Bölenleri saymak için
bölmene gerek yok.
72’nin kaç pozitif böleni olduğunu bulmak için 1’den 72’ye kadar tek tek denemek zorunda değilsin. 72 = 2³ · 3² yazdığın anda cevap çıkar: (3 + 1) · (2 + 1) = 12. Bu ünite, bir sayının asal çarpanlarındaki üslerin onun bölenlerini nasıl eksiksiz kontrol ettiğini gösteriyor.
1’den büyük her tam sayı ya asal bir sayıdır ya da asal sayıların çarpımlarından oluşur. Örneğin 11 asal bir sayıdır, 12 sayısı ise 12 = 2 · 2 · 3 şeklinde asal sayıların çarpımı olarak elde edilir. Birden büyük her tam sayı sonlu sayıda asal sayının çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazılış tek türlüdür. Yani hangi yoldan bölmeye başlarsan başla, elinde kalan asal çarpanlar aynıdır — yalnız sıraları değişir.
A ve n birer pozitif tam sayı; p₁, p₂, …, pₙ asal sayılar ve a₁, a₂, …, aₙ pozitif tam sayılar olmak üzere bir A tam sayısının
A = p₁a₁ · p₂a₂ · … · pₙaₙ
şeklinde yazılmasına A sayısının asal çarpanlarına ayrılışı denir. Buradaki p₁, p₂, …, pₙ sayıları A’nın asal çarpanlarıdır. Örnek: 360 = 2³ · 3² · 5 — üç asal çarpanı vardır (2, 3, 5) ama çarpanların toplam sayısı 3 + 2 + 1 = 6’dır. Bu ikisini karıştırma; sınavda en çok sorulan ayrım budur.
Bir A doğal sayısının pozitif tam sayı böleni, A’yı kalansız bölen pozitif tam sayıdır. Aşağıdaki ızgarada 1’den seçtiğin sayıya kadar bütün doğal sayılar duruyor; bölen olanlar dolu kutuya dönüyor. Kaydırağı çekerken dolu kutuların simetrik çiftler hâlinde geldiğine dikkat et: bir bölen küçükse eşi büyüktür.
36’nın bölenleri: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9, 6 · 6. Her çift bir küçük bir büyük böleni eşliyor; ortadaki 6 kendisiyle eşleşiyor çünkü 36 bir tam karedir. Bu yüzden bölen ararken yalnız karekökün altına kadar denemek yeter — üstündekiler kendiliğinden çıkar. Ve bu yüzden tam karelerin bölen sayısı tektir, diğer bütün sayıların çifttir.
| Sayı | Asal çarpanlara ayrılmış hâli | Pozitif tam sayı bölenleri | Bölen sayısı |
|---|---|---|---|
| 24 | 2³ · 3 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 |
| 28 | 2² · 7 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 6 |
| 36 | 2² · 3² | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 9 |
| 40 | 2³ · 5 | 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 | 8 |
| 49 | 7² | 1, 7, 49 | 3 |
| 73 | 73 (asal) | 1, 73 | 2 |
| 100 | 2² · 5² | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 |
Bir bölen kurmak, her asal çarpandan kaç tane alacağına karar vermektir. 2³ · 3² sayısında ikiden 0, 1, 2 ya da 3 tane (dört seçenek), üçten 0, 1 ya da 2 tane (üç seçenek) alabilirsin. Her seçim ikilisi farklı bir bölen üretir, hiçbiri tekrar etmez. Bu yüzden bölen sayısı 4 · 3 = 12’dir.
A = p₁a₁ · p₂a₂ · … · pₙaₙ ⇒ pozitif bölen sayısı = (a₁ + 1) · (a₂ + 1) · … · (aₙ + 1)
Neden “+1”? Çünkü bir asaldan hiç almama da bir seçenektir; üs 0 olur ve bu seçim 1 sayısını (ya da eksik kalan çarpanı) üretir. Üs a ise seçenek sayısı 0’dan a’ya kadar a + 1 tanedir.
Aşağıdaki tabloda her sayının asal çarpanlara ayrılmış hâli, bölen sayısı, bölenleri ve bölenlerinin toplamı var. Arama kutusuna “asal” yaz, yalnız asal sayılar kalsın; “tam kare” yaz, bölen sayısı tek olanlar kalsın.
64 = 2⁶ → bölen sayısı 6 + 1 = 7
60 = 2² · 3 · 5 → bölen sayısı 3 · 2 · 2 = 12
64 daha büyük ama 60’ın bölen sayısı iki kattan fazla. Bölen sayısını belirleyen
sayının büyüklüğü değil, asal çarpanlarının çeşitliliğidir.
6’yı kalansız bölen tam sayılar yalnız 1, 2, 3, 6 değil; −1, −2, −3, −6 da böler. Bir A sayısının pozitif ve negatif tam sayı bölenlerinin sayısı birbirine eşittir; her pozitif bölenin işaret değiştirmişi bir negatif bölendir, fazlası ya da eksiği yoktur.
| Sayı | Pozitif tam sayı bölenleri | Negatif tam sayı bölenleri |
|---|---|---|
| 6 | 6, 3, 2, 1 | −6, −3, −2, −1 |
| 12 | 12, 6, 4, 3, 2, 1 | −12, −6, −4, −3, −2, −1 |
| 9 | 9, 3, 1 | −9, −3, −1 |
| 8 | 8, 4, 2, 1 | −8, −4, −2, −1 |
| 7 | 7, 1 | −7, −1 |
| 15 | 15, 5, 3, 1 | −15, −5, −3, −1 |
Sıradaki soru şuydu: pozitif bölen sayısı 5 olan bir sayı bulup kuralı sına. 16 = 2⁴ → pozitif bölenleri 1, 2, 4, 8, 16 (beş tane), negatif bölenleri −1, −2, −4, −8, −16 (yine beş tane). Toplam tam sayı bölen sayısı 2 · 5 = 10.
“Pozitif bölen sayısı” → (a₁+1)(a₂+1)…
36 için 9.
“Tam sayı bölen sayısı” → 2 · (a₁+1)(a₂+1)…
36 için 18.
“Asal bölen sayısı” → farklı asal çarpan adedi.
36 = 2²·3² için 2.
Bölen sayısı bağıntısını anladıysan aşağıdaki dört soru da aynı fikirle çözülür: bölen kurmak her asaldan kaç tane alacağını seçmektir. Şart koyduğunda seçenek sayısı daralır, çarpım da öyle.
Bölenin çift olması için 2’den en az bir tane alman gerekir;
yani 2’nin üssü 1, 2, …, a olabilir — a seçenek.
360 = 2³ · 3² · 5 → çift bölen sayısı 3 · 3 · 2 = 18.
Bölenin tek olması için 2’den hiç almamalısın; 2’nin üssü
zorunlu olarak 0’dır, tek seçenek.
360 → tek bölen sayısı 1 · 3 · 2 = 6.
Kontrol: 18 + 6 = 24 = toplam bölen sayısı (4 · 3 · 2).
Her asalın üsleri için toplamları ayrı ayrı yazıp çarparsın:
72 = 2³ · 3² →
(1 + 2 + 4 + 8) · (1 + 3 + 9) = 15 · 13 = 195.
Parantezleri açtığında 12 terim çıkar — 72’nin tam 12 böleni.
Bir sayı tam karedir ⟺ bütün üsleri çifttir ⟺
bölen sayısı tektir.
400 = 2⁴ · 5² → bölen sayısı 5 · 3 = 15 (tek) ve gerçekten 400 = 20².
Bölen sayısı 3 olan sayılar ise yalnız asal kareleridir:
4, 9, 25, 49, 121, …
Kendisi hariç pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara
mükemmel sayı denir. Öklit-Euler teoremine göre 2ᵖ − 1 asal
ise 2ᵖ⁻¹ · (2ᵖ − 1) bir mükemmel sayıdır.
p = 2 → 3 asal → 2 · 3 = 6 (tek basamaklı)
p = 3 → 7 asal → 4 · 7 = 28 (iki basamaklı)
p = 5 → 31 asal → 16 · 31 = 496 (üç basamaklı)
p = 7 → 127 asal → 64 · 127 = 8128 (dört basamaklı, aranan aralığın dışında)
Kontrol: 28’in kendisi dışındaki bölenleri 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28;
496’nınkiler 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
Konunun en güzel uygulaması bir şifreleme yöntemi. Türk harfleri alfabetik sıralamaya göre 2’den 30’a kadar numaralandırılıyor, sonra her sayı asal çarpanlarına ayrılıyor ve her asal çarpanın kuvveti asalın sağına yazılıyor. Harfler arasında bir, kelimeler arasında iki boşluk bırakılıyor.
Önce sıra numaraları: K = 15, İ = 13, T = 25, A = 2, P = 21.
Sonra asal çarpanlar: 15 = 3¹ · 5¹, 13 = 13¹, 25 = 5², 2 = 2¹, 21 = 3¹ · 7¹.
Kuvvetler asalların sağına yazılır: 3151 131 52 21 3171.
Sıra numaraları: D = 6, O = 19, Ğ = 10, A = 2, Y = 29, I = 12 · K = 15, O = 19, R = 22, U = 26.
Asal çarpanları: 6 = 2¹·3¹, 19 = 19¹, 10 = 2¹·5¹, 2 = 2¹, 29 = 29¹, 12 = 2²·3¹,
15 = 3¹·5¹, 22 = 2¹·11¹, 26 = 2¹·13¹.
Şifreli hâli: 2131 191 2151 21 291 2231 3151 191 21111 21131.
131 231 21111 21 23 71 52 171 71
Her grup asal-üs çiftlerine ayrılır: 13¹ = 13, 23¹ = 23, 2¹·11¹ = 22, 2¹ = 2, 2³ = 8,
7¹ = 7, 5² = 25, 17¹ = 17, 7¹ = 7.
Sıra numaraları 13, 23, 22, 2, 8 · 7, 25, 17, 7 →
İSRAF ETME.
Bu kez sayı, en küçük asaldan başlanarak hiçbir asal atlanmadan
en büyük asal çarpanına kadar üslü yazılır; sonra yalnız üsler sırayla okunur.
15 = 2⁰ · 3¹ · 5¹ → kod 011.
14 = 2¹·3⁰·5⁰·7¹ → 1001 · 20 = 2²·3⁰·5¹ → 201 ·
30 = 2¹·3¹·5¹ → 111 · 45 = 2⁰·3²·5¹ → 021.
AÇIK kelimesi: A = 2 → 1, Ç = 5 → 001, I = 12 → 21, K = 15 → 011, yani
1 001 21 011.
Aynı yöntemle DEFTER: D = 6 → 11, E = 7 → 0001, F = 8 → 3, T = 25 → 002, E = 7 → 0001,
R = 22 → 10001; sonuç 11 0001 3 002 0001 10001.
Aşağıdaki altı problemin altısında da soru aslında “bu sayının kaç böleni var” ya da “bölenleri hangileri” sorusudur. Sahne değişiyor, matematik aynı kalıyor.
Her sırada eşit sayıda elma olacaksa sıra sayısı 36’nın bir bölenidir. 36 = 2² · 3² → 9 farklı diziliş: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6, 9×4, 12×3, 18×2, 36×1.
Pozitif bölen sayısı 3 olan sayılar asal kareleridir: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961 — 1000’den küçük 11 tane. Kemal 11 yaşında. İpek ondan büyük ve bölen sayısı 2 olan (yani asal) en küçük sayı: 13 yaşında.
Her masaya eşit sayıda kişi oturacaksa masa başına düşen kişi sayısı 40’ın bölenidir. 40 = 2³ · 5 → 4 · 2 = 8 farklı planlama (1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 kişilik masalar).
Parça sayısı n, 120’nin böleni olmalı; n ≥ 3 ve parça uzunluğu 120/n ≥ 3 yani n ≤ 40. 120’nin bölenlerinden bu aralıkta kalanlar: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 → 12 farklı değer. Uzunluklar sırasıyla 40, 30, 24, 20, 15, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3 cm.
Kenarları tam sayı olan dikdörtgenler: 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10 — 6 farklı boyut. Çit maliyeti çevreyle orantılıdır ve çevreler 122, 64, 46, 38, 34, 32 metre. En az maliyet 6 m × 10 m seçiminde: kare şekle en yakın olan dikdörtgen en kısa çevreyi verir.
Seçilen kartların çarpımı hep 2ᵃ · 3ᵇ biçiminde olur; a en çok 3, b en çok 2 olabilir. Yani a için 4, b için 3 seçenek → 12 farklı sayı. En büyüğü 2³ · 3² = 72, en küçüğü 1. Oluşan her sayı 72’nin bir bölenidir — 72’nin bölen sayısı da zaten 12.
360 = 2³ · 3² · 5 için farklı asal çarpan sayısı 3 (2, 3, 5); asal çarpanların toplam adedi 3 + 2 + 1 = 6; pozitif bölen sayısı 4 · 3 · 2 = 24. Üç ayrı sayı, üç ayrı soru.
2⁴ · 5² için bölen sayısı 4 · 2 = 8 değildir; (4 + 1)(2 + 1) = 15’tir. “+1”, o asaldan hiç almama seçeneğidir ve her zaman vardır.
1 her sayının bölenidir, sayının kendisi de kendi bölenidir. “Kendisi hariç” ya da “1 dışındaki” gibi bir sınır soruda yazmıyorsa ikisi de sayılır. Mükemmel sayı tanımında bu sınır özellikle konuluyor.
1’in tek bir pozitif böleni vardır, oysa asal sayının tam iki böleni olmalıdır. Bu yüzden 1 ne asaldır ne de asal çarpanlara ayrılır. Bölen sayısı 2 olan sayılar tam olarak asal sayılardır.
“Bölenlerinin sayısı” denince genelde pozitif bölenler kastedilir ama soru “tam sayı bölenleri” diyorsa cevabı ikiyle çarpman gerekir. 12 için 6 ile 12 arasındaki fark budur.
97 üç basamaklıya yakın ama asal olduğu için yalnız 2 böleni var; 96 = 2⁵ · 3’ün ise 12 böleni var. Bölen sayısını büyüklük değil, asal çarpan yapısı belirler.
Soru her açılışta karışıyor, şıkların yeri de sabit değil. Yanlış cevap verdiğinde doğrusunu ve gerekçesini birlikte göreceksin.
“Eşit paylaştıralım”, “tam sıra olsun”, “artan kalmasın” cümlelerinin geçtiği her yerde aslında bölen arıyorsun.
24 kişilik sınıf fotoğraf için eşit sıralara dizilecek. Kaç farklı diziliş var? 24 = 2³ · 3 → 8. Ama “en az 2 sıra ve her sırada en az 2 kişi” dersen 1×24 ve 24×1 düşer, 6 diziliş kalır.
Kulüpte 18 kişi var, herkes eşit büyüklükte takımlara ayrılacak. 18 = 2 · 3² → 6 bölen: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Üçer kişilik takım seçilirse 6 takım, altışar kişilik seçilirse 3 takım olur.
60 şarkılık listeyi eşit uzunlukta bölümlere ayırmak istiyorsun. 60 = 2² · 3 · 5 → 12 seçenek. Bu yüzden 60, 12, 24 gibi sayılar takvimde ve saatte tercih edilir: bölenleri boldur.
32 slaytlık sunumu eşit paylaşacak dört kişilik gruptasınız. 32 = 2⁵, bölenleri 1, 2, 4, 8, 16, 32. 4 bir bölen olduğu için kişi başı 8 slayt düşer; artan kalmaz.
Ortak alınan 45 TL’lik atıştırmalığı eşit bölmek istiyorsunuz. 45 = 3² · 5 → bölenleri 1, 3, 5, 9, 15, 45. Grup 4 kişiyse kuruşsuz bölünmez; 3, 5 ya da 9 kişi olsanız tam bölünür.
Sezon 20 bölüm; her gün eşit sayıda bölüm izleyip bitirmek istiyorsun. 20 = 2² · 5 → 6 bölen. Sınav haftasında günde 2 bölüm seçersen 10 gün, 4 bölüm seçersen 5 gün sürer.
Okul kermesinde 48 masa eşit sıralara dizilecek. 48 = 2⁴ · 3 → 10 farklı düzen. Salon dar olduğu için 6×8 seçiliyor: kareye yakın düzen hem yürüme yolunu kısaltır hem yer kaplamaz.
Dolap şifresi için “iki asalın çarpımı” diye bir kural koyduğunuzda ortaya çıkan sayının tam 4 böleni olur (1, p, q, p·q). Şifreyi bölen sayısından tahmin etmeye çalışan biri için bu bilgi bir ipucudur — asal çarpan yapısı sayının parmak izidir.
90 dakikalık antrenmanı eşit turlara böleceksin. 90 = 2 · 3² · 5 → 12 seçenek. 15 dakikalık turlar seçersen 6 tur; 18 dakikalık seçersen 5 tur. İkisi de tam bölündüğü için ısınmaya vakit artar.
Asal çarpanlar ve bölenler testi · asal çarpanlara ayırma, bölen sayısı bağıntısı, negatif bölenler, çift-tek bölen sayısı, bölenler toplamı, tam kare ölçütü, şifreleme yöntemleri ve çözümlü problemler
1’den büyük her tam sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımıdır; bu yazılış
tek türlüdür.
A = p₁a₁ · p₂a₂ · … · pₙaₙ
Pozitif bölen sayısı = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₙ + 1)
Negatif bölen sayısı pozitiflerinkine eşittir.
Tam sayı bölen sayısı = 2 · (a₁ + 1)(a₂ + 1)…
Çift bölen sayısı: 2’nin üssünü 1’den başlat → a₁ · (a₂+1)…
Tek bölen sayısı: 2’yi hiç alma → (a₂+1)(a₃+1)…
Bölenler toplamı: her asalın üs toplamlarını çarp
Tam kare ⟺ bütün üsler çift ⟺ bölen sayısı tek
24 = 2³·3 → 8 · 28 = 2²·7 → 6 · 36 = 2²·3² → 9
40 = 2³·5 → 8 · 49 = 7² → 3 · 73 asal → 2
100 = 2²·5² → 9 · 64 = 2⁶ → 7 · 60 = 2²·3·5 → 12
Harfler 2–30 numaralı; sayı asal çarpanlarına ayrılır, üsler asalın sağına yazılır.
KİTAP → 3151 131 52 21 3171
131 231 21111 21 23 71 52 171 71 → İSRAF ETME
Kod yöntemi: 15 = 2⁰3¹5¹ → 011
36 elma → 9 diziliş · Kemal 11, İpek 13 · 40 kişi → 8 planlama
120 cm tel → 12 değer · 60 m² → 6 boyut, en ucuz çevre 32 m
Mükemmel sayılar → 28 ve 496 · Altı kart → 12 sayı, en büyüğü 72