Tepe kayar,
alan kıpırdamaz.
Bir üçgenin tepe noktasını, tabanına paralel bir doğru boyunca istediğin kadar kaydır: üçgen tanınmaz hâle gelir, kenarları uzar kısalır, açıları değişir — alanı bir milimetrekare bile değişmez. Bu ünitenin altı önermesinin hepsi bu tek gözlemin farklı yüzleri.
Üçgenin alanını belirleyen iki eleman var: bir kenar ve o kenara ait yükseklik. Hangi kenarı seçtiğin önemli değil — ama seçtiğin kenarla o kenara ait yüksekliği eşleştirmen şart.
Bir kenarın uzunluğu a ve o kenara ait yükseklik hₐ olmak üzere
Alan = a · hₐ / 2
Aynı üçgende üç kenar için üç ayrı yükseklik vardır ve üçü de
aynı alanı verir:
a · hₐ = b · h_b = c · h_c = 2 · Alan.
Bu eşitlik zinciri ders kitabında yazılı değil; “üç hesap da
aynı alanı verir” cümlesinin cebirsel hâlidir ve uzun kenarın kısa yüksekliğe karşılık
geldiğini tek bakışta gösterir.
Bir kenarortay, üçgeni alanları eşit iki üçgene ayırır. Sebebi bu bölümün kuralının kendisidir: iki parçanın tabanları eşittir (orta nokta) ve o tabanlara ait yükseklikleri de aynıdır (tepe noktası ortak). Alan bir kez daha şekle değil, taban ve yüksekliğe bakıyor. Ders kitabında bu cümle yok; aşağıdaki iki önermenin doğrudan sonucudur.
Alan = taban · yükseklik / 2 formülünde yüksekliği sabit tutup tabanı değiştirirsen alan tabanla doğru orantılı değişir. Tabanı iki katına çıkardığında alan da iki katına çıkar.
Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı, eşit yüksekliklere
ait taban uzunlukları oranına eşittir.
h₁ = h₂ ise A₁ / A₂ = a₁ / a₂.
Bir üçgen ya da dörtgen, bir köşeden çizilen doğrularla parçalara bölündüğünde bütün parçaların yüksekliği aynıdır. O yüzden alanları, tabanlarının oranıyla — yani kaç birim kaldıklarıyla — hemen yazılır. Tarla paylaşımı, koşu yolu platformları ve site bahçesi problemlerinin hepsi böyle çözülür.
60 dekarlık dikdörtgen tarlanın yola komşu kenarı iki eş parçaya, dereye komşu kenarı üçe iki
oranında bölünüp dört üçgensel bölge oluşturuluyor. Dört üçgenin
yükseklikleri eşit olduğu için alanları tabanlarıyla orantılıdır:
5A, 6A, 5A, 4A.
5A + 6A + 5A + 4A = 60 ⇒ 20A = 60 ⇒ A = 3.
Paylar: 15, 18, 15 ve 12 dekar.
Yaşlar paylarla orantılı ve en küçük çocuk 24 yaşında (12 dekar) ⇒ katsayı 2 ⇒ diğerleri
30, 30 ve 36 yaşında.
Önceki bölümün aynası. Bu kez tabanı sabit tutup tepe noktasını yukarı aşağı oynatıyoruz.
Taban uzunlukları eşit üçgenlerin alanları oranı, eşit taban
uzunluklarına ait yükseklikleri oranına eşittir.
a₁ = a₂ ise A₁ / A₂ = h₁ / h₂.
Yeşil, kırmızı ve mavi lastiklerin oluşturduğu üç üçgenin
ortak tabanı [BC]. Kırmızının yüksekliğinin yeşilinkine
oranı 3/2, mavininkinin kırmızınınkine oranı 5/4 verilmiş.
Yükseklikleri ortak bir k ile yazarsak |DF| = 12k, |EG| = 8k, |AH| = 15k çıkar.
Ortak taban olduğu için alanlar yüksekliklerle orantılıdır:
mavi, kırmızı ve yeşil sırasıyla 15, 12 ve 8 ile orantılı.
“kare” yaz — yalnız benzerlik satırı kalsın; “paralel” yaz — iki eşitlik önermesi kalsın.
İki paralel doğru arasındaki uzaklık her yerde aynıdır. O hâlde tabanı alt doğruda, tepesi üst doğruda olan bütün üçgenlerin yüksekliği de aynıdır. Tabanları da ortaksa alanları eşit olmak zorundadır.
Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip iki farklı üçgenin
alanları birbirine eşittir.
[AB] alt doğruda, D ve E üst doğruda ise A(ABD) = A(ABE).
Üçgenler bambaşka görünse de alanları aynıdır.
Paralel doğrular arasında ortak tabana sahip iki farklı üçgenin
ortak olmayan bölgelerinin alanları birbirine eşittir.
İki üçgen kesişip ortada bir ABF üçgeni bırakıyorsa, kalan iki parça
(ADF ve BEF) eşit alanlıdır. Sebebi: iki büyük üçgenin
alanı eşit, ortak parça da ortak — eşitlerden eşit çıkarılınca kalanlar eşittir.
Dik üçgen şeklindeki parkta [AB] = [BC], [EF] // [AC], |AE| = 18 m, |BF| = 16 m.
DEF üçgeniyle ortak tabanı [EF] olan ve aynı yükseklikte
bulunan AEF üçgeni çizilir. AEF dik üçgeninde dik kenarlar 18 ve 16 olduğundan
A(AEF) = 18 · 16 / 2 = 144 m².
“Ortak taban ve eşit yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları eşittir” ⇒
A(DEF) = 144 m².
Tabanda aydınlatılan mesafe 15 m, yerden yükseklik 6 m, ortak turuncu bölge 12 m².
A(ABC) = A(BCD) = 15 · 6 / 2 = 45 m².
A(ABC) = A(ABE) + A(BCE) ve A(BCD) = A(CDE) + A(BCE) olduğundan
A(ABE) + 12 = 45 ⇒ A(ABE) = 33 m², benzer şekilde A(CDE) = 33 m².
Sarı ve kırmızı bölgelerin toplamı 66 m².
Benzerlik oranı k ise bütün kenarlar k katına çıkar. Alan iki uzunluğun çarpımından geldiği için iki kez k ile çarpılır — bu yüzden alanlar oranı k’nin karesidir.
Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine
eşittir.
Benzerlik oranı k ise A₁ / A₂ = k².
Neden karesi: taban k katına, o tabana ait yükseklik de
k katına çıkar; alan ikisinin çarpımının yarısı olduğu için k · k = k² katına çıkar.
Bu gerekçe ders kitabında yazılı değil, önermenin kendisi yazılı.
Dik kenarları 4 ve 6 cm olan logo %150 oranına büyütülüyor ⇒ benzerlik oranı 150/100 = 3/2.
1. yol: kenarlar 6 ve 9 cm olur, alan 6 · 9 / 2 = 27 cm².
2. yol: ilk alan 4 · 6 / 2 = 12 cm², oranın karesi (3/2)² = 9/4 ⇒
12 · 9/4 = 27 cm².
İki yol da aynı sonucu verir; ikincisi kenarları hiç hesaplamadan çalışır.
Bir boyacı, boyayacağı üçgen zeminin 1/20 oranında benzerini hazırlayıp onu boyuyor ve
300 g boya harcıyor.
Benzerlik oranı 1/20 ⇒ alanlar oranı (1/20)² = 1/400 ⇒ asıl zemin için gereken boya
300 · 400 = 120 000 g = 120 kg.
Ders kitabı bu soruyu soruyor ama cevabını yazmıyor;
önermeden doğrudan çıkan kesin sonuç.
Sorulan uzunluk ise oran k, alan ise k²’dir. “Boy iki katına çıktı” dendiğinde alan dört katına çıkar; “alan dört katına çıktı” dendiğinde kenar iki katına çıkmıştır. Bir soruda hangisinin verildiğini karıştırmak sonucu 2 kat ya da 1/2 kat kaydırır.
Elinde iki kenar ve aralarındaki açı varsa yüksekliği çizmene gerek yok: yükseklik zaten bir kenarla sinüsün çarpımıdır. Bir kenar üzerine indirilen yükseklik h = b · sin C olduğundan, alan bir hamlede yazılır.
|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olmak üzere
A(ABC) = ½ · a · b · sin C
A(ABC) = ½ · a · c · sin B
A(ABC) = ½ · b · c · sin A
Kural her seferinde aynı: iki kenar ve o iki kenarın
arasındaki açı. Açı, çarptığın iki kenarın arasında
değilse bağıntı çalışmaz.
[BC] kenarına ait yükseklik hₐ, A köşesinden inen dikmedir. C köşesindeki dik üçgende
hₐ = b · sin C’dir.
Alan = a · hₐ / 2 yerine konursa Alan = ½ · a · b · sin C
çıkar. Yani bu bağıntı yeni bir kural değil, temel bağıntının sinüsle yazılmış hâli.
Açı 90°’den büyük olduğunda yükseklik kenarın uzantısına düşer ama bağıntı aynen geçerlidir, çünkü sin(180° − x) = sin x’tir. 150°’lik bir açı, 30°’lik bir açıyla aynı alanı verir. Alan, açı 90° iken en büyüktür (sin 90° = 1). Bu iki sonuç ders kitabında yazılı değil; sinüs fonksiyonunun bilinen özelliğinden çıkar ve yukarıdaki kaydırakta doğrudan görülür.
Bir termal kameranın taradığı üçgensel bölgede iki kenar 200’er metre, aralarındaki açı 30°.
Alan = ½ · 200 · 200 · sin 30° = ½ · 40 000 · ½ =
10 000 m².
Ders kitabı problemi veriyor, sayısal cevabını yazmıyor;
bağıntının tek adımlık uygulaması.
Aşağıdaki problemlerde ilk iş şu soruyu sormaktır: ne ortak? Yükseklik mi ortak, taban mı ortak, yoksa üçgenler benzer mi? Cevabı bulduğun anda hangi önermenin kullanılacağı da belli olur.
50 dekarlık üçgen arazinin yola komşu kenarı 5 eş parçaya, ormana komşu kenarı 4 eş parçaya
bölünmüş; ADE üçgeni bir çitle ayrılmış.
Ortak açı α ile sinüslü bağıntı yazılır:
A(ADE) = ½ · 3a · 2b · sin α, A(ABC) = ½ · 5a · 4b · sin α
A(ADE) / A(ABC) = 6 / 20 = 3/10.
A(ADE) = 3A ise A(BCED) = 10A − 3A = 7A. Toplam 10A = 50 ⇒ A = 5.
Buğday 35 dekar, arpa 15 dekar ⇒ fark 20 dekar.
Paylar 15, 18, 15 ve 12 dekar. En küçük çocuk 12 dekar alıyor ve 24 yaşında; paylaşım
yaşlarla orantılı olduğu için orantı katsayısı 24 / 12 = 2.
15 dekar → 30 yaş (iki çocuk)
18 dekar → 36 yaş
“Alanlar tabanlarla orantılı” önermesi burada iki kez kullanıldı:
önce dekarları, sonra yaşları bulmak için.
|DF| / |AH| = ... değil; verilenler |DF| / |EG| = 3/2 ve
|AH| / |DF| = 5/4 gibi ardışık oranlardır. Ortak terimi
eşitleyerek tek katsayıya indirgenir: |EG| = 8k, |DF| = 12k, |AH| = 15k.
Ortak taban [BC] olduğu için alanlar
15, 12 ve 8 ile orantılıdır.
Ardışık oranları birleştirirken payda ile payı eşitlemek
(2 ve 4’ün ortak katı) tek işlemlik ama en çok atlanan adımdır.
Aranan üçgenin (DEF) hiçbir kenarı verilmemiş. Çözümün tek hamlesi
aynı taban üzerinde hesaplanabilir bir üçgen çizmek:
AEF. [EF] // [AC] olduğu için A ve D noktaları [EF]’ye eşit uzaklıktadır, yani iki üçgenin
yüksekliği aynıdır.
A(AEF) = 18 · 16 / 2 = 144 ⇒ A(DEF) = 144 m².
İki büyük üçgenin alanı da 45 m². Ortak turuncu bölge 12 m².
45 − 12 = 33 m² her iki taraf için de aynı çıkar; toplam
66 m².
Bu, “ortak olmayan bölgelerin alanları eşittir” önermesinin sayısal
hâli: eşitlerden eşit çıkarıldığında kalanlar eşittir.
%150 büyütmede benzerlik oranı 3/2. Kenarlardan gidersen 6 ve 9 cm bulur, alanı
27 cm² hesaplarsın. Alandan gidersen 12 cm²’yi (3/2)² = 9/4 ile çarparsın ve yine
27 cm² bulursun.
İkinci yol, kenarların görünmediği sorularda tek yoldur:
logonun bir kısmı ekran dışında kalsa bile alan bulunur.
Bu ünitedeki hataların çoğu hesap hatası değil, yanlış eşleştirme.
a · h_b / 2 diye bir alan yoktur. Yükseklik, çarptığın tabana ait olmalıdır. Şekilde tek bir yükseklik çiziliyse hangi kenara indiğine bak; başka bir kenarla çarpmak sonucu tamamen bozar.
½ · a · b · sin C’de C açısı, a ile b kenarlarının arasındaki açıdır. ½ · a · b · sin A yazmak yanlıştır — A açısı a ile b arasında değildir. Kural: çarpılan iki kenarın adında geçmeyen köşenin açısı.
Benzerlik oranı 3 ise alanlar oranı 3 değil 9’dur. Tersi de geçerli: alanlar oranı 9 ise benzerlik oranı 3’tür. 1/20 oranındaki bir maket için harcanan boya, asıl zeminin 1/400’üdür — 1/20’si değil.
Paralel doğrular arasındaki iki üçgenin alanları eşittir ama üçgenler eş değildir: kenarları farklı, açıları farklıdır. Eşit alan, eş şekil demek değildir. Aynı şekilde eşit alanlı iki üçgenin çevreleri de farklı olabilir.
|DF| / |EG| = 3/2 ve |AH| / |DF| = 5/4 verildiğinde doğrudan 3/2 ve 5/4’ü kullanamazsın; ortak terimi (|DF|) aynı sayıya getirmelisin: 12k. Ancak o zaman üç yükseklik tek katsayıyla yazılır ve alan oranları çıkar.
150°’lik bir açıda “sinüs negatif olur, alan negatif çıkar” diye düşünmek yanlıştır. 0° ile 180° arasında sinüs hep pozitiftir ve sin 150° = sin 30° = 1/2’dir. Aynı iki kenar, 30° ile 150°’de aynı alanı verir.
Sorular karışık sırayla geliyor. Verilen durumda hangi alan önermesinin işe yaradığını seç, sonra sayıyı bul.
Kumaş, boya, halı, cam, çim, reklam panosu — hepsinin ücreti metrekareyle ölçülür. Bu ünite, bir şeyin fiyatını ölçmeden bulmanın yollarını veriyor.
Kulüp flamaları için üçgen kumaş kesiliyor ve kumaş metrekareyle ücretlendiriliyor. Bütün flamaların ipe asılan kenarı aynı uzunlukta olduğu için alanları yükseklikleriyle orantılı. Yüksekliği 1,5 katı olan flama tam 1,5 kat pahalıdır — kenarı ölçmene bile gerek yok.
Uçurtma iskeleti iki çıtanın dik kesişmesiyle kurulur; kâğıt dört üçgene ayrılır. Yatay çıta 80 cm, dikey çıta 105 cm ise kâğıdın toplam alanı 80 · 105 / 2 = 4200 cm²’dir — köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısıdır ve bu, dört üçgenin alanlarının toplamıdır.
Sahaya üçgen bir ısınma bölgesi boyayacaksın ve boya kutusu 3 m²’ye yetiyor. Üçgenin bir kenarı 6 m, o kenara ait yükseklik 4 m ise alan 6 · 4 / 2 = 12 m² ⇒ 4 kutu. Aynı bölgeyi iki katı büyüklükte istersen 8 kutu değil, kenarları √2 katına çıkarırsan yine 8 kutu gerekir.
Teknoloji tasarım dersinde 1/10 ölçekli bir maket yaptın ve çatısını kaplamak için 12 cm² karton kullandın. Gerçek çatı için gereken malzeme 12 · 10² = 1200 cm²’dir. Ölçek uzunluğa göre verilir, malzeme alana göre harcanır — arada kare vardır.
Üçgen kesilmiş bir pastayı iki kişiye eşit paylaştırmak için tepe noktasından karşı kenarın orta noktasına kesmek yeter: kenarortay, alanı tam ikiye böler. Ortadan geçen herhangi bir çizgi değil — orta noktaya giden çizgi.
Dik kenarları 60 m ve 80 m olan üçgen bir bahçenin alanı 60 · 80 / 2 = 2400 m². Oturma alanı spor alanının üç katı, yeşil alan oturma alanının iki katı isteniyorsa paylar 1 : 3 : 6 olur ⇒ 240 m², 720 m² ve 1440 m². Aynı yükseklikte kaldıkları için tabanları da 1 : 3 : 6 uzunlukta bölünür.
İki paralel demir çubuk arasına asılan üçgen bir pano, tepesi kaydırılarak yeniden tasarlanıyor. Taban ve çubuklar aynı kaldığı sürece alan değişmez, dolayısıyla alana göre hesaplanan ücret de değişmez. “Daha dikkat çekici” bir şekil, daha pahalı bir pano demek değildir.
Bir arazinin iki kenarını adımlayarak 40 m ve 50 m ölçtün, aralarındaki açıyı telefonun pusulasıyla 60° buldun. Alan ½ · 40 · 50 · sin 60° ≈ 1000 · 0,87 ≈ 866 m². Üçüncü kenarı hiç ölçmedin — sinüslü bağıntının bütün değeri bu.
Okul gösterisinde perdeye tutulan üçgen bir figür, ışıktan uzaklaştıkça büyür. Uzaklık iki katına çıkınca kenarlar iki katına, gölgenin alanı dört katına çıkar. Aynı kâğıt figür, aynı ışık — değişen tek şey benzerlik oranı.
Üçgende alan testi · temel alan bağıntısı, eşit yükseklik ve eşit taban önermeleri, paralel doğrular arasında alan eşitliği, benzerlikte alan oranının karesi, sinüslü alan bağıntısı ve çözümlü problemler
Alan = a · hₐ / 2
Üç kenar için üç yükseklik, üçü de aynı alanı verir:
a · hₐ = b · h_b = c · h_c = 2 · Alan
Kenarortay alanı tam ikiye böler.
Yükseklikler eşit → alanlar oranı = tabanlar oranı
Tabanlar eşit → alanlar oranı = yükseklikler oranı
Paralel + ortak taban → alanlar eşit
Paralel + ortak taban → ortak olmayan bölgeler eşit
Benzer üçgenler → alanlar oranı = k²
İki kenar + aradaki açı → ½ · a · b · sin C
A(ABC) = ½·a·b·sinC = ½·a·c·sinB = ½·b·c·sinA
Açı, çarpılan iki kenarın arasında olmalı.
Alan 90°’de en büyüktür; sin(180° − x) = sin x olduğu için
30° ile 150° aynı alanı verir.
Tarla payları: 15 · 18 · 15 · 12 dekar, yaşlar 30 · 36 · 30 · 24
Üç lastik: alanlar 15, 12 ve 8 ile orantılı
Çocuk oyun alanı: 144 m²
İki projektör: 66 m²
Logo %150: 27 cm²
Buğday − arpa farkı: 20 dekar
Termal kamera: 10 000 m²
Boyacının maketinden gerçek zemine: 120 kg boya
Ne ortak? diye sor.
Tepe noktası ortak, tabanlar aynı doğruda → yükseklik ortak
Taban ortak, tepeler farklı → taban ortak
Tepeler paralel bir doğruda → alanlar eşit
Açılar aynı → benzerlik, kare al
İki kenar ve aradaki açı verilmiş → sinüs
Tabanı bir kenarla, yüksekliği başka kenarla eşleştirmek.
Benzerlikte kareyi unutmak (3 yerine 9).
Sinüste açının iki kenarın arasında olması şartını atlamak.
a · hₐ = b · h_b = c · h_c eşitliği
Kenarortayın alanı ikiye bölmesi
sin(180° − x) = sin x ⇒ geniş açıda bağıntı aynen geçerli
Alanın 90°’de en büyük olması
Termal kamera (10 000 m²) ve boyacı (120 kg) sonuçları
½ · a · b · sin C bağıntısının üç yazılışını birbirine eşitlersen sinüs teoremi çıkar. Ünite 4 tam olarak buradan başlıyor: aynı alan, üç farklı biçimde yazıldığında kenarlarla sinüsler arasında bir orantı doğuyor.