Dik üçgen yoksa
dik üçgen kurma.
Trigonometrik oranlar yalnız dik üçgende çalışıyordu. Bu ünitede iki teorem, o sınırı kaldırıyor: sinüs teoremi ve kosinüs teoremi. Artık herhangi bir üçgende, üç bilgiden dördüncüsünü — okyanus çukurunun derinliğini, iki uydu arasındaki mesafeyi, kazılmamış duvarın uzunluğunu — ölçmeden bulabilirsin.
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur — bunu biliyordun. Sinüs teoremi bunu tam olarak ne kadar büyük olduğunu söyleyecek biçimde keskinleştirir: her kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı üç kenarda da aynı sayıdır.
Herhangi bir ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olmak üzere
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Dikkat: a kenarı A açısının karşısındaki kenardır. Eşleşme her
zaman karşı karşıyadır; komşu kenarla açı eşleştirilmez.
Bir üçgende iki açı ve bir kenar biliniyorsa geri kalan her
şey bulunur: üçüncü açı 180°’den çıkarılır, öteki iki kenar sinüs teoremiyle yazılır.
Arsa ölçümünde açı ölçmek (teodolitle) kolay, uzun bir kenarı adımlamak zordur —
bu yüzden harita mühendisliğinde en çok kullanılan bağıntı budur.
Üç oranın eşit olduğu o ortak sayı rastgele değildir: üçgenin
çevrel çemberinin çapına eşittir.
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
Bu eşitlik ders kitabında yazılı değil. Doğruluğu kolay
görülür: çevrel çemberde a kenarını gören çevre açısı A’dır ve aynı yayı gören merkez açı
2A olduğundan a = 2R · sin A çıkar. Dik üçgende A = 90° için a = 2R, yani hipotenüs çaptır —
ünite 2’deki “hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır” kuralının aynısı.
Bir önceki ünitede öğrendiğin sinüslü alan bağıntısının üç yazılışı vardı. Üçü de aynı alanı verdiğine göre birbirine eşittirler. İspat bundan ibaret.
(I) A(ABC) = ½ · b · c · sin A
(II) A(ABC) = ½ · a · c · sin B
(III) A(ABC) = ½ · a · b · sin C
(I) = (II): ½·b·c·sinA = ½·a·c·sinB ⇒ c sadeleşir ⇒ b·sinA = a·sinB ⇒
a / sin A = b / sin B
(I) = (III): ½·b·c·sinA = ½·a·b·sinC ⇒ b sadeleşir ⇒ c·sinA = a·sinC ⇒
a / sin A = c / sin C
Sonuç: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Başka bir söyleyişle: üç eşitliğin hepsini ½·a·b·c’ye bölersen
sin A / a = sin B / b = sin C / c çıkar — teoremin ters çevrilmiş, aynı derecede kullanışlı hâli.
İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa üçüncü kenar tek formülle çıkar. Formül tanıdık gelecek: Pisagor teoremine bir düzeltme terimi eklenmiş hâli.
a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A
b² = a² + c² − 2 · a · c · cos B
c² = a² + b² − 2 · a · b · cos C
Kalıp her satırda aynı: aranan kenarın karesi = öteki iki kenarın
kareleri toplamı − 2 · o iki kenar · aralarındaki açının kosinüsü. Kosinüsü alınan açı,
aranan kenarın karşısındaki açıdır.
A = 90° ise cos A = 0 olur ve formül a² = b² + c²’ye iner. Yani Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir hâlidir; düzeltme terimi −2bc·cos A yalnızca açı 90°’den saptığında devreye girer. Bu gözlem ders kitabında yazılı değil; formülün kendisinden doğrudan çıkar.
cos A’nın işareti A açısının türünü ele verir:
a² < b² + c² ⇒ cos A > 0 ⇒ A dar açı
a² = b² + c² ⇒ cos A = 0 ⇒ A dik açı
a² > b² + c² ⇒ cos A < 0 ⇒ A geniş açı
Üç kenarı verilen bir üçgenin türünü hiç açı hesaplamadan
söylemenin yolu budur. Ders kitabında yazılı değil, formülün doğrudan sonucu.
Formül açı bulmak için de çözülür:
cos A = (b² + c² − a²) / (2 · b · c)
Üç kenarı bilinen bir üçgenin bütün açıları böyle bulunur. Tekne–iskele probleminde ve baz
istasyonu probleminde kullanılan yol budur.
Ankara’daki yer istasyonunun Göktürk 1’e uzaklığı 1200 km, Göktürk 2’ye 1500 km ve ölçüm
çizgileri arasındaki açı 120°.
x² = 1200² + 1500² − 2 · 1200 · 1500 · cos 120°
cos 120° = −1/2 olduğu için son terim artı olur:
x² = 1 440 000 + 2 250 000 + 1 800 000 = 5 490 000
x ≈ 2343 km — istenen 2300–2400 km aralığında.
Sayısal sonuç ders kitabında verilmiyor; formülün doğrudan
uygulanmasıyla bulundu.
Üçgen dik değilse dik yapmak gerekir. B köşesinden [AC] kenarına bir dikme indirildiğinde iki dik üçgen doğar; ikisinde de aynı h yüksekliği bulunduğu için eşitlenebilirler.
1. B köşesinden [AC] kenarına dikme indirilir, ayağı H olsun.
2. |BH| = h, |AH| = x dersek |HC| = b − x.
3. ABH dik üçgeninde: h² = c² − x².
4. BHC dik üçgeninde: h² = a² − (b − x)².
5. İkisi eşitlenir: c² − x² = a² − (b − x)² ⇒
c² − x² = a² − b² + 2bx − x² ⇒ a² = b² + c² − 2bx.
6. AHB dik üçgeninde x = c · cos A.
7. Yerine konur: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A.
Dikme neden B’den iniyor? Çünkü aranan a kenarı ile A açısının ikisini
birden içeren dik üçgenleri ancak bu dikme üretir. Başka bir köşeden inen dikme, teoremin
öteki iki yazılışını verir — ispat aynı, harfler değişir.
Bir soruda hangi teoremin kullanılacağını, verilenlerin türü belirler. Kural basit: karşılıklı bir kenar–açı çifti varsa sinüs, yoksa kosinüs.
İki açı + bir kenar (AAK / AKA)
İki kenar + birinin karşısındaki açı (KKA)
Ortak noktaları: elde birbirinin karşısında duran bir kenar
ve bir açı vardır. O çift oranın ortak değerini verir, gerisi ondan çıkar.
İki kenar + aralarındaki açı (KAK) → üçüncü kenar
Üç kenar (KKK) → herhangi bir açı
Ortak noktaları: karşılıklı bir kenar–açı çifti yoktur.
Sinüs teoremi bu iki durumda tek başına işe yaramaz.
“kosinüs” yaz — yalnız kosinüs teoremiyle çözülen satırlar kalsın; “iki açı” yaz — sinüsün klasik kullanımı kalsın.
İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde sinüs teoremi bir açının sinüsünü verir; ama sin x = sin(180° − x) olduğu için bu sinüse iki farklı açı karşılık gelebilir (biri dar, biri geniş). Üçgen bazen ikisiyle de kurulabilir. Böyle bir soruda “açı dardır” ya da “geniştir” bilgisi verilmişse mutlaka kullanılmalıdır. Bu uyarı ders kitabında yer almıyor; sinüsün bilinen özelliğinden çıkan kesin bir sonuç. Kosinüs teoreminde bu belirsizlik yoktur, çünkü 0° – 180° arasında her kosinüs değerine tek bir açı karşılık gelir.
Her problemde önce “elimde ne var?” diye sor: karşılıklı bir kenar–açı çifti mi, yoksa iki kenar ve aralarındaki açı mı?
|AB| = 200 m, m(A) = 64°, m(C) = 37°. B ile C arasına çekilecek şeridin uzunluğu?
|BC| ile A açısı karşılıklı, |AB| ile C açısı karşılıklı ⇒ sinüs teoremi:
|BC| / sin 64° = |AB| / sin 37° ⇒ |BC| = 200 · 0,9 / 0,6 =
300 metre.
KLM üçgeninde m(MKL) = 90°, m(KML) = 37°, |LM| = 10 birim.
Trigonometrik oranla: |KL| = 10 · sin 37° = 6,
|KM| = 10 · sin 53° = 8.
Sinüs teoremiyle: |KL| / sin 37° = 10 / sin 90° ⇒ |KL| = 6;
|KM| / sin 53° = 10 ⇒ |KM| = 8.
İki yol aynı sonucu veriyor — sinüs teoremi dik üçgende de geçerlidir, çünkü sin 90° = 1
olduğunda hipotenüs / 1 oranı ortaya çıkar.
PNR üçgeninde m(NPR) = m(NRP) = 30° ve |PR| = 8√3 birim. |PN| kaç birimdir?
m(N) = 180° − 60° = 120°.
|PN| / sin 30° = |PR| / sin 120° ⇒ |PN| = 8√3 · (1/2) / (√3/2) =
8 birim.
ABC üçgeninde m(B) = 48°, m(C) = 58°, |BC| = 48 birim.
(sin 48° ≈ 0,74 · sin 58° ≈ 0,84 · sin 74° ≈ 0,96)
m(A) = 180° − 48° − 58° = 74°.
|AB| / sin 58° = 48 / sin 74° ⇒ |AB| = 48 · 0,84 / 0,96 = 42
|AC| / sin 48° = 48 / sin 74° ⇒ |AC| = 48 · 0,74 / 0,96 = 37
[DA] ⊥ [BA]; |AB| = 3, |AP| = 2, |DC| = 12, |CP| = 2√13 birim.
a) BAP dik üçgeninde |BP| = √(2² + 3²) = √13.
APB ile DPC ters açılar olduğundan
sin(DPC) = sin(APB) = 3 / √13.
b) CDP üçgeninde sinüs teoremi:
12 / sin(DPC) = 2√13 / sin(CDP) ⇒ sin(CDP) = 2√13 · (3/√13) / 12 =
1/2 ⇒ m(CDP) = 30°.
Üçgenin çevresi 930 m ve 3·sin E = 5·sin K = 2·sin N.
Ortak değeri 30a alırsak sin E = 10a, sin K = 6a, sin N = 15a.
Sinüs teoremine göre kenarlar sinüslerle orantılıdır ⇒ e : k : n = 10 : 6 : 15,
toplam 31 pay.
930 / 31 = 30 ⇒ ev ile okul arası (K açısının karşısındaki kenar)
6 · 30 = 180 metre.
Teknenin genişliği 2√21 m, halatlar 8 m ve 10 m. Halatlar arasındaki açı?
Üç kenar biliniyor ⇒ kosinüs teoremi:
(2√21)² = 8² + 10² − 2 · 8 · 10 · cos B
84 = 164 − 160 · cos B ⇒ 160 · cos B = 80 ⇒ cos B = 1/2 ⇒
m(B) = 60°.
|AB| = 4, |BD| = 2, |AC| = 3, |CE| = 1, |BC| = 2 m; |DE| = x?
1. adım — ABC üçgeninde üç kenar biliniyor:
2² = 3² + 4² − 2 · 3 · 4 · cos A ⇒ 4 = 25 − 24 cos A ⇒
cos A = 21/24 = 7/8.
2. adım — ADE üçgeninde |AD| = 6, |AE| = 4 ve
A açısı ortak:
x² = 4² + 6² − 2 · 4 · 6 · (7/8) = 52 − 42 = 10 ⇒
x = √10 metre.
K noktasından A adasına 60 mil, B adasına 50√3 mil; ölçüm doğrultuları arasındaki açı 30°.
|AB|² = 60² + (50√3)² − 2 · 60 · 50√3 · cos 30°
= 3600 + 7500 − 6000√3 · (√3/2) = 11 100 − 9000 = 2100
|AB| = √2100 = 10√21 ≈ 45,8 mil.
Ders kitabı bu problemi soruyor, sayısal cevabını yazmıyor;
kosinüs teoreminin doğrudan uygulaması.
Bir ABC üçgeninde sin²A = sin²B + sin²C sağlanıyorsa üçgenin
türü nedir?
Sinüs teoremine göre a = 2R·sinA, b = 2R·sinB, c = 2R·sinC. Her terim (2R)² ile çarpılırsa
a² = b² + c² olur ⇒ üçgen
A köşesinden diktir.
Sinüs teoremi burada bir “çeviri aracı” gibi çalışıyor: sinüsler
arasındaki bir bağıntıyı kenarlar arasındaki bir bağıntıya çeviriyor.
Bu ünitedeki hataların çoğu formülü yanlış hatırlamaktan değil, yanlış eşleştirmekten doğuyor.
Sinüs teoreminde a kenarı A açısının karşısındadır. a / sin B yazmak yanlıştır. Şekilde harfler karışık verilmişse önce “hangi kenar hangi açının karşısında?” diye işaretle, sonra formülü kur.
cos 120° = −1/2’dir. Formüldeki −2bc·cosA terimi, eksinin eksisiyle artıya döner ve üçüncü kenar uzar. Göktürk probleminde x’in 2343 km çıkmasının sebebi bu. İşareti atlarsan 1 800 000 çıkarılır ve sonuç 1000 km’nin altına iner.
a² = b² + c² − 2bc·cos A’da A açısı, b ile c kenarlarının arasındaki açıdır ve aranan a kenarının karşısındadır. Verilen açı iki kenarın arasında değilse bu formül doğrudan kullanılamaz; ya sinüs teoremine geçilir ya da önce başka bir açı bulunur.
Kosinüs teoremi a²’yi verir, a’yı değil. Baz istasyonu probleminde x² = 10 çıkmıştı; cevap 10 değil √10’dur. Aynı biçimde 5 490 000 sonucu km² cinsindendir, karekökü alınmadan “2343 km” denemez.
Sinüs teoremi kenarlar sinüslerle orantılıdır der, “kenarlar açılarla orantılıdır” demez. Açı iki katına çıkınca kenar iki katına çıkmaz: sin 60° = 0,87 iken sin 30° = 0,50’dir; oran 2 değil yaklaşık 1,73’tür.
sin x = 1/2 denklemi 0° – 180° aralığında iki cevap verir: 30° ve 150°. Şekilden ya da verilerden hangisinin geçerli olduğu belirlenmelidir. Kosinüste böyle bir belirsizlik yoktur; cos x = 1/2 yalnızca 60°’dir.
Sorular karışık sırayla geliyor. Verilenlere bakıp hangi teoremin çalışacağını seç, sonra sayıyı bul.
Bu iki teoremin ortak işi tek cümleyle özetlenir: gidilemeyen bir noktaya olan uzaklığı, gidilebilen iki noktadan ölçülen açı ve uzunluklarla bulmak.
Antrenmanda kaleye 30 m, kornere 25 m uzaklıktasın ve iki doğrultu arasındaki açı 40°.
Kaleden kornere olan mesafe
√(30² + 25² − 2·30·25·cos 40°) ≈ √(900 + 625 − 1149) ≈
19,4 metre. Sahayı adımlamadan iki nokta arasını buldun.
Derenin bu yakasında 40 m arayla iki nokta işaretle. Karşı kıyıdaki ağacın bu iki noktadan görülme açılarını ölç: 65° ve 46°. Üçüncü açı 69°’dir ve sinüs teoremiyle ağaca olan uzaklık 40 · sin 46° / sin 69° ≈ 31 metre. Suya hiç girmedin.
Uçurtmanın ipini 50 m saldın ve ip yatayla 55° açı yapıyor; ama rüzgâr ipi yana savurduğu için uçurtma tam tepende değil. Arkadaşın 20 m yanından bakıp kendi açısını ölçerse, iki açı ve aradaki 20 m ile sinüs teoremi uçurtmanın gerçek konumunu verir.
Evden okula 3 km, okuldan spor salonuna 4 km gidiyorsun ve iki yol arasındaki açı 120°.
Evle spor salonu arasındaki kuş uçuşu mesafe
√(9 + 16 + 12) = √37 ≈ 6,1 km.
Açı 120° olduğu için düzeltme terimi eklendi;
90° olsaydı 5 km çıkardı.
Konum uygulamaları, üç baz istasyonuna olan uzaklıkları ve aralarındaki açıları kullanarak konumu hesaplar. Sinüs ve kosinüs teoremleri bu hesabın en temel adımıdır — telefon, senin bilmediğin bir kenarı senin bildiğin iki kenar ve bir açıdan buluyor.
Atölyede iki çubuk 120 cm ve 90 cm kesildi, aralarındaki açı 70° olacak. Üçüncü çubuk √(120² + 90² − 2·120·90·cos 70°) ≈ √(14 400 + 8100 − 7388) ≈ 123 cm. Kesmeden önce ölçüyü biliyorsun; malzeme israfı yok.
Bir kazıda taş duvarın yalnız bir kısmı ortaya çıkarılmış olur. Ortaya çıkan iki duvarın uzunlukları ve aralarındaki açı ölçülürse, daha kazılmamış duvarın uzunluğu kosinüs teoremiyle önceden bulunur ve kaç işçi–saat gerekeceği hesaplanır.
Üçgen bir arsanın çitini almadan önce çevresini bilmen gerekir. Bir kenarı ölçüp iki açıyı ölçmek yeter: sinüs teoremi kalan iki kenarı verir, toplamı çit uzunluğudur. Arazi engebeli olsa bile açı ölçmek her zaman mümkündür.
Bir bilgisayar oyununda karakterin iki nesneye olan uzaklıkları ve bakış doğrultuları bilinir; nesneler arasındaki mesafe her karede kosinüs teoremiyle hesaplanır. Kare başına tek bir formül — ekrandaki her çarpışma denetiminin arkasında bu var.
Sinüs ve kosinüs teoremleri testi · iki teoremin ifadeleri ve ispatları, hangi verilerde hangisinin kullanılacağı, geniş açıda kosinüsün işareti, çevrel çember bağlantısı ve çözümlü problemler
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Kenar ile açı karşı karşıya eşleşir.
Ortak değer, çevrel çemberin çapıdır: = 2R.
a² = b² + c² − 2·b·c·cos A
b² = a² + c² − 2·a·c·cos B
c² = a² + b² − 2·a·b·cos C
Açı bulmak için: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)
Karşılıklı bir kenar–açı çifti varsa sinüs:
iki açı + bir kenar · iki kenar + birinin karşı açısı
Karşılıklı çift yoksa kosinüs:
iki kenar + aralarındaki açı · üç kenar
Sinüs: aynı alanı üç kez yaz, birbirine eşitle,
ortak çarpanları sadeleştir.
Kosinüs: B’den [AC]’ye dikme indir, iki dik üçgende de h²’yi
yaz, eşitle, x = c·cos A yerine koy.
A = 90° ⇒ cos A = 0 ⇒ a² = b² + c².
Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel hâlidir.
a² < b² + c² → A dar · a² = b² + c² → A dik · a² > b² + c² → A geniş.
Çocuk parkı şeridi: 300 m
İkizkenar PNR: |PN| = 8 birim
İki açı + bir kenar: |AB| = 42, |AC| = 37
Kamp alanı: m(CDP) = 30°
Ev–okul arası: 180 m
Halatlar arasındaki açı: 60°
Baz istasyonu: |DE| = √10 m
Göktürk uyduları: ≈ 2343 km
Üç ada: 10√21 ≈ 45,8 mil
Kenarı komşu açıyla eşleştirmek (a / sin B).
Geniş açıda cos’un negatif olduğunu unutup düzeltme terimini çıkarmak.
Kosinüs teoreminin sonucunun a² olduğunu atlayıp karekök almamak.
Ortak oranın 2R’ye eşitliği
Kosinüs teoreminin 90°’de Pisagor’a inmesi
cos A’nın işaretinden açı türünün okunması
KKA durumunda iki cevap çıkabilmesi (sin x = sin(180° − x))
Üç ada (10√21) ve Göktürk (≈ 2343 km) sayısal sonuçları