Bir sayıyı
tek bakışta
tartmak.
Dünya’nın kütlesi 5,97 · 10²⁴ kg, bir grip virüsünün çapı 1 · 10⁻⁷ m. İkisini de bütün rakamlarıyla yazsan sayfayı sıfırlar doldurur ve hangisinin kaç kat büyük olduğunu görmek için rakam saymak zorunda kalırsın. Bilimsel gösterim bu işi üsse bakmaya indirger: sayının büyüklüğü katsayıda değil, 10’un kuvvetinde saklıdır.
n tam sayı, a sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere a · 10ⁿ ifadesine bilimsel gösterim denir. Bir sayıyı bu biçime çevirmenin tek işi vardır: virgülü, soldan ilk sıfırdan farklı rakamın hemen sağına taşımak ve kaç basamak taşıdığını üsse yazmak. Virgül sola giderse üs artar, sağa giderse azalır. Sayının değeri değişmez; yalnız yazılışı değişir.
Tam sayı biçiminde yazılmış bir sayının virgülü en sağdadır. 149 600 000 sayısında virgülü
8 basamak sola taşırsan 1,496 kalır; taşıdığın basamak sayısı üs olur:
149 600 000 = 1,496 · 10⁸.
Sağlaması kolay: 1,496 sayısını 10⁸ ile çarpmak, virgülü 8 basamak sağa götürüp
eksik kalan yerleri sıfırla doldurmaktır.
0,000 075 sayısında ilk sıfırdan farklı rakam 7’dir. Virgülü onun sağına götürmek için
5 basamak sağa kaydırmak gerekir; sağa kaydırma üssü küçültür:
0,000 075 = 7,5 · 10⁻⁵.
Negatif üs, sayının negatif olduğu anlamına gelmez — sayının
1’den küçük olduğu anlamına gelir. 7,5 · 10⁻⁵ pozitif bir sayıdır.
1 ≤ |a| < 10 koşulu, katsayının tam kısmının tek basamaklı ve sıfırdan farklı olmasını ister. Bu yüzden 12,3 · 10⁵ ve 0,45 · 10⁷ ifadeleri doğru sayılardır ama bilimsel gösterim değildir. Doğrusu 1,23 · 10⁶ ve 4,5 · 10⁶’dır.
a · 10ⁿ biçiminde yazılmış ve 1 ≤ a < 10 olan pozitif bir sayı, tam kısmında n + 1 basamak taşır. 6,022 · 10²³ sayısı 24 basamaklıdır. Aynı mantıkla 8,1 · 10⁹ olan dünya nüfusu 10 basamaklı bir sayıdır.
| Sayı | Virgül kaç basamak, ne yöne | Bilimsel gösterim |
|---|---|---|
| 384 400 | 5 basamak sola | 3,844 · 10⁵ |
| 8 100 000 000 | 9 basamak sola | 8,1 · 10⁹ |
| 0,000 42 | 4 basamak sağa | 4,2 · 10⁻⁴ |
| 0,000 000 1 | 7 basamak sağa | 1 · 10⁻⁷ |
| 7,5 | hiç kaydırılmaz | 7,5 · 10⁰ |
| −52 000 | 4 basamak sola, işaret korunur | −5,2 · 10⁴ |
| 123 · 10⁴ | 2 basamak sola, üs 4’ten 6’ya | 1,23 · 10⁶ |
| 0,45 · 10⁷ | 1 basamak sağa, üs 7’den 6’ya | 4,5 · 10⁶ |
Son iki satır en çok işine yarayacak olanı: katsayı ile üs arasında her zaman bir alışveriş vardır. Katsayıyı 10’a bölersen üssü 1 artırırsın, 10 ile çarparsan üssü 1 azaltırsın. Sayının değeri sabit kalır.
0,000 075 sayısını gören çoğu kişi virgülden sonraki sıfırları sayar (4 tane) ve
7,5 · 10⁻⁴ yazar. Yanlıştır. Sayılacak şey sıfırlar değil,
virgülün kaç basamak taşındığıdır: 7’nin sağına gelmesi için
virgül 0-0-0-0-7 üzerinden 5 basamak gider, doğrusu 7,5 · 10⁻⁵’tir.
Kontrol yöntemi: 7,5 · 10⁻⁵ = 7,5 / 100 000 = 0,000 075. Tersine çevirip sağlamasını yapmak
beş saniye sürer ve bu hatayı tamamen bitirir.
Bilimsel gösterimde yazılmış iki sayı, ancak 10’un aynı kuvvetiyle yazıldıklarında toplanıp çıkarılabilir. Sebebi ünite 1’deki ortak çarpan kuralıdır: a · 10ⁿ + b · 10ⁿ = (a + b) · 10ⁿ. Üsler farklıysa ortak çarpan yoktur; önce biri ötekine benzetilir. İşlem bittikten sonra sonuç yeniden standart biçime getirilir — çünkü toplamada katsayı kolayca 10’u aşar.
Yaklaşık değerlere göre Pekin’in yüz ölçümü 1,6 · 10⁴ km²,
Tokyo’nunki 2,2 · 10³ km²’dir. Aradaki fark:
1,6 · 10⁴ − 2,2 · 10³ = 16 · 10³ − 2,2 · 10³ = 13,8 · 10³ = 1,38 · 10⁴ km².
Soru m² istiyorsa 1 km² = 10⁶ m² olduğundan
1,38 · 10⁴ · 10⁶ = 1,38 · 10¹⁰ m² bulunur.
Birim çevirmenin de bir 10 kuvveti olduğuna dikkat et: çevirme işlemi üsse eklenir.
6,4 · 10⁵ + 8,3 · 10⁵ = 14,7 · 10⁵ — buraya kadar doğru ama
bitmedi: 14,7 sayısı 10’dan büyük olduğu için bu bir bilimsel gösterim değildir.
Katsayıyı 10’a böl, üssü 1 artır: 1,47 · 10⁶.
Çıkarmada ters durum olur: 3,1 · 10⁷ − 2,9 · 10⁷ = 0,2 · 10⁷
katsayısı 1’den küçük olduğu için yine düzeltilir: 2 · 10⁶.
| İşlem | Üsler eşitlenmiş hâli | Katsayı işlemi | Standart biçim |
|---|---|---|---|
| 5 · 10⁹ + 1,002 · 10⁹ | zaten eşit | 5 + 1,002 = 6,002 | 6,002 · 10⁹ |
| 7,5 · 10⁸ − 5,8 · 10⁷ | 75 · 10⁷ − 5,8 · 10⁷ | 75 − 5,8 = 69,2 | 6,92 · 10⁸ |
| 3,7 · 10⁷ + 3,14 · 10⁷ | zaten eşit | 3,7 + 3,14 = 6,84 | 6,84 · 10⁷ |
| 4 · 10⁻³ + 6 · 10⁻⁴ | 40 · 10⁻⁴ + 6 · 10⁻⁴ | 40 + 6 = 46 | 4,6 · 10⁻³ |
| 9,2 · 10⁵ + 9,2 · 10⁵ | zaten eşit | 9,2 + 9,2 = 18,4 | 1,84 · 10⁶ |
| 2 · 10⁶ − 2 · 10⁵ | 20 · 10⁵ − 2 · 10⁵ | 20 − 2 = 18 | 1,8 · 10⁶ |
Dördüncü satır negatif üslerde de kuralın aynı olduğunu gösteriyor: 10⁻³ = 10 · 10⁻⁴ olduğundan 4 · 10⁻³ = 40 · 10⁻⁴’tür. Negatif üslerde “küçük üs” demek daha küçük sayı demektir: 10⁻⁴ < 10⁻³.
3 · 10⁴ + 2 · 10⁴ = 5 · 10⁸ değildir. Üsler yalnız çarpmada toplanır.
Buradaki işlem 30 000 + 20 000 = 50 000 = 5 · 10⁴’tür.
Toplamada 10’un kuvveti ortak çarpandır ve olduğu gibi kalır.
Karşılaştır: 3 · 10⁴ · 2 · 10⁴ = 6 · 10⁸. Aynı iki sayı, tek işaret farkıyla dört basamak
farklı bir sonuç verir.
Çarpma ve bölmede üsleri eşitlemek gerekmez; işlem iki ayrı kanalda yürür. (a · 10ᵐ) · (b · 10ⁿ) = (a · b) · 10ᵐ⁺ⁿ ve (a · 10ᵐ) / (b · 10ⁿ) = (a / b) · 10ᵐ⁻ⁿ. Kuvvet alırken ikisi birden değişir: (a · 10ⁿ)ᵏ = aᵏ · 10ⁿ·ᵏ. Her üçünde de son adım aynıdır: katsayı 1 ile 10 arasına düşmediyse bir alışveriş daha yapılır.
Yer çekimi sabiti G = 6,673 · 10⁻¹¹ m³/(kg · sn²),
bir gezegenin yer çekimi ivmesini de g = G · M / R² bağıntısıyla veriyor.
Mars için R = 3,389 · 10⁶ m ve g = 3,711 m/sn² olduğuna göre kütle:
M = g · R² / G = 3,711 · (3,389 · 10⁶)² / (6,673 · 10⁻¹¹)
(3,389 · 10⁶)² = 11,485 · 10¹² = 1,1485 · 10¹³
3,711 · 1,1485 · 10¹³ = 4,2622 · 10¹³
4,2622 · 10¹³ / (6,673 · 10⁻¹¹) = 0,6387 · 10²⁴ =
6,4 · 10²³ kg (onda birler basamağına yuvarlanmış).
Dünya için M = 5,97 · 10²⁴ kg ve R = 6,371 · 10⁶ m’dir:
g = 6,673 · 10⁻¹¹ · 5,97 · 10²⁴ / (6,371 · 10⁶)²
Pay: 6,673 · 5,97 = 39,84 → 39,84 · 10¹³ = 3,984 · 10¹⁴
Payda: (6,371)² = 40,59 → 40,59 · 10¹² = 4,059 · 10¹³
3,984 · 10¹⁴ / 4,059 · 10¹³ = 0,9815 · 10¹ ≈
9,8 m/sn².
Sonuç fizik dersinde ezberlediğin sayının ta kendisi. Mars’ınki 3,711 olduğuna göre
Dünya’da bir cisme etkiyen çekim, Mars’takinin yaklaşık
2,6 katıdır.
| İşlem | Katsayı | Üs | Standart biçim |
|---|---|---|---|
| (3 · 10⁵) · (2 · 10⁷) | 3 · 2 = 6 | 5 + 7 = 12 | 6 · 10¹² |
| (4 · 10⁶) · (5 · 10⁻²) | 4 · 5 = 20 | 6 + (−2) = 4 | 2 · 10⁵ |
| (8,4 · 10⁹) / (2,1 · 10⁴) | 8,4 / 2,1 = 4 | 9 − 4 = 5 | 4 · 10⁵ |
| (3 · 10⁴) / (6 · 10⁷) | 3 / 6 = 0,5 | 4 − 7 = −3 | 5 · 10⁻⁴ |
| (2 · 10⁵)³ | 2³ = 8 | 5 · 3 = 15 | 8 · 10¹⁵ |
| (3 · 10⁻⁴)² | 3² = 9 | (−4) · 2 = −8 | 9 · 10⁻⁸ |
| (6 · 10⁸) · (5 · 10⁸) | 6 · 5 = 30 | 8 + 8 = 16 | 3 · 10¹⁷ |
Dördüncü satırdaki düzeltmeye dikkat: 0,5 · 10⁻³ ifadesinin katsayısı 1’den küçük olduğu için katsayı 10 ile çarpılıp üs 1 azaltıldı ve 5 · 10⁻⁴ bulundu. Bölmede sonucun katsayısı 1’in altına düştüğünde üs bir azalır, çarpmada katsayı 10’u aştığında üs bir artar.
(2 · 10⁵)³ ifadesi 2 · 10¹⁵ değildir. Parantez içindeki her çarpan
kuvvete girer: 2³ · (10⁵)³ = 8 · 10¹⁵. Sonuç dört kat farklıdır.
Aynı hata karekökte de görülür: √(9 · 10⁶) = 3 · 10³’tür,
9 · 10³ değil. Katsayının kökü ayrı, 10’un kuvvetinin kökü ayrı alınır.
Bilimsel gösterimde yazılmış iki pozitif sayıyı karşılaştırmak iki adımdır: 1) Üsler farklıysa üssü büyük olan sayı büyüktür. 2) Üsler eşitse katsayılar karşılaştırılır. Bir sayının 10’un hangi kuvvetiyle yazıldığına o sayının mertebesi (büyüklük derecesi) denir. Bir mertebe fark 10 kat, iki mertebe fark 100 kat demektir — bu yüzden mertebe, iki niceliğin “aynı ligde” olup olmadığını gösteren en hızlı ölçüdür.
Nüfus yoğunluğu, nüfusun yüz ölçümüne bölümüdür (kilometrekareye
düşen insan sayısı). Yaklaşık değerlerle:
Tokyo: 3,74 · 10⁷ / 2,2 · 10³ = 1,7 · 10⁴ ≈ 17 000 kişi/km²
Delhi: 3,14 · 10⁷ / 1,5 · 10³ ≈ 2,09 · 10⁴ ≈ 20 900 kişi/km²
Pekin: 2,15 · 10⁷ / 1,6 · 10⁴ ≈ 1,34 · 10³ ≈ 1340 kişi/km²
Küçükten büyüğe: Pekin < Tokyo < Delhi. Pekin’in nüfusu
Tokyo’dan az değil ama yüz ölçümü yedi kattan fazla olduğu için yoğunluğu bir mertebe düşük çıkıyor.
123 · 10⁴ · 10,9 · 10⁵ · 1054 · 10³ sayılarını sıralamak için
hepsi aynı biçime getirilir:
123 · 10⁴ = 1,23 · 10⁶
10,9 · 10⁵ = 1,09 · 10⁶
1054 · 10³ = 1,054 · 10⁶
Üsler eşitlendi, artık katsayılar konuşur:
1,054 · 10⁶ < 1,09 · 10⁶ < 1,23 · 10⁶.
Ham hâlleriyle bakınca en büyük görünen 1054 · 10³, aslında en küçüğüdür.
Kural negatif üslerde de aynıdır: üssü büyük olan sayı büyüktür.
−3 sayısı −5’ten büyük olduğu için 10⁻³ > 10⁻⁵’tir.
Yani 2 · 10⁻⁵ < 2 · 10⁻³.
Kafa karıştıran şey şudur: üs küçüldükçe sayı küçülür ama
“sıfır sayısı” artar. 0,000 02 sayısı 0,002’den küçüktür,
gerçi daha uzun yazılır. Sayının uzunluğuna değil üssüne bak.
Bilimsel gösterimin en çok işe yaradığı yer “kaç kat” sorularıdır. İki sayıyı bölerken katsayıları böl, üsleri çıkar. Üsler farkı sana kabaca cevabı zaten verir: üsler farkı 3 ise cevap 1000 mertebesindedir. Katsayı bölümü ise bu tahmini ince ayara sokar. Bu yüzden bir gök cismiyle bir hücreyi karşılaştırmak, bir kalemle bir defteri karşılaştırmak kadar kolaydır.
Işık yılı bir uzunluk birimidir: ışığın bir yılda aldığı yol.
Işık hızı yaklaşık 3 · 10⁸ m/sn, bir yıl yaklaşık 3,15 · 10⁷ sn olduğuna göre
3 · 10⁸ · 3,15 · 10⁷ = 9,45 · 10¹⁵ m ≈ 9,46 · 10¹² km.
Katsayılar çarpıldı (3 · 3,15 = 9,45), üsler toplandı (8 + 7 = 15). Metreden kilometreye
geçmek üssü 3 azaltır.
Dünya 5,97 · 10²⁴ kg, Mars 6,4 · 10²³ kg:
5,97 · 10²⁴ / (6,4 · 10²³) = 0,93 · 10¹ ≈ 9,3 kat.
Üsler farkı 1 olduğu için cevabın 10 civarında çıkacağını daha bölmeden bilirsin.
Katsayı bölümü 0,93 olduğuna göre sonuç 10’un biraz altındadır.
Bir alyuvarın çapı yaklaşık 7,5 · 10⁻⁶ m, bir hidrojen atomunun çapı yaklaşık 10⁻¹⁰ m’dir:
7,5 · 10⁻⁶ / 10⁻¹⁰ = 7,5 · 10⁴ = 75 000 kat.
Üs çıkarmada işaretlere dikkat: −6 − (−10) = −6 + 10 = 4. Negatif üslerde çıkarma
çoğu zaman toplama gibi davranır.
| İşlem | Üsleri eşitlemek gerekir mi | Üslere ne olur | Katsayılara ne olur |
|---|---|---|---|
| Toplama · Çıkarma | Evet | Değişmez, ortak çarpandır | Toplanır / çıkarılır |
| Çarpma | Hayır | Toplanır | Çarpılır |
| Bölme | Hayır | Çıkarılır | Bölünür |
| Kuvvet alma | Hayır | Kuvvetle çarpılır | Kuvveti alınır |
| Sıralama | Hayır, üsse bakılır | Büyük üs kazanır | Yalnız üsler eşitse bakılır |
Aşağıdaki her soruda önce iki şeyi denetle: katsayı 1 ile 10 arasında mı ve işleme uygun kural mı seçilmiş. Sonra şıkka bak.
Bilimsel gösterim laboratuvara ait bir yazım biçimi değil; ekranındaki her sayı, kulaklığındaki her frekans ve kaptığın her mikrop bir 10 kuvvetiyle ölçülüyor. Aşağıdaki dokuz sahnede sayıların hepsi yaklaşık değerlerdir.
Telefon kamerasıyla çekilen bir fotoğraf yaklaşık 4 MB, yani 4 · 10⁶ bayt yer kaplar. Galeride 2500 fotoğraf varsa toplam 4 · 10⁶ · 2,5 · 10³ = 10¹⁰ bayt = 10 GB eder. “Depolama doldu” uyarısının matematiği bu tek çarpmadır.
100 Mbps’lik bağlantı saniyede 10⁸ bit taşır. Bir bayt 8 bit olduğuna göre saniyede 1,25 · 10⁷ bayt, yani yaklaşık 12,5 MB iner. 2 GB = 2 · 10⁹ bayt bir oyun dosyası 2 · 10⁹ / 1,25 · 10⁷ = 160 saniyede iner.
Bir saç telinin kalınlığı yaklaşık 7 · 10⁻⁵ m, bir defter yaprağınınki yaklaşık 1 · 10⁻⁴ m’dir. Yani kâğıt saç telinden biraz kalındır: 10⁻⁴ / (7 · 10⁻⁵) ≈ 1,4 kat. İkisi de aynı mertebede (10⁻⁴ ile 10⁻⁵ komşudur); bu yüzden birbirine yakın görünürler.
Bir grip virüsünün çapı yaklaşık 1 · 10⁻⁷ m, bir bakterininki yaklaşık 1 · 10⁻⁶ m’dir. Aradaki bir mertebe fark 10 kat demektir. Biyoloji dersinde “virüsler bakterilerden çok küçüktür” cümlesinin sayısal karşılığı budur.
Evdeki Wi-Fi yayını 2,4 · 10⁹ Hz frekansında çalışır: saniyede 2,4 milyar titreşim. Telefonun 5G bandı 3,5 · 10⁹ Hz’e çıkar. Ayarlar ekranında gördüğün “2.4 GHz / 5 GHz” yazısı, bilimsel gösterimin kısaltılmış hâlidir (G = 10⁹).
Bir haberleşme uydusu yaklaşık 3,6 · 10⁷ m yükseklikte döner. Sinyal ışık hızıyla (3 · 10⁸ m/sn) gidip geldiğine göre yalnız yol için geçen süre 2 · 3,6 · 10⁷ / (3 · 10⁸) = 0,24 saniye. Uydu bağlantılı canlı yayınlarda muhabirin sorudan sonra bir an duraklamasının sebebi budur.
200 mL su yaklaşık 200 gramdır ve suyun mol kütlesi 18 g olduğuna göre bardakta 200/18 ≈ 11,1 mol su vardır. Bir moldeki tanecik sayısı 6,022 · 10²³ olduğuna göre bardaktaki su molekülü sayısı 11,1 · 6,022 · 10²³ ≈ 6,7 · 10²⁴ tanedir. Kimya dersindeki Avogadro sayısı, bilimsel gösterim olmadan yazılamayacak kadar büyüktür.
1 / 25 000 000 ölçekli bir dünya haritasında ölçek 4 · 10⁻⁸’dir (1 / (2,5 · 10⁷) = 0,4 · 10⁻⁷ = 4 · 10⁻⁸). Haritada 3 cm ölçtüğün iki şehir arası gerçekte 3 · 10⁻² / (4 · 10⁻⁸) = 7,5 · 10⁵ m = 750 km eder.
Dünya nüfusu yaklaşık 8,1 · 10⁹, Türkiye’nin nüfusu yaklaşık 8,5 · 10⁷ kişidir; oran 8,1 · 10⁹ / (8,5 · 10⁷) ≈ 95 kat. Sınıfın 30 kişiyse dünya nüfusu sınıfının 8,1 · 10⁹ / (3 · 10¹) = 2,7 · 10⁸ katıdır.
46 soruluk test · standart biçime çevirme, katsayı koşulu, dört işlem, kuvvet alma, mertebe ve sıralama, gerçek verilerle oran hesabı
n tam sayı, a sıfırdan farklı gerçek sayı ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere
a · 10ⁿ.
Virgül sola gider → üs artar. Virgül sağa gider → üs azalır.
Katsayıyı 10’a bölmek üssü 1 artırır; 10 ile çarpmak 1 azaltır.
1 ≤ a < 10 olan pozitif a · 10ⁿ sayısı n + 1 basamaklıdır.
a · 10ⁿ ± b · 10ⁿ = (a ± b) · 10ⁿ — önce üsler eşitlenir.
(a · 10ᵐ) · (b · 10ⁿ) = (a · b) · 10ᵐ⁺ⁿ
(a · 10ᵐ) / (b · 10ⁿ) = (a / b) · 10ᵐ⁻ⁿ
(a · 10ⁿ)ᵏ = aᵏ · 10ⁿ·ᵏ
Her işlemden sonra katsayı 1 ile 10 arasına çekilir.
Pozitif sayılarda önce üsse, üsler eşitse katsayıya bakılır.
10⁻³ > 10⁻⁵’tir; üssü büyük olan büyüktür.
Bir mertebe fark 10 kat, iki mertebe fark 100 kattır.
“Kaç kat” sorusunda katsayılar bölünür, üsler çıkarılır.
1. Küçük sayılarda sıfırları saymak: 0,000 075 = 7,5 · 10⁻⁵’tir, 10⁻⁴ değil.
2. Toplamada üsleri toplamak: 3 · 10⁴ + 2 · 10⁴ = 5 · 10⁴’tür.
3. Kuvvet alırken katsayıyı atlamak: (2 · 10⁵)³ = 8 · 10¹⁵’tir.
Yer çekimi sabiti G = 6,673 · 10⁻¹¹, bağıntı
g = G · M / R².
Dünya: M = 5,97 · 10²⁴ kg, R = 6,371 · 10⁶ m, g ≈ 9,8 m/sn².
Mars: R = 3,389 · 10⁶ m, g = 3,711 m/sn², M ≈ 6,4 · 10²³ kg.
Dünya’nın kütlesi Mars’ınkinin yaklaşık 9,3 katıdır.
Buradaki bütün kurallar üslü ifadelerin kurallarıdır; taban 10’a sabitlenmiştir. xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ çarpmayı, xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ bölmeyi, (xᵃ)ᵇ = xᵃ·ᵇ kuvvet almayı, ortak çarpan parantezi de toplamayı açıklar. Yeni bir kural ezberlemedin; bilinen kuralları tek bir tabana uyguladın.