Aynı sayıyı
kaç kere
çarptın?
İnsan beynindeki nöron sayısı yaklaşık 8,6 · 10¹⁰ tanedir. Nötronun kütlesi ise yaklaşık 1,675 · 10⁻²⁴ gramdır. Bu iki sayıyı bütün rakamlarıyla yazmaya kalksan biri 11 basamak, öteki virgülden sonra 24 basamak sürer. Üslü gösterim tam olarak bunun için var: aynı sayının tekrar tekrar çarpımını tek satıra sığdırmak.
a bir gerçek sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere n tane a sayısının çarpımı, a sayısının n. kuvveti olarak isimlendirilir: aⁿ = a · a · a · … · a (n tane). aⁿ ifadesinde a taban, n ise üs olarak isimlendirilir. Üs, tabanın kaç kere çarpma işlemine girdiğini söyler — tabanın kaçla çarpıldığını değil. 2⁵ ifadesi 2 · 5 = 10 değil, 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 demektir.
1. aⁿ = a · a · … · a (n tane, n pozitif tam sayı)
2. a¹ = a
3. b sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere b⁰ = 1
4. a sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere
a⁻¹ = 1/a ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ
2⁻³ ifadesi negatif bir sayı değildir; 1/2³ = 1/8’dir ve pozitiftir. Negatif üs “bu sayıyı paydaya taşı” demektir. Sonucun işaretini üs değil taban belirler: 2⁻³ pozitif, (−2)³ negatiftir.
n pozitif tam sayı ise 0ⁿ = 0’dır: 0⁵ = 0. Ama 0⁰ ve 0⁻ⁿ tanımsızdır. Bu yüzden b⁰ = 1 kuralı “b sıfırdan farklı” koşuluyla, a⁻ⁿ = 1/aⁿ kuralı da “a sıfırdan farklı” koşuluyla yazılır. Koşulu unutmak sınavda en sık kaybedilen puandır.
a ve b sıfırdan farklı olmak üzere (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ’dir: negatif üs kesri ters çevirir. Örnek: (1/2)⁻³ = 2³ = 8 ve (2/5)⁻³ = (5/2)³ = 125/8. Bu, 4. tanımın kesirlere uygulanmış hâlidir, ayrı bir kural değildir.
| Üslü gösterim | Yapılan işlem | Sonuç |
|---|---|---|
| (−2)⁵ | (−2)·(−2)·(−2)·(−2)·(−2) | −32 |
| (−1)⁶ | altı tane (−1) çarpımı | 1 |
| −3⁴ | −(3·3·3·3) — eksi üssün dışındadır | −81 |
| 8⁰ | taban sıfırdan farklı | 1 |
| (−6)⁰ | taban sıfırdan farklı | 1 |
| 0⁵ | 0·0·0·0·0 | 0 |
| 4⁻¹ | 1/4 | 0,25 |
| 3⁻² | 1/3² | 1/9 |
| (−5)⁻³ | 1/(−5)³ = 1/(−125) | −1/125 |
| (−3)⁻⁴ | 1/(−3)⁴ = 1/81 | 1/81 |
| (1/2)⁻³ | (2/1)³ | 8 |
(−3)⁴ = 81 ama −3⁴ = −81. Birincisinde taban −3’tür, dört tane −3
çarpılır ve çift sayıda eksi çarpıldığı için sonuç pozitif olur. İkincisinde taban 3’tür; önce 3⁴ = 81
hesaplanır, eksi işareti en sona uygulanır.
Kısa kural: taban negatifse ve üs çift ise sonuç pozitif, üs tek ise sonuç
negatiftir. Eksi parantez içinde değilse zaten tabana dâhil değildir.
Tabanları ve üsleri aynı olan üslü gösterimler toplanabilir ve çıkarılabilir. Toplama veya çıkarma işlemi yapılırken üslü gösterim ortak çarpan olduğundan ifadeler ortak çarpan parantezine alınır, sonra katsayılarla işlem yapılır. Bu durum önerme biçiminde şöyle yazılır: n tam sayı; a, b, c gerçek sayı ve x sıfırdan farklı olmak üzere a · xⁿ + b · xⁿ − c · xⁿ = (a + b − c) · xⁿ.
| İşlem | Ortak çarpan parantezindeki hâli | Sonuç |
|---|---|---|
| 3 · 2¹⁰ + 2¹⁰ | (3 + 1) · 2¹⁰ | 4 · 2¹⁰ |
| 5 · 3¹² − 2 · 3¹² | (5 − 2) · 3¹² | 3 · 3¹² = 3¹³ |
| −7 · 11⁵ + 4 · 11⁵ | (−7 + 4) · 11⁵ | −3 · 11⁵ |
| 0,4 · 5⁷ + 2,1 · 5⁷ | (0,4 + 2,1) · 5⁷ | 2,5 · 5⁷ |
| 3 · 10⁵ − 10⁵ + 2,5 · 10⁵ | (3 − 1 + 2,5) · 10⁵ | 4,5 · 10⁵ |
| a · 5⁴ + b · 5⁴ | (a + b) · 5⁴ | (a + b) · 5⁴ |
İkinci satıra dikkat: katsayı tabanın kendisiyse üsse eklenebilir. 3 · 3¹² ifadesinde 3 = 3¹ olduğu için 3¹ · 3¹² = 3¹³ olur.
Aynı doğrultuda bulunduklarında Merkür ve Jüpiter’in merkezlerinin Güneş’e yaklaşık uzaklıkları
sırasıyla 5,8 · 10⁷ km ve 7,5 · 10⁸ km’dir.
Merkür, Güneş ile Jüpiter arasında olduğuna göre aradaki uzaklık:
7,5 · 10⁸ − 5,8 · 10⁷ = 75 · 10⁷ − 5,8 · 10⁷ = (75 − 5,8) · 10⁷
= 69,2 · 10⁷ = 6,92 · 10⁸ km.
Çıkarma yapabilmek için önce üsler eşitlendi: 7,5 · 10⁸ = 75 · 10⁷.
Bir laboratuvarda incelenen kanın 1 litresinde 5 · 10⁹ alyuvar,
6 · 10⁶ akyuvar ve 1,002 · 10⁹ trombosit hücresi bulunduğu tespit edilmiştir.
Alyuvar ile trombosit toplamı: (5 + 1,002) · 10⁹ = 6,002 · 10⁹.
Alyuvarın trombositten fazlası: (5 − 1,002) · 10⁹ = 3,998 · 10⁹.
Akyuvar sayısı bu işlemlere doğrudan katılamaz, çünkü üssü farklıdır (10⁶); önce 6 · 10⁶ = 0,006 · 10⁹
biçimine getirilmesi gerekir.
2³ + 2⁵ ifadesi 2⁸ değildir. Üsler yalnız çarpmada toplanır.
Burada tabanlar aynı ama üsler farklı olduğu için doğrudan toplanamaz; ortak çarpan
küçük üslü olandır:
2³ + 2⁵ = 2³ · (1 + 2²) = 2³ · 5 = 40.
(Kontrol: 8 + 32 = 40.) Oysa 2³ · 2⁵ = 2⁸ = 256’dır.
x sıfırdan farklı bir gerçek sayı, a ve b birer tam sayı olmak üzere xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ ve xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ’dir. Kuralın nedeni açık hâli yazınca görünür: xᵃ ifadesinde a tane x, xᵇ ifadesinde b tane x vardır; yan yana yazılınca toplam a + b tane x olur. Bölmede ise paydadaki her x, paydaki bir x’i sadeleştirir; geriye a − b tane x kalır.
| İşlem | Açık hâli | Üslü sonuç |
|---|---|---|
| 2³ · 2⁴ | (2·2·2) · (2·2·2·2) | 2⁷ |
| (−6)² · (−6)³ · (−6) | iki + üç + bir tane (−6) | (−6)⁶ |
| (1/5)² · (1/5)⁵ | iki + beş tane 1/5 | (1/5)⁷ |
| 3⁶ · 3⁻⁴ | 3⁶ / 3⁴, dört tane 3 sadeleşir | 3² = 9 |
| 5⁻⁴ · 5⁷ | 5⁷ / 5⁴ | 5³ = 125 |
| 2⁵ / 2² | (2·2·2·2·2) / (2·2) | 2³ = 8 |
| (−6)² / (−6)³ | payda paydan bir fazla | (−6)⁻¹ = −1/6 |
Yeryüzündeki kumsallarda yaklaşık 4 · 10²¹ kum tanesi olduğu
düşünülmektedir. Arşimet’in hesabına göre bütün evreni doldurmak için gereken kum tanesi sayısı,
bu sayının 2 · 10⁴² katıdır.
4 · 10²¹ · 2 · 10⁴² = (4 · 2) · 10²¹⁺⁴² = 8 · 10⁶³ tane.
Katsayılar kendi aralarında çarpılır, 10’un üsleri ise toplanır.
Ankara’da barajlardaki su miktarı 2001 Ocak’ta yaklaşık 4 · 10⁶
metreküp, 2024 Ocak’ta yaklaşık 1,016 · 10⁸ metreküptür.
1 metreküp = 1000 litredir.
2001’deki su litre cinsinden: 4 · 10⁶ · 10³ = 4 · 10⁹ litre.
2024’ün 2001’e oranı: (1,016 · 10⁸) / (4 · 10⁶) = 0,254 · 10² =
25,4 kat.
2³ · 3⁴ ifadesi 6⁷ değildir. Üsleri toplama kuralı yalnız
tabanlar aynıyken çalışır. Burada tabanlar farklı, üsler de farklı olduğu için ifade sadeleşmez;
değeri 8 · 81 = 648’dir. (6⁷ ise 279 936’dır.)
Tabanlar farklı ama üsler aynı olsaydı bu sefer başka bir kural
devreye girerdi — sıradaki bölüm tam olarak onu anlatıyor.
a tam sayı; x, y birer gerçek sayı ve y sıfırdan farklı olmak üzere xᵃ · yᵃ = (x · y)ᵃ ve xᵃ / yᵃ = (x / y)ᵃ’dir. Ayrıca x gerçek sayı, a ve b tam sayı olmak üzere (xᵃ)ᵇ = xᵃ·ᵇ’dir. Bu son kuralın gerekçesi de açık hâlde saklı: (xᵃ)ᵇ ifadesi, b tane xᵃ’nın çarpımıdır; her birinde a tane x bulunduğu için toplam a · b tane x olur.
| İşlem | Hangi kural | Sonuç |
|---|---|---|
| 2³ · 5³ | üsler aynı → tabanlar çarpılır | 10³ = 1000 |
| 3⁴ · 4⁴ | üsler aynı | 12⁴ |
| (−2)⁵ · (−7)⁵ | üsler aynı | 14⁵ |
| 6⁴ / 5⁴ | üsler aynı → tabanlar bölünür | (6/5)⁴ |
| (3²)³ | üssün üssü → 2 · 3 | 3⁶ |
| (5⁴)⁶ | üssün üssü → 4 · 6 | 5²⁴ |
| ((2/3)⁵)³ | üssün üssü → 5 · 3 | (2/3)¹⁵ |
Veri depolama birimleri arasında 1 GB = 2¹⁰ MB = (2¹⁰)³ B ilişkisi vardır. Üssün üssü kuralıyla (2¹⁰)³ = 2¹⁰·³ = 2³⁰ bayt bulunur. Yani 1 GB, 1 073 741 824 bayttır.
A = 3 · 2¹¹ ve B = 7 · 5¹¹ veriliyor.
A · B = 3 · 7 · 2¹¹ · 5¹¹ = 21 · (2 · 5)¹¹ = 21 · 10¹¹.
21’in sağında 11 tane sıfır vardır; 21 iki basamaklı olduğuna göre sayı
11 + 2 = 13 basamaklıdır.
Sayıyı hiç hesaplamadan basamak sayısını bulduk.
a pozitif tam sayı olsun. Bir kenarı 3ᵃ birim olan karenin alanı
x = (3ᵃ)² = 3²ᵃ birimkaredir. Bir kenarı 27ᵃ birim olan kareden,
bir kenarı 3 birim olan kare çıkarılırsa kalan alan:
(27ᵃ)² − 3² = ((3³)ᵃ)² − 9 = 3⁶ᵃ − 9 = (3²ᵃ)³ − 9 = x³ − 9.
| Durum | Tabanlar | Üsler | Kural | Örnek |
|---|---|---|---|---|
| Toplama / çıkarma | aynı | aynı | katsayılar toplanır, üslü kısım aynı kalır | 3·2¹⁰ + 2¹⁰ = 4·2¹⁰ |
| Çarpma | aynı | farklı olabilir | üsler toplanır | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| Bölme | aynı | farklı olabilir | üsler çıkarılır | 2⁵ / 2² = 2³ |
| Çarpma | farklı | aynı | tabanlar çarpılır | 2³ · 5³ = 10³ |
| Bölme | farklı | aynı | tabanlar bölünür | 6⁴ / 5⁴ = (6/5)⁴ |
| Üssün üssü | tek taban | iki üs | üsler çarpılır | (3²)³ = 3⁶ |
| Tabanlar da üsler de farklı | farklı | farklı | kural yok, ifade sadeleşmez | 2³ · 3⁴ = 648 |
(2³)² = 2⁶ = 64’tür, çünkü parantez içteki üssü kapatır ve üsler çarpılır.
Ama üsse yine bir üs binen 2^(3²) ifadesi 2⁹ = 512 demektir: parantez
yokken üs kulesi yukarıdan aşağıya hesaplanır, yani önce 3² = 9 bulunur.
Sınavda bu iki yazılış yan yana verilir; ayırt eden tek şey parantezdir. Kural şu: parantez
varsa üsler çarpılır, yoksa en üstteki üsten başlanır.
Üslü gösterimler doğrudan karşılaştırılamaz; önce ortak bir zemine getirilir. İki yol vardır: ya üsleri eşitleyip katsayıları karşılaştırırsın, ya da tabanları eşitleyip üsleri karşılaştırırsın. Aşağıdaki tezgâhta iki yolu da görebilirsin.
Adana, Kahramanmaraş ve Tokat il merkezlerinin Çanakkale il merkezine karayolu uzaklıkları metre
cinsinden ve yaklaşık olarak şöyledir:
A = 10,9 · 10⁵ m (Adana) ·
B = 123 · 10⁴ m (Kahramanmaraş) ·
C = 10,54 · 10⁵ m (Tokat)
Üsler eşitlenir: B = 123 · 10⁴ = 12,3 · 10⁵. Artık üçünün de üssü 10⁵ olduğuna göre sıralamayı
katsayılar belirler: 10,54 < 10,9 < 12,3, yani
C < A < B. En yakın şehir Tokat, en uzağı Kahramanmaraş’tır.
2¹⁰, 4⁵ ve 8⁴ sayılarını sıralayalım. Hepsini 2 tabanına çeviririz:
4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ · 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹²
Tabanlar eşitlendiğine ve taban 1’den büyük olduğuna göre büyük üslü olan büyüktür:
2¹⁰ = 4⁵ < 8⁴. İlk iki sayı birbirine eşit çıktı;
farklı görünen iki üslü gösterim aynı sayı olabilir.
A = 2¹⁸ · 5¹⁴ · 3 sayısının kaç basamaklı olduğunu bulalım.
Yöntem, sayıyı 10’un kuvveti cinsinden yazmaktır; çünkü
2 · 5 = 10’dur.
A = 2⁴ · 2¹⁴ · 5¹⁴ · 3 = 2⁴ · 3 · (2 · 5)¹⁴ = 16 · 3 · 10¹⁴ =
48 · 10¹⁴.
48’in sağında 14 tane sıfır vardır ve 48 iki basamaklıdır. Buradan A sayısının
14 + 2 = 16 basamaklı olduğu bulunur.
İnsan vücudundaki atom sayısı, kişinin kütlesi (kg) ile 10²⁶ çarpılarak yaklaşık hesaplanabilir.
1 mol ise 6,02 · 10²³ tanedir.
66,22 kg olan bir kişide 66,22 · 10²⁶ = 6,622 · 10²⁷ atom bulunur.
(6,622 · 10²⁷) / (6,02 · 10²³) = (6,622 / 6,02) · 10²⁷⁻²³ = 1,1 · 10⁴ →
yaklaşık 11 000 mol.
Yukarıdaki iki örnekte sonuçlar 6,622 · 10²⁷ ve 1,1 · 10⁴ biçiminde yazıldı. Bunun bir adı var: n tam sayı, a sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere a · 10ⁿ ifadesine bilimsel gösterim denir. Çok büyük ve çok küçük sayıların yazımını kolaylaştırmak için kullanılır. Bilimsel gösterimin kuralları ve dönüşümleri bir sonraki ünitenin konusudur; burada yalnız işlem sonuçlarını düzgün yazabilmek için tanıtıldı.
Üslü ifadelerde asıl hata, kuralı bilmemekten değil yanlış kuralı seçmekten çıkar. Aşağıdaki her soruda önce “tabanlar mı aynı, üsler mi aynı?” diye sor, sonra şıkka bak.
Üslü ifade “her adımda aynı sayıyla çarpma” demektir. Bir şey her seferinde ikiye katlanıyorsa orada 2’nin kuvvetleri, her seferinde ona katlanıyorsa 10’un kuvvetleri vardır. Günlük hayatta ikisi de sandığından çok karşına çıkıyor.
128 GB’lık telefonun hafızası aslında 2⁷ · 2³⁰ = 2³⁷ bayttır. Depolama birimlerinin 100, 128, 256, 512 gibi tuhaf sayılarla gelmesinin sebebi bu: hepsi 2’nin kuvvetidir (128 = 2⁷, 256 = 2⁸, 512 = 2⁹).
4 haneli sayısal şifrede her hane için 10 seçenek vardır: toplam 10⁴ = 10 000 ihtimal. 6 haneye çıkınca 10⁶ = 1 000 000 olur. İki hane eklemek ihtimali iki katına değil, 100 katına çıkarır.
Okuldaki eleme usulü turnuvada her turda takımların yarısı elenir. 5 tur oynanacaksa başlangıçta 2⁵ = 32 takım olmalıdır. Fikstürlerin hep 8, 16, 32, 64 takımla kurulmasının sebebi budur: sayı 2’nin kuvveti değilse bazı takımlar bay geçer.
Bir kâğıdı her katladığında kalınlık ikiye katlanır: n katlamadan sonra 2ⁿ kat kalınlaşır. 10 katlama 2¹⁰ = 1024 kat eder — 0,1 mm’lik kâğıt 10 cm’yi geçer. Sınıfta denemesi kolay, sonucuna inanması zor bir üslü ifadedir.
Bir mesajı 2 kişiye iletsen, onlar da 2 kişiye iletse, 10. adımda mesajı alan kişi sayısı 2¹⁰ = 1024 olur; 20. adımda 2²⁰ ≈ 1 milyon. Bir içeriğin “bir günde patlaması” matematiksel olarak bu tablodur.
“1,2 milyar dinlenme” ifadesini bilimsel gösterimle 1,2 · 10⁹ diye yazarsın. 4,5 milyon dinlenen başka bir şarkı ise 4,5 · 10⁶’dır. Hangisinin kaç kat fazla olduğunu bulmak için sayıları saymana gerek yok: (1,2 · 10⁹) / (4,5 · 10⁶) ≈ 0,27 · 10³ ≈ 267 kat.
Deprem büyüklüğü ölçeği 10 tabanlıdır: büyüklük 1 birim arttığında kaydedilen yer hareketinin genliği 10 kat artar. 4,0 ile 7,0 arasındaki fark 3 birim olduğuna göre genlik farkı 10³ = 1000 kattır. Haberdeki “sadece 3 birim” ifadesinin neden bu kadar önemli olduğunu üslü gösterim açıklar.
Bölünen bir hücre her bölünmede ikiye ayrılır; n bölünme sonunda 2ⁿ hücre olur. 20 bölünme 2²⁰ ≈ 10⁶, yani bir milyondan fazla hücre demektir. Biyoloji dersindeki mitoz tablosuyla matematikteki 2’nin kuvvetleri aynı tablodur.
Ünlü hikâyede satranç tahtasının birinci karesine 1, ikincisine 2, üçüncüsüne 4 buğday konur; 64. kareye 2⁶³ tane gelir. Toplam 2⁶⁴ − 1 tanedir ve dünyanın yıllık buğday üretiminden kat kat fazladır. Üslü büyümenin sezgiyi neden yanılttığının klasik örneğidir.
46 soruluk test · üslü gösterimin tanımı, negatif ve sıfır üs, işaret kuralı, ortak çarpan parantezi, tabanları ve üsleri aynı olanlarda çarpma-bölme, üssün üssü, sıralama ve basamak sayısı
aⁿ = a · a · … · a (n tane, n pozitif tam sayı).
a taban, n üstür.
a¹ = a · b ≠ 0 için b⁰ = 1
a ≠ 0 için a⁻¹ = 1/a ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ
n pozitif tam sayı için 0ⁿ = 0; 0⁰ ve 0⁻ⁿ tanımsızdır.
Taban negatifse üssün tekliği çiftliği belirler:
(−a)^çift > 0, (−a)^tek < 0.
(−3)⁴ = 81 iken −3⁴ = −81’dir. Eksi parantez içinde değilse
tabana dâhil değildir.
Negatif üs sonucu negatif yapmaz: 2⁻³ = 1/8 > 0.
Tabanları ve üsleri aynı olanlar toplanıp çıkarılabilir.
n tam sayı; a, b, c gerçek sayı ve x ≠ 0 olmak üzere
a · xⁿ + b · xⁿ − c · xⁿ = (a + b − c) · xⁿ.
Üsler farklıysa önce ortak çarpan parantezine alınır: 2³ + 2⁵ = 2³ · 5 = 40.
x ≠ 0, a ve b tam sayı olmak üzere
xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ — çarparken üsler toplanır
xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ — bölerken üsler çıkarılır
2³ · 2⁴ = 2⁷ · 3⁶ · 3⁻⁴ = 3² · (−6)² / (−6)³ = (−6)⁻¹.
a tam sayı; x, y gerçek sayı ve y ≠ 0 olmak üzere
xᵃ · yᵃ = (x · y)ᵃ · xᵃ / yᵃ = (x / y)ᵃ
(xᵃ)ᵇ = xᵃ·ᵇ — üssün üssünde üsler çarpılır
2³ · 5³ = 10³ · 6⁴ / 5⁴ = (6/5)⁴ · (3²)³ = 3⁶ · (2¹⁰)³ = 2³⁰.
Üsleri eşitle, katsayıları karşılaştır:
123 · 10⁴ = 12,3 · 10⁵ olduğu için 10,54 · 10⁵ < 10,9 · 10⁵ < 12,3 · 10⁵.
Ya da tabanları eşitle, üsleri karşılaştır:
4⁵ = 2¹⁰ ve 8⁴ = 2¹².
Basamak sayısı için sayıyı k · 10ⁿ hâline getir:
2¹⁸ · 5¹⁴ · 3 = 48 · 10¹⁴ → 16 basamak.
1. 2³ + 2⁵ ≠ 2⁸. Üsler yalnız çarpmada toplanır.
2. 2³ · 3⁴ ≠ 6⁷. Tabanlar farklıysa üs toplanmaz.
3. (2³)² = 2⁶ = 64 ama 2^(3²) = 2⁹ = 512. Farkı yaratan parantezdir.
n tam sayı, a sıfırdan farklı gerçek sayı ve 1 ≤ |a| < 10 olmak üzere a · 10ⁿ ifadesine bilimsel gösterim denir. Çok büyük ve çok küçük sayıların yazımını kolaylaştırır: 8,6 · 10¹⁰ nöron, 1,675 · 10⁻²⁴ g nötron kütlesi. Ayrıntısı bir sonraki ünitededir.