Üçgen büyür,
oran büyümez.
Bir dik üçgenin bütün kenarlarını iki katına çıkar: kenarlar değişir, açılar değişmez. Kuralın tam ifadesi: “bir dik üçgenin tüm kenar uzunluklarının aynı oranda değişimi üçgenin açılarının ölçüsünü değiştirmez.” İşte bu yüzden açıya bir sayı karşılık getirebiliyoruz — o sayının adı sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.
Dik üçgende üç kenar var ama adları hangi dar açıya baktığına göre değişiyor. Dik açının karşısındaki kenar her zaman hipotenüstür; öteki ikisi seçtiğin açıya göre karşı dik kenar ve komşu dik kenar olur. Ünitenin tamamı bu üç adın ikişerli oranlarından ibaret.
sin α = karşı dik kenar uzunluğu / hipotenüs uzunluğu
cos α = komşu dik kenar uzunluğu / hipotenüs uzunluğu
tan α = karşı dik kenar uzunluğu / komşu dik kenar uzunluğu
cot α = komşu dik kenar uzunluğu / karşı dik kenar uzunluğu
Dördü de uzunluk değil orandır: metre metreye bölünür, sonuç birimsizdir. Bu yüzden aynı açının değeri, üçgen ne kadar büyük olursa olsun aynı çıkar.
Aşağıda üç dik üçgen var ve her birinin iki dar açısı için sekiz değer birden yazılı. Aşağıdaki tabloyu arayarak süz: “5/13” yaz, DEF üçgeninin bütün satırları kalsın.
Üçgenler: ABC — dik kenarlar 3 ve 4, hipotenüs 5 (dik açı A’da, dar açılar b ve c) · DEF — 5, 12, 13 · KLN — 8, 15, 17.
3-4-5 üçgeninde sin b = 4/5 ama sin c = 3/5. Aynı kenarlar, farklı açı, farklı değer. Bir orana bakarken hangi açıdan bakıldığını yazmadan “sinüs 4/5’tir” demek anlamsızdır.
Bir açının sinüsünden söz edebilmemizin tek sebebi şu: aynı dar açıya sahip bütün dik üçgenler birbirine benzerdir, benzer üçgenlerde de karşılıklı kenarların oranı değişmez. Kaydırağı çek — üçgen büyüsün, dört oran kılını kıpırdatmasın.
“Karşılıklı bütün kenar uzunlukları orantılı olan dik üçgenlerin
orantılı kenarlarını gören açıların ölçüleri birbirine
eşittir.”
Yani kenardan açıya gidebiliyoruz.
“Bir dik üçgenin tüm kenar uzunluklarının aynı oranda
değişimi üçgenin açılarının ölçüsünü değiştirmez.”
Yani açıdan orana gidebiliyoruz — ve bu yol tek yönlü değil.
Özdeşlik, açı hangi değeri alırsa alsın doğru kalan eşitliktir. Aşağıdaki altısının hiçbiri ezber değil: hepsi hipotenüsü 1 birim olan tek bir dik üçgenden ve Pisagor teoreminden çıkıyor. Düğmeye bas, çıkışını üçgen üzerinde gör.
sin²α + cos²α = 1
tan α · cot α = 1
tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α
sin α = cos(90° − α)
tan α = cot(90° − α)
Son iki özdeşliğin eşi de geçerlidir, çünkü 90° − α da bir dar açıdır ve onun tümleri α’dır:
cos α = sin(90° − α) ·
cot α = tan(90° − α)
Ayrıca sin²α + cos²α = 1 eşitliğinin her iki yanını cos²α’ya bölersen
1 + tan²α = 1 / cos²α çıkar; sin²α’ya bölersen
1 + cot²α = 1 / sin²α. İkisi de aynı Pisagor eşitliğinin
kılık değiştirmiş hâlidir.
Rastgele bir açının sinüsünü bulmak için cetvel gerekir; ama üç açı için gerekmez. Bunlar iki çizimden türetilir: kenarı 2 birim olan bir eşkenar üçgen ikiye katlanınca 30° ve 60°, dik kenarları eşit olan bir ikizkenar dik üçgen ise 45° verir.
· 30° ile 60° birbirinin tümleri olduğu için satırları ters
çevrilmiş hâldedir: sin 30° = cos 60° = 1/2.
· 45° kendi tümleridir, bu yüzden sinüsü ile kosinüsü
eşittir ve tanjantı 1’dir.
· √3/3 ile 1/√3 aynı sayıdır (0,577…); ders kitabının
tablosu 1/√3 biçimini kullanıyor, sınav kitapçıkları çoğunlukla √3/3 yazar.
Dik üçgende dar açı 90°yi geçemez — bir üçgenin iki dik açısı olamaz. Peki 120°nin sinüsü nedir? Cevap şu: merkezi orijin, yarıçapı 1 birim olan çemberi çiz. Açının kolu çemberi hangi noktada kesiyorsa o noktanın apsisi kosinüs, ordinatı sinüstür.
Örnek olarak yalnız iki satır dolduruldu; gerisi sana bırakıldı:
· 30° için nokta B(√3/2 , 1/2) ⇒ cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2
· 120° için nokta B(−1/2 , √3/2) ⇒ cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2
Kalan dört satır aynı yöntemle çıkar:
45° → (√2/2 , √2/2) ·
60° → (1/2 , √3/2) ·
135° → (−√2/2 , √2/2) ·
150° → (−√3/2 , 1/2).
120°lik açının kolu çemberi sol üst bölgede kesiyor. Sol demek apsisin negatifi, üst demek ordinatın pozitifi demek — bu yüzden cos 120° < 0 ama sin 120° > 0. Çemberin içinde kalan dik üçgenin kenar uzunlukları hâlâ pozitiftir; işaret uzunluktan değil, noktanın hangi bölgede durduğundan gelir.
Tanım tek cümle: “Bir ışın, orijini merkez alarak saat yönünün tersine dönerse pozitif yönlü açı, saat yönünde dönerse negatif yönlü açı oluşur.” Yukarıdaki kaydırağı eksi değerlere çektiğinde yayın rengi ve yönü değişiyordu; sebebi bu.
Saat yönünün tersi. 20° ve 140°lik açılar pozitif yönlüdür; kolları çemberi B ve D noktalarında keser.
Saat yönü. −50° ve −120°lik açılar negatif yönlüdür; kolları çemberi C ve E noktalarında keser.
A noktasından ters yönlerde çıkan Beril ve Cansu; AOB açısı 70°, AOC açısı 150° ölçülüyor.
· Beril’in konumu x ekseniyle pozitif yönde 70°,
Cansu’nunki negatif yönde 150° açı yapar.
· Beril C’ye ulaşmak için pozitif yönde 140° ya da
negatif yönde 220° döner.
· Cansu B’ye ulaşmak için negatif yönde 140° ya da
pozitif yönde 220° döner.
Dikkat: 140 + 220 = 360. Aynı varış noktasına iki yoldan
gidilir ve ikisinin toplamı tam turdur.
Dördü de aynı üç adımı izliyor: dik üçgeni bul (yoksa bir yardımcı dikme çizerek üret) → hangi oran verilmiş, hangisi isteniyor → oranı yaz, bilinmeyeni çöz.
Eğim formülü:
Eğim (%) = (Yükseklik Farkı / Yatay Uzaklık) · 100
Parantezin içi tam olarak tan α’dır — yükseklik farkı
karşı dik kenar, yatay uzaklık komşu dik kenardır. Yani
Eğim (%) = 100 · tan α.
Trigonometri cetveline göre sin 17° = 0,2924 ve cos 17° = 0,9563 olduğundan
tan 17° = 0,2924 / 0,9563 ≈ 0,31 ⇒ levhada
%31 yazar.
Trigonometri fizik formülüne şöyle bağlanır: θ, kuvvetin doğrultusu ile yer
değiştirme doğrultusu arasındaki açıdır.
60 N’luk kuvvet, yer değiştirmeyle 120° açı yaparak
cismi 4 m taşıyorsa
W = 60 · 4 · cos 120° = 240 · (−1/2) = −120 joule.
İş negatif olduğu için sistemden
enerji çekilmiştir. Geniş açının kosinüsünün eksi
olması burada fiziksel bir anlam taşıyor: kuvvet hareketi engelliyor.
Spor merkezine dik üçgen biçiminde iki toplanma alanı yapılıyor. İkisinin de dar
açılarından birinin ölçüsü α. Küçüğün dik kenarları
3 m ve 6 m, büyüğünkiler
8 m ve x m.
Küçük üçgende dik açı 3 ile 6’nın birleştiği köşededir; α, 6’nın öbür ucundadır.
O hâlde 3 karşı, 6 komşu
dik kenardır:
tan α = 3/6 = 1/2.
Büyük üçgende dik açı 8 ile x’in birleştiği köşededir; α, x’in öbür ucundadır. Yani
8 karşı, x komşu dik kenar:
tan α = 8/x.
İki eşitlik birleştirilir: 1/2 = 8/x ⇒
x = 16 metre.
Buradaki asıl fikir 02. bölümdekiyle aynı: oran açıya
bağlıdır, üçgenin boyutuna değil. Büyük üçgen küçüğünün tam
iki katı ölçüdedir ve tanjantı değişmez.
3-4-5 üçgeninde 4 birimlik kenar, bir açı için karşı, öteki için komşudur. Kenarın adı üçgenin değil, seçtiğin açının özelliğidir. Şekle önce açıyı işaretle, kenar adlarını sonra yaz.
sin²α, “sin α’nın karesi” demektir: (sin α)·(sin α). sin(α²) ise açının karesinin sinüsü — bambaşka bir şey ve bu ünitede hiç geçmez. Yukarıdaki 2. örnekte (sin x − cos x)² açılırken kullanılan yazım birincisidir.
tan α = sin α / cos α’dır; sin ile cos’un yeri değişirse cot elde edersin. Karıştırdığında sonuç genelde “makul” bir sayı çıkar, bu yüzden hata fark edilmez. Kontrol: 45°’de ikisi de 1’dir; 30°’de tan < 1 < cot olmalı.
Sorular karışık sırayla geliyor. Kenar uzunlukları verilen üçgenlerde doğru oranı seç, özdeşlikleri kullanarak eksik değeri bul.
Trigonometrinin tek işi var: ulaşamadığın bir uzunluğu, ulaşabildiğin bir uzunluk ve bir açıyla bulmak. Aşağıdakilerin hepsi bu.
Tekerlekli sandalye rampalarında eğim genelde %8’i geçmez. %8 demek tan α = 0,08 demek, yani açı 5°’nin altında. 40 cm yükselmek için gereken yatay uzunluk: 0,40 / 0,08 = 5 metre. Rampaların neden bu kadar uzun olduğunun cevabı bu.
Kaydırak 6 m uzunluğunda ve zeminle 30° açı yapıyor. Tepe noktasının yüksekliği 6 · sin 30° = 3 metre. Kaydırağın boyunu ölçmek kolay, tepesine çıkıp metre sarkıtmak zor — trigonometri tam da bu farkı kapatıyor.
Sahadaki potanın gölgesi 5,2 m ve güneş ışınları zeminle 40° açı yapıyorsa pota yüksekliği 5,2 · tan 40° ≈ 5,2 · 0,84 ≈ 4,4 metre. Resmî pota yüksekliği 3,05 m’dir; ölçtüğün gölge bundan uzunsa güneş henüz yeterince yükselmemiştir.
İki direk arasına gerilen ip, uzun direkle 75°, kısa direkle 85° açı yapıyor. Direkler dik olduğu için ipin her iki ucunda birer dik üçgen doğar; iki üçgenin yatay kenarlarını tan 75° ve tan 85° ile yazıp toplarsan direkler arası uzaklığı bulursun.
İki ayağı da zeminle 50° açı yapan, kenarı 2,5 m olan iş merdiveninde ayakların arasına ip gerilir. Tepe açısı 180° − 50° − 50° = 80°, yarısı 40°; ipin yarısı 2,5 · sin 40° = 1,5 m ⇒ ip en az 3 metre olmalı. Merdiven daha fazla açılırsa ip gerilir ve iş güvenliği uyarısı devreye girer.
Yeni başlayanlar için önerilen rampa açısı 15°–20°. 1,2 m yüksekliğinde bir rampanın 18°’lik yüzeyinin uzunluğu 1,2 / sin 18° ≈ 1,2 / 0,31 ≈ 3,9 metre. Aynı yükseklik 30°’ye çıkarılsaydı yüzey 2,4 m’ye inerdi — kısa ama çok dik.
Telefonundaki pusula uygulamasının ikinci ekranı bir eğim ölçerdir. Telefonu bir yokuşa yatırdığında gösterdiği derece açıdır; aynı yokuşun trafik levhasındaki yüzdesi ise 100 · tan(o derece). 10° gösteriyorsa levhada yaklaşık %18 yazar — derece ile yüzde aynı şey değildir.
Öğle arasında bahçede gölgen 90 cm ve güneş 60° yükseklikteyse boyun 0,90 · tan 60° = 0,90 · 1,73 ≈ 1,56 metre. Güneş alçaldıkça (açı küçüldükçe) tanjant küçülür ve gölge uzar; akşamüstü gölgelerin uzamasının sebebi bu.
Kar yağan bölgelerde çatılar dik yapılır ki kar kaymadan birikmesin. Genişliği 8 m olan bir evin çatısı ortada 2 m yükseliyorsa yarım genişlik 4 m, tan α = 2/4 = 0,5 ⇒ α ≈ 27°. Aynı ev Antalya’da olsaydı 1 m’lik bir tepe (α ≈ 14°) yeterdi.
Dik üçgende trigonometrik oranlar ve özdeşlikler testi · dört oranın tanımı, üç kenar üçlüsünün değerleri, özdeşliklerle işlem, özel açılar, birim çemberde geniş açılar, yönlü açı ve çözümlü problemler
sin α = karşı / hipotenüs
cos α = komşu / hipotenüs
tan α = karşı / komşu
cot α = komşu / karşı
sin²α + cos²α = 1 · tan α · cot α = 1
tan α = sin α / cos α · cot α = cos α / sin α
sin α = cos(90° − α) · tan α = cot(90° − α)
Aynı dar açıya sahip dik üçgenler benzerdir; benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı değişmez. Bu yüzden oran üçgenin boyutuna değil, yalnız açıya bağlıdır.
30°: 1/2 · √3/2 · √3/3 · √3
45°: √2/2 · √2/2 · 1 · 1
60°: √3/2 · 1/2 · √3 · √3/3
Nereden geliyor: kenarı 2 olan eşkenar üçgenin yarısı ve ikizkenar dik üçgen.
Merkez orijin, yarıçap 1 birim.
Açının kolu çemberi P(x, y) noktasında kesiyorsa
x = cos, y = sin.
30° → (√3/2 , 1/2) · 120° → (−1/2 , √3/2)
Saat yönünün tersi pozitif, saat yönü
negatif.
Aynı noktaya iki yoldan gidilir; iki ölçünün toplamı
360°’dir (140° ve 220° gibi).
[DH] ⊥ [AB] çizilir. tan 22° = |DH|/|AH| = 4/10 ⇒ |DH| = 4k, |AH| = 10k.
m(BDH) = 59°, cot 59° = |DH|/|BH| = 6/10 ⇒ |BH| = 20k/3.
|AB| = 13 · 50 = 650 ⇒ k = 39 ⇒ |DH| = 156 m.
|sin x − cos x| = 1/√2. Kare alınır:
1 − 2 sin x cos x = 1/2 ⇒ sin x · cos x = 1/4.
Dikdörtgenin alanı = 1/4 mm².
sin 30° = 1,2 / |AC| ve sin 30° = 1/2 ⇒ |AC| = 2,4 m.
Direğin kırılmadan önceki boyu 1,2 + 2,4 =
3,6 metre.
Eğim (%) = 100 · tan α. 17° için ≈ %31.
W = F · d · cos θ. 60 N, 4 m, 120° ⇒ −120 J;
sistemden enerji çekilmiştir.
cos α = sin(90° − α) · cot α = tan(90° − α)
1 + tan²α = 1 / cos²α · 1 + cot²α = 1 / sin²α
√3/3 = 1/√3 (aynı sayı, iki yazım)
Karşı ile komşuyu açıyı işaretlemeden yazmak. Önce açıyı işaretle, sonra kenarları adlandır. Kontrol: 45°’de tan = cot = 1; 30°’de tan < 1 < cot.