Aynı üçgen,
dört ayrı merkez.
Bir üçgene açıortayları çizersen bir noktada, kenarortayları çizersen başka bir noktada, kenar orta dikmeleri çizersen bir üçüncü noktada, yükseklikleri çizersen bir dördüncü noktada kesişirler. Dördü de tesadüf değil; dördünün de bir işi var — anıtın yerini, tabelanın dengesini, kuyunun konumunu bunlar belirler.
Üçgenin kendi elemanları üç kenar ve üç açıdır. Yardımcı eleman, bunların üzerine çizilen doğru parçalarıdır: açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik. Dördünü ayıran şey nereden çıktıkları ve neyi ikiye böldükleri. Düğmelere bas — aynı ABC üçgeninde dördü sırayla çizilsin.
Bir açıyı iki eş açıya bölen ışın. Üçgende bir köşeden çıkar ve karşı kenarı keser. Üçünün kesim noktası kenarlara eşit uzaklıktadır — bu yüzden iç teğet çemberin merkezidir.
Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçası. Üçünün kesim noktası ağırlık merkezidir; üçgen o noktadan asıldığında dengede kalır.
Bir kenarın orta noktasından o kenara dik olarak çizilen doğru. Tek yardımcı eleman ki köşeden geçmek zorunda değildir. Üçünün kesim noktası köşelere eşit uzaklıktadır — çevrel çemberin merkezi.
Bir köşeden karşı kenara ya da kenarın uzantısına indirilen dikme. Üçünün kesim noktası diklik merkezidir ve üçgenin dışına çıkabilen tek merkez odur.
“kenarlara” yaz — hangi merkezin kenarlara eşit uzak olduğu kalsın; “dışına” yaz — yalnız üçgenin dışına çıkabilen satırlar kalsın.
İkizkenar üçgende, tepe köşesinden çizilen açıortay, kenarortay ve yükseklik ile taban kenarının orta dikmesi aynı doğrudur. Eşkenar üçgende bu üç köşe için de geçerlidir; dolayısıyla dört merkez (iç teğet merkezi, ağırlık merkezi, çevrel çember merkezi, diklik merkezi) tek bir noktada çakışır. Aşağıdaki 11. Örnekteki tablolar ikizkenar olduğu için “[HL] hem kenarortay hem yükseklik” diyebiliyoruz. Ders kitabında bu cümle yok; ikizkenar üçgenin simetri ekseninden çıkan kesin bir sonuçtur.
Açıortayın bütün gücü tek bir cümlede: açıortay üzerindeki her nokta açının iki koluna eşit uzaklıktadır — ve tersi de doğrudur, kollara eşit uzaklıktaki her nokta açıortay üzerindedir. Anıt, lamba, penaltı ve okul problemlerinin hepsi bu tersinden çözülür.
[AH, BAC açısının açıortayı; G bu açıortay üzerinde bir nokta;
[GF] ⊥ [AB] ve [GE] ⊥ [AC] ise
|GF| = |GE| ve ayrıca |AF| = |AE|.
Sebebi: AFG ile AEG üçgenleri eş üçgenlerdir (bir kenar ve iki açı ortak).
ABC üçgeninde [AN] açıortay ise
|AB| / |AC| = |BN| / |CN|
Açıortayın karşı kenarda ayırdığı iki parçanın oranı, o açıyı
oluşturan iki kenarın oranına eşittir. Kısaca: açıortay karşı kenarı
komşu kenarlarla orantılı böler.
Bir üçgenin üç iç açıortayı tek bir noktada kesişir ve bu nokta üç kenara da eşit uzaklıktadır. Merkezi bu nokta, yarıçapı bu ortak uzaklık olan çember üçgenin üç kenarına da teğettir: iç teğet çember.
A ve B köşelerinin iç açıortayları K’de kesişiyorsa
m(AKB) = 90° + m(C) / 2
Aşağıdaki 6. Örnek bunu adım adım kuruyor: AKB üçgeninde
m(A)/2 + m(B)/2 + m(AKB) = 180°, ABC üçgeninde m(A) + m(B) = 180° − m(C).
İç teğet çemberin yarıçapı r, üçgenin alanı A ve yarı çevresi u = (a+b+c)/2 olmak üzere A = u · r, yani r = A / u. Sebebi basit: merkez üç kenara da r kadar uzak olduğu için üçgen, tabanları a, b, c ve yükseklikleri r olan üç üçgene ayrılır; alanları toplamı (a+b+c)·r/2’dir. Bu bağıntı ders kitabında yok; iç teğet çemberin tanımından çıkan kesin bir sonuçtur ve 3-4-5 üçgeninde sınanabilir: A = 6, u = 6 ⇒ r = 1.
Bir köşenin dış açısının da açıortayı vardır. O açıortay karşı kenarı kesmez — kenarın uzantısını keser. Şaşırtıcı olan şu: ayırdığı parçalar yine aynı oranı verir.
ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı, [BC] kenarının uzantısını E noktasında kesiyorsa
|AB| / |AC| = |EB| / |EC|
İç açıortayla aynı oran, ama bu kez parçalar üçgenin
dışında. İkisi birlikte kullanıldığında tek bilinmeyenli
bir denklem kurulur — aşağıdaki 8. Örnek tam olarak bunu yapıyor.
Bir üçgende iki dış açıortay ile bu dış açılara komşu olmayan iç açının açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin dış bölgesinde olup üç kenar doğrusuna da teğet olan çemberin merkezidir: dış teğet çember. Her üçgenin üç tane dış teğet çemberi vardır — her köşe için bir tane.
|AB| = |AC| olan ikizkenar bir üçgende A köşesinin dış açıortayı, [BC] kenarına paraleldir ve uzantısını hiç kesmez. Bağıntı bunu zaten söylüyor: |AB| / |AC| = 1 olduğunda |EB| = |EC| olmalıdır, bunu sağlayan tek E noktası yoktur (sonsuzda kalır). Ders kitabında geçmiyor; bağıntının doğrudan sonucu ve “oran 1 olunca ne olur?” sorusunun cevabı.
Üç kenarortay bir noktada kesişir ve o nokta her kenarortayı aynı oranda böler: köşe tarafındaki parça, kenar tarafındakinin iki katı. Üçgenin şeklini nasıl bozarsan boz bu oran değişmez — kaydırağı çekip dene.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylar ve kesim noktaları G ise G,
üçgenin ağırlık merkezidir ve
|AG| / |GD| = |BG| / |GE| = |CG| / |GF| = 2
Yani G, her kenarortayın köşeye yakın
üçte ikisinde durur.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu
hipotenüsün yarısına eşittir.
|BC| hipotenüs ve D orta nokta ise |AD| = |BD| = |CD| = |BC| / 2.
Sebebi: D, aynı zamanda çevrel çemberin merkezidir ve dik üçgenin
çevrel çemberinin çapı hipotenüstür.
Bir cisim ağırlık merkezi dışındaki bir noktadan asıldığında ağırlık merkezi, asılan noktadan geçen düşey doğru üzerinde bulunur. Üçgen bir tabela, vidalarından biri çıkınca tam bu yüzden dönüp yeni bir konumda dengeleniyor.
Üç kenarortayın hepsi çizildiğinde üçgen alanları birbirine eşit altı küçük üçgene ayrılır. Bu, ağırlık merkezinin “denge noktası” olmasının alan dilindeki karşılığıdır. Ders kitabında yazılı değil; kenarortayın üçgeni iki eş alanlı parçaya bölmesinden ve 2/1 oranından çıkan kesin bir sonuçtur.
Kenar orta dikme, kenarın orta noktasından o kenara dik çizilen doğrudur. Üzerindeki her nokta kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır. Üç orta dikme kesiştiğinde elde edilen nokta üç köşeye birden eşit uzaklıkta olur.
ABC üçgeninde [OD], [OF] ve [OE] kenar orta dikmelerse O, üçgenin
çevrel çemberinin merkezidir ve yarıçap R olmak üzere
|OA| = |OB| = |OC| = R.
Çevrel çember üçgenin üç köşesinden de
geçer; iç teğet çember ise üç kenarına teğettir. İkisini karıştırmamak için:
çevrel köşe, iç teğet kenar.
Dar açılı üçgende içeride, dik üçgende hipotenüsün orta noktasında, geniş açılı üçgende dışarıda. Dik üçgen hâli “hipotenüse ait kenarortay = hipotenüsün yarısı” kuralının başka bir söylenişidir; öteki iki hâl çevrel çemberin tanımından çıkan kesin sonuçtur.
Kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgende dört merkez tek noktada çakışır; bu nokta aynı zamanda ağırlık merkezi olduğu için yüksekliği 2’ye 1 böler. Yükseklik h = a√3 / 2 olduğundan R = 2h/3 = a√3 / 3 ve r = h/3 = a√3 / 6, yani R = 2r. Ders kitabı bu değerleri soruyor ama cevabını vermiyor; ağırlık merkezinin 2/1 oranından türetildi.
Yükseklik, bir köşeden karşı kenara ya da o kenarın uzantısına indirilen dikmedir. Üç yükseklik hep aynı noktada kesişir ama o noktanın nerede duracağı üçgenin türüne bağlıdır. Düğmelere bas.
Üç yükseklik de üçgenin içinde kalır; H noktası iç bölgededir.
İki dik kenarın kendisi zaten birer yüksekliktir; H dik köşenin üzerindedir (A = H).
İki yükseklik karşı kenarın uzantısına düşer; H dış bölgededir.
A köşesi dik ise [AB] ⊥ [AC]’dir. O hâlde B’den [AC]’ye inen dikme [BA]’nın kendisidir, C’den [AB]’ye inen dikme de [CA]. İki yükseklik A’da kesiştiğine göre üçüncüsü de oradan geçmek zorundadır. Yani dik üçgende diklik merkezini bulmak için hiçbir şey çizmene gerek yok. Ders kitabı sonucu veriyor, gerekçesini vermiyor; buradaki akıl yürütme eklendi.
Aşağıdakilerin hepsi çözümlü örnek. Her birinde önce hangi yardımcı elemanın devreye girdiğini bul, sonra sayıya geç.
Binadaki iki camın yerden yükseklikleri |BC| = 4 m ve |BD| = 9 m. Merdivenin ikinci
konumdaki açısı, birinci konumdakinin iki katı olduğu için
[AC], ABD üçgeninde iç açıortaydır.
|CD| = 9 − 4 = 5 ⇒ |AB| / |AD| = |BC| / |CD| = 4/5.
|AB| = x ⇒ |AD| = 5x/4. ABD dik üçgeninde Pisagor:
(5x/4)² = x² + 9² ⇒ 25x²/16 − x² = 81 ⇒ 9x²/16 = 81 ⇒ x² = 144 ⇒
x = 12 metre.
Doruk iki yola, Burcu başka iki yola daima eşit uzaklıkta yürüyor ⇒ ikisi de birer
açıortay üzerinde. Kesişim K.
ABK üçgeninde m(A)/2 + m(B)/2 + m(AKB) = 180°
ABC üçgeninde m(A) + m(B) = 180° − m(C)
İkisinden m(AKB) = 90° + m(C)/2.
Yani iki açıortayın oluşturduğu geniş açı, üçüncü açının
yarısından 90° fazladır.
Anıt üç yola eşit uzaklıkta ⇒ D noktası iç açıortayların kesim
noktası. Burcu 140° döndüğü için m(ABD) = m(CBD) = 40°; Ada 165° döndüğü için
m(BAD) = m(CAD) = 15°.
Üçgenin iç açıları toplamından 80° + 30° + m(ACB) = 180° ⇒ m(ACB) = 70°,
yani m(ACD) = m(BCD) = 35°.
Cenk’in dönmesi gereken açı 180° − 35° = 145°.
Hareketli yeşil yolda önce P’ye (4 km), sonra R’ye (24 km daha) ulaşıyor; ikisi de kırmızı ve
mavi yola eşit uzaklıkta. P iç, R
dış açıortay üzerindedir.
|PB| = x olsun. İç: |CA|/|CB| = 4/x. Dış: |CA|/|CB| = 28/(24 − x).
4(24 − x) = 28x ⇒ 96 = 32x ⇒ x = 3 ⇒
|AB| = 4 + 3 = 7 km.
Kare [CE] ve [CF] boyunca katlandığında B ve D köşeleri K’de çakışıyor. Katlama eşlik
demektir: m(KCE) = m(DCE) ve m(KCF) = m(BCF).
a) m(ECF) = m(BCD)/2 = 90°/2 = 45°
b) [EC] ve [FC], AEF üçgeninin dış
açıortaylarıdır ⇒ C, dış teğet çemberlerden birinin merkezidir.
c) Ç(AEF) = |AB| + |AD| olduğundan
Ç(ABCD) = 2 · Ç(AEF).
Ayakları eşit ⇒ ikizkenar üçgen ⇒ ağırlık merkezi tabana ait yükseklik üzerinde.
Şekil 1: taban 14, yarısı 7. G₁’in tabana uzaklığı 8 ⇒ tepe köşesine uzaklığı 16 ⇒
yükseklik 24. Ayak uzunluğu √(7² + 24²) = 25.
Şekil 2: taban 40, yarısı 20, ayak yine 25 ⇒ yükseklik √(25² − 20²) = 15.
G₂’nin tabana uzaklığı yüksekliğin üçte biri: 15/3 = 5 birim.
İkizkenar tablolar; biri ağırlık merkezinden (G, yerden 160 cm), biri çevrel çember
merkezinden (O, yerden 200 cm) asılı. Taban 120 cm.
|GH| = n dersek |GL| = 2n (ağırlık merkezi kenarortayı 1/2 oranında böler),
|OK| = 200 − 160 = 40, |OR| = 2n − 40, |MR| = 60, |OM| = |OT| = n + 40.
ORM dik üçgeninde: (n + 40)² = (2n − 40)² + 60² ⇒ 3n² − 240n + 3600 = 0 ⇒
n² − 80n + 1200 = 0 ⇒ (n − 60)(n − 20) = 0.
n = 20 için |OR| = 0 olur, elenir ⇒ n = 60 ⇒ yükseklik
3n = 180 cm.
İkisi de “en kısa yol”dan yürüdüğü için birer yükseklik
üzerindeler; buluştukları çeşme diklik merkezi.
|BÇ| = 100, |AÇ| = 60, |ÇD| = 60 (çeşme eve ve caddeye eşit uzak).
BÇD’de Pisagor: 100² = 60² + |BD|² ⇒ |BD| = 80.
BÇD ile AHD benzer ⇒ |AH| = 150 m ve |DH| = 120 m ⇒
Aslı 150 m, Berke 170 m.
Bu ünitede yapılan hataların neredeyse hepsi iki elemanı karıştırmaktan doğuyor.
İkisi de kenarın orta noktasından geçer, ama kenarortay köşeye gider, orta dikme kenara diktir. Bir üçgende ikisi ancak ikizkenarın tabanında çakışır. Kesim noktaları da farklıdır: kenarortaylarınki ağırlık merkezi, orta dikmelerinki çevrel çember merkezi.
Açıortay açıyı ikiye böler, kenarı değil. Karşı kenarda ayırdığı parçalar |AB| / |AC| oranındadır; bu oran ancak |AB| = |AC| olduğunda 1 olur. “Açıortay çizdim, kenar ortadan bölündü” demek ikizkenar varsaymaktır.
|AB| / |AC| = |BN| / |CN|’de B ile B, C ile C eşleşir. |AB| / |AC| = |CN| / |BN| yazmak sonucu ters çevirir ve çoğu zaman yine “makul” bir sayı verdiği için fark edilmez. Kontrol: uzun kenarın tarafındaki parça uzun olmalı.
|AG| / |GD| = 2’dir, |GD| / |AG| = 2 değil. Ağırlık merkezi köşeye daha yakındır. Kenarortay 3 birime bölünürse 2 birim köşe tarafında, 1 birim kenar tarafındadır. 10. Örnekte G₂’nin tabana uzaklığının yüksekliğin üçte biri çıkmasının sebebi budur.
Geniş açılı üçgende iki yükseklik karşı kenarın uzantısına düşer. “Yükseklik üçgenin içindedir” diye çizmek geniş açılı üçgende yanlış şekle, yanlış şekil de yanlış çözüme götürür.
İç teğet çember kenarlara teğettir ve merkezi açıortayların kesimidir; çevrel çember köşelerden geçer ve merkezi orta dikmelerin kesimidir. 11. Örnekte iki tablodan biri G’den, biri O’dan asılıydı — ikisini karıştırmak denklemi baştan bozar.
Sorular karışık sırayla geliyor. Verilen durumda hangi yardımcı elemanın devreye girdiğini ve hangi bağıntının kurulacağını seç.
Bu ünitenin tamamı iki soruya indirgenebilir: kenarlara mı eşit uzak olsun, köşelere mi? Birincisinin cevabı açıortay, ikincisininki orta dikmedir.
Üçgen bir bahçenin üç kenarını da aynı anda sulayacak tek fıskiye açıortayların kesim noktasına konur; su erişimi yarıçapı r ise üç kenara da tam değer. Üç köşedeki ağaca eşit mesafede olsun isteseydin orta dikmelerin kesimine koyacaktın — yer bambaşka çıkar.
Penaltıda kaleci, topun kale direkleriyle yaptığı açının açıortayı üzerinde durur. Böylece iki direğe de eşit uzaklıkta olur ve sağa da sola da aynı sürede uzanır. Bir adım yana kaydığında bir tarafı diğerinden yakın olur ve şutör o tarafı kapatır.
Üçgen kesilmiş bir karton posteri tek çiviyle asacaksan çivi ağırlık merkezine gelmeli; başka bir noktadan asarsan poster döner ve ağırlık merkezi çividen inen düşey doğrunun üstüne oturana kadar sallanır. Ağırlık merkezini bulmak için iki kenarortay yeter, üçüncüsünü çizmene gerek yok.
Üç eve eşit uzaklıkta bir kuyu isteniyorsa evler üçgenin köşeleridir; kuyu çevrel çemberin merkezine kazılır. Haritayı iki farklı yerden katlayıp katlama çizgilerinin kesiştiği noktayı işaretlemek de aynı işi yapar: katlama çizgisi tam olarak orta dikmedir.
Üç patikanın çevrelediği üçgen alanda çadırını üç patikaya da eşit uzak kurmak istiyorsan (gece hangisine çıkarsan çık aynı mesafe) açıortayların kesim noktası doğru yerdir. Sabah üç arkadaşının çadırına eşit mesafede olmak isteseydin orta dikmelere bakacaktın.
Yere dik saplanan çubuğun 15-30 dakika arayla iki gölge ucu işaretlenip birleştirilirse doğu–batı doğrultusu bulunur. Kuzey–güney bunun dikidir: çubuk dibi ile iki gölge ucunun oluşturduğu üçgende, tabana ait yükseklik doğrultusu kuzey–güneyi verir.
Üç yönden seyirci alan bir sahnede oyuncunun üç seyirci bölümüne de eşit uzak olması istenirse, sahne üçgenin dışında kaldığı için nokta dış teğet çemberin merkezidir: iki dış açıortay ile karşı köşenin iç açıortayı kesişir.
İki vidayla tutturulmuş üçgen bir tabelanın bir vidası çıkarsa tabela kalan vida etrafında döner ve ağırlık merkezi vidanın tam altına gelene kadar sallanır. Yeni konumu tahmin etmek için ağırlık merkezini bulman yeterli.
Çatı makaslarında tepe köşesinden inen düşey çubuk, tasarım ikizkenarsa hem açıortay hem kenarortay hem yükseklik hem de tabanın orta dikmesidir; yük iki yana eşit dağılır. Tasarım ikizkenar değilse bunlar ayrışır ve “ortadaki çubuk” dört işten yalnız birini görür.
Üçgende yardımcı elemanlar testi · dört elemanın tanımı ve kesim noktaları, iç ve dış açıortay bağıntısı, ağırlık merkezi, çevrel ve iç teğet çember, diklik merkezinin yeri ve sekiz çözümlü problem
Açıortay — açıyı ikiye böler
Kenarortay — köşeden kenarın orta noktasına
Kenar orta dikme — orta noktadan kenara dik
Yükseklik — köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) dik
Açıortaylar → iç teğet çember merkezi (kenarlara eşit uzak)
Kenarortaylar → ağırlık merkezi
Orta dikmeler → çevrel çember merkezi (köşelere eşit uzak)
Yükseklikler → diklik merkezi
Açıortay üzerindeki nokta kollara eşit uzak: |GF| = |GE|, |AF| = |AE|
İç: |AB| / |AC| = |BN| / |CN|
Dış: |AB| / |AC| = |EB| / |EC|
İki iç açıortay arası: m(AKB) = 90° + m(C)/2
|AG|/|GD| = |BG|/|GE| = |CG|/|GF| = 2
G köşeye yakın taraftadır; kenarortayın üçte ikisi köşe tarafında.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay
hipotenüsün yarısıdır.
İç teğet: üç kenara teğet, merkez iç açıortayların kesimi, bir tane.
Çevrel: üç köşeden geçer, |OA| = |OB| = |OC| = R.
Dış teğet: iki dış + bir iç açıortayın kesimi,
her üçgende üç tane.
Dar açılı üçgen → içeride
Dik açılı üçgen → dik köşede
Geniş açılı üçgen → dışarıda
Üçgenin dışına çıkabilen tek merkez budur.
Camcının merdiveni: 12 m
Anıt / Cenk’in dönüşü: 145°
İki yerleşim arası: 7 km
Pergel: 5 birim
Tabloların yüksekliği: 180 cm
Aslı 150 m, Berke 170 m
İkizkenarda tepe köşesinin dört elemanı çakışır; eşkenar üçgende dört merkez de tek noktadır.
r = Alan / yarı çevre
Eşkenar üçgende R = 2r; R = a√3/3, r = a√3/6.
Kenarortaylar üçgeni alanca eş altı parçaya böler.
Problemde “kenarlara eşit uzak” geçiyorsa açıortay, “köşelere/noktalara eşit uzak” geçiyorsa orta dikme, “en kısa yol” geçiyorsa yükseklik, “denge / asma” geçiyorsa ağırlık merkezi düşün. Bu ünitedeki sekiz örneğin sekizi de bu dört anahtar kelimeden biriyle açılıyor.