·b·c·sin  çıkar. Yani yeni bir formül değil, temel formülün trigonometrik yazılışıdır.
Açı, seçilen iki kenarın arasındaki açı olmalı. b ve c kenarları verilip  yerine B̂ açısı kullanılırsa sonuç yanlış çıkar.  = 90° iken sin 90° = 1 olduğundan formül b·c/2 ye, yani dik üçgenin alanına iner.
Konu özetinin son iki uygulaması: benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesidir ve kenarortaylar üçgeni altı eşit alana ayırır.
Ortak nokta: bir yüzeyi paylaşmak, boyamak ya da kesmek gerektiğinde alan hesabı devreye girer — ve çoğu zaman tam sayı yerine oran yeter.
Üçgen kesilmiş bir dilimi ortadan ikiye bölersen iki parçanın alanı eşittir, çünkü tepe noktasından inen yükseklik ortaktır ve tabanlar eşit olur.
Üçgen bir afişi boyamak için gereken boya alanla orantılıdır. Afişi 2 katına büyütürsen boya 4 katına çıkar — alan oranı benzerlik oranının karesidir.
İki çubuğun uzunluğu ve aralarındaki açı biliniyorsa kumaş alanı sinüslü formülle bulunur; çubukları dikleştirdiğinde kumaş en geniş hâline gelir.
Üçgen bir bahçeyi iki kardeş arasında 2 ye 3 bölmek için tabanı 2k ve 3k olacak biçimde işaretlemek yeter; alanlar da aynı oranda bölünür.
Artan üçgen kumaş parçalarından kaç tane süs çıkacağını bulurken, küçük parçanın kenarı büyüğün yarısıysa alanı dörtte biri kadardır.
Kaykay rampasının yan yüzü dik üçgendir; kaplanacak alan iki dik kenarın çarpımının yarısıdır, hipotenüsü ölçmene gerek yoktur.
Okul gösterisinde ışığın sahnede aydınlattığı üçgen alan, ışığın açısı büyüdükçe genişler; aynı mesafede açıyı iki katına çıkarmak alanı basitçe iki katına çıkarmaz.
Üçgen bir kartonu parmağının ucunda dengelemek istersen dokunacağın yer ağırlık merkezidir; orası üçgeni alanca altı eşit parçaya bölen noktadır.
Ödev için haritadan üçgen bir arazinin alanını hesaplarken ölçek 1/1000 ise gerçek alan harita alanının 1000² katıdır — yine karesel büyüme.
Üçgende alanın temel formülü, dar/dik/geniş açılı üçgenlerde alan, alanların oranı, iki kenar ve aralarındaki açı ile alan, benzerlikte k² kuralı ve ağırlık merkezinin altı eş parçası üzerine 36 soru.
Hangi kenar taban seçilirse seçilsin alan aynıdır.
Dik kenarlardan biri ötekinin yüksekliğidir.
İki yükseklik kenar uzantılarına iner ama formül değişmez.
Uzun kenara ait yükseklik daha kısadır.
D, [BC] üzerindeyken yükseklik ortaktır, tabanlar oranı kalır.
Taban ortaksa alanlar oranı yüksekliklerin oranıdır.
İki kenar ve aralarındaki açı yeterlidir.
sin 90° = 1 olduğundan sinüslü formül b·c/2 ye döner.
Benzerlik oranı k ise alanlar oranı k² dir; çevre oranı ise k dır.
Üçgeni alanca iki eşit parçaya böler; tabanlar eşit, yükseklik ortaktır.
G noktasında birleşen üç kenarortay üçgeni altı eşit alana ayırır.
Her küçük üçgen bütünün 1/6 sıdır; ikisi birleşince 1/3, üçü birleşince 1/2 eder.