15,75² − 14,25²
işlemini
30 saniyede.
Kâğıt kalemle iki kareyi tek tek almak dakikalar sürer. Ama a² − b² = (a − b)(a + b) özdeşliğini bilirsen işlem 1,5 · 30 = 45’e iner. Bu ünite, sayılarla işlem yaparken hangi kısayolların her zaman geçerli olduğunu, hangilerinin hiçbir zaman geçerli olmadığını anlatıyor.
İki özellik şu: değişme özelliği — ∀a, b ∈ ℝ için a + b = b + a ve a · b = b · a; birleşme özelliği — ∀a, b, c ∈ ℝ için (a + b) + c = a + (b + c) ve (a · b) · c = a · (b · c). Birincisi sırayı, ikincisi gruplamayı değiştirmenin sonucu bozmadığını söyler. İkisi de yalnız toplama ve çarpmada geçerlidir.
∀a, b ∈ ℝ için a + b = b + a ve a · b = b · a
3 + (−5) = −2 ve (−5) + 3 = −2 · 3 · (−5) = −15 ve (−5) · 3 = −15
½ + (−3) = −2,5 ve (−3) + ½ = −2,5
Dikdörtgen örneğinde bu özellik şu işe yarar: çevre uzunluğunu
2a + 2b diye de 2b + 2a
diye de yazabilirsin, iki cebirsel temsil de aynı sayıyı verir.
∀a, b, c ∈ ℝ için (a + b) + c = a + (b + c) ve
(a · b) · c = a · (b · c)
(3 + 5) + 2 = 10 ve 3 + (5 + 2) = 10 · (3 · 5) · 2 = 30 ve 3 · (5 · 2) = 30
Bu özellik işlem kolaylaştırmak için kullanılır:
25 · 17 · 4 işleminde önce 25 · 4 = 100 alınırsa
geriye 100 · 17 = 1700 kalır. Sırayla gitseydin 25 · 17 = 425 gibi zor bir adım çıkardı.
Açık hüküm: gerçek sayılarda çıkarma ve bölme
işlemlerinin değişme özelliği, birleşme özelliği, birim elemanı ve ters elemanı yoktur.
Tek bir karşı örnek göstermek yeter: 7 − 3 = 4 iken
3 − 7 = −4’tür; 8 ÷ 2 = 4
iken 2 ÷ 8 = 0,25’tir. Birleşmede de aynı:
(10 − 4) − 3 = 3 ama 10 − (4 − 3) = 9.
Bu yüzden çıkarma ve bölme yazarken parantezler zorunludur;
toplama ve çarpmada isteğe bağlıdır.
Üç özel sayı var ve üçünün de tek bir işi var. Birim (etkisiz) eleman sayıyı olduğu gibi bırakır, ters eleman sayıyı birim elemana götürür, yutan eleman ise ne gelirse gelsin sonucu kendisi yapar. Cebirsel hâliyle:
| Eleman | Toplamada | Çarpmada | Ne yapar |
|---|---|---|---|
| Birim (etkisiz) | 0 · a + 0 = 0 + a = a | 1 · a · 1 = 1 · a = a | Sayıyı değiştirmez |
| Ters | −a · a + (−a) = (−a) + a = 0 | a⁻¹ = 1/a · a · (1/a) = 1 | Sayıyı birim elemana götürür |
| Yutan | yoktur | 0 · a · 0 = 0 · a = 0 | Sonucu kendisi yapar |
İki uyarı: gerçek sayılarda toplama, çıkarma ve bölme işlemlerinin yutan elemanı yoktur ve çarpma işleminin ters elemanı yalnız a ≠ 0 için tanımlıdır — 0’ın çarpma işlemine göre tersi yoktur, çünkü 1/0 tanımsızdır.
Toplamanın birim elemanı 0, çarpmanın birim elemanı 1’dir.
Bir sayıya 0 eklemek onu değiştirmez; 1 ile çarpmak da değiştirmez.
Bu yüzden bir kesri genişletirken aslında 1 ile çarparız:
3/4 = 3/4 · 5/5 = 15/20. Değer değişmez, gösterim değişir.
a’nın toplama işlemine göre tersi −a, çarpma işlemine göre
tersi 1/a’dır (a ≠ 0).
45’in toplama tersi −45; 12/5’in çarpma tersi 5/12’dir.
Kesirde bölme neden ters çevirip çarpmadır? Çünkü
bölmek, çarpma tersiyle çarpmak demektir: a ÷ b = a · (1/b).
Çarpma işleminin yutan elemanı 0’dır: ∀a ∈ ℝ,
a · 0 = 0 · a = 0.
Sınavda en çok işe yarayan hâli budur: uzun bir çarpımın
tek bir çarpanı sıfırsa ötekilere hiç bakmadan sonucun
0 olduğunu söyleyebilirsin. Otuz çarpanlı bir işlem, tek bir sıfır yüzünden bir satırda biter.
Yutan elemanın tersten okunuşu, denklem çözmenin temel aracıdır:
çarpımın sonucu sıfırsa çarpılan ifadelerden en az biri sıfıra
eşittir.
23. örnekte bu adım şöyle kullanılıyor: x² − 4√2·x + 8 = 0 denkleminin sol tarafı
(x − 2√2)² olarak yazılır, yani (x − 2√2) · (x − 2√2) = 0.
Çarpım sıfır olduğuna göre x − 2√2 = 0 ve buradan
x = 2√2 cm bulunur.
Sembolik hâli: ∀a, b ∈ ℝ, a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.
Ünite 7’deki “ancak ve ancak” bağlacı tam olarak buradaki gibi kullanılır.
Kural şu: çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği — ∀a, b, c ∈ ℝ için a · (b + c) = a · b + a · c ve (b + c) · a = b · a + c · a; çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği — a · (b − c) = a · b − a · c ve (b − c) · a = b · a − c · a. Bu, bütün cebirin temel hareketi: parantez açmak da çarpan parantezine almak da aynı özelliğin iki yönüdür.
7 · 98 = ? Zor görünüyor. 98 = 100 − 2 yazıp dağıtırsan:
7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.
25 · 41 = 25 · (40 + 1) = 1000 + 25 = 1025.
Dağılma özelliğinin gündelik adı budur: zor bir çarpanı,
kolay iki parçaya bölmek.
Aynı özellik sağdan sola okunursa ortak çarpan parantezine
alma olur:
3a + 3b = 3(a + b)
x² + x = x(x + 1)
6a − 6 = 6(a − 1)
Bir çarpımın sıfır olduğunu göstermek için çoğu zaman önce
bu yönde çalışılır: toplamı çarpıma çevirmeden
“çarpanlardan biri sıfırdır” diyemezsin.
22. Uygulama işlem özelliklerini tam sayılarda, rasyonel sayılarda ve gerçek sayılarda ayrı ayrı inceletiyor. Bunun arkasındaki soru şu: bir kümenin iki elemanıyla işlem yapıldığında sonuç yine o kümede kalıyor mu? Kalıyorsa o küme, o işleme göre kapalıdır. Aşağıdaki ızgarada satırlar sayı kümeleri, sütunlar dört işlem; düğmelerle gez.
| Özellik | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|
| Değişme | var | yok | var | yok |
| Birleşme | var | yok | var | yok |
| Birim (etkisiz) eleman | 0 | yok | 1 | yok |
| Ters eleman | −a | yok | 1/a (a ≠ 0) | yok |
| Yutan eleman | yok | yok | 0 | yok |
| Çarpmanın üzerine dağılması | var | var | — | — |
Tablonun okunuşu tek cümleyle: bütün güzel özellikler toplama ile çarpmada toplanmış, çıkarma ile bölmede hiçbiri yok. Sebebi de var: çıkarma aslında “ters elemanla toplama”, bölme de “çarpma tersiyle çarpma”dır. Kendi başlarına birer işlem gibi görünseler de, asıl işlem toplama ve çarpmadır.
İki irrasyonel sayının toplamı, farkı, çarpımı ya da bölümü
rasyonel çıkabilir:
√2 + (−√2) = 0 · √2 · √2 = 2 ·
√2 ÷ √2 = 1 · √8 ÷ √2 = 2
Bu yüzden “irrasyonel + irrasyonel = irrasyoneldir” diye bir kural
yoktur. Buna karşılık
rasyonel + irrasyonel her zaman irrasyoneldir
(3 + √2 gibi) — bu doğrudur, çünkü sonuç rasyonel olsaydı, ondan rasyonel olanı çıkarıp
irrasyonelin rasyonel olduğu sonucuna varırdık ki bu çelişkidir.
Tanım: cebirsel ifadelerdeki değişkenlerin alacağı tüm gerçek sayı değerleri için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir. Denklemden farkı burada: denklem yalnız bazı x değerleri için sağlanır (x + 3 = 7 yalnız x = 4 için), özdeşlik her değer için sağlanır. Üç özdeşlik de dağılma özelliğinden çıkar ve üçünün de bir alan modeli vardır.
| Adı | Özdeşlik | Geometrik temsili |
|---|---|---|
| İki terimin toplamının karesi | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Kenarı (a + b) olan kare; a², ab, ab, b² olmak üzere dört bölge |
| İki terimin farkının karesi | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Kenarı a olan kareden iki dikdörtgen çıkarılır, b² bir kez fazla çıkarıldığı için geri eklenir |
| İki terimin karelerinin farkı | a² − b² = (a − b)(a + b) | Kenarı a olan kareden b² kesilir, kalan L parçası (a − b) × (a + b) dikdörtgenine dönüşür |
17. Sıra Sizde bölümünde ayrıca (a + b)² − (a − b)² = 4ab özdeşliği veriliyor; kenarı (a + b) olan karenin 4 eş dikdörtgen ve 1 kareye ayrılmasıyla geometrik olarak gösteriliyor. İkisini yan yana yazınca fark bir çırpıda çıkar: (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = 4ab.
26. Uygulama. Bir kenarı 15,75 m olan kare bahçenin
bir bölümü seramik, kalanı çim kaplanacak.
1. teklif: seramik karesinin kenarı 14,25 m.
Çim alanı = 15,75² − 14,25² = (15,75 − 14,25)(15,75 + 14,25) = 1,5 · 30 =
45 m²
1 m² ücreti = 8100 ÷ 45 = 180 TL
2. teklif: seramik karesinin kenarı 11,25 m.
Çim alanı = 15,75² − 11,25² = 4,5 · 27 = 121,5 m²
1 m² ücreti = 19 440 ÷ 121,5 = 160 TL
1 m² ücreti daha düşük olduğundan 2. teklif seçilir.
Özdeşlik olmasaydı dört ondalıklı kare almak gerekirdi.
24. Örnek. Kare tuvalin bir kenarı
√(4/9 + 10/9 + 25/36) dm.
Kökün içine bakılır: 4/9 = (2/3)²,
25/36 = (5/6)² ve
10/9 = 2 · (2/3) · (5/6).
Demek ki kökün içi (2/3 + 5/6)² özdeşliğidir:
√((2/3 + 5/6)²) = 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 =
3/2 dm.
Çerçevenin bir kenarı en az 3/2 dm olmalıdır.
Buradaki asıl beceri, ortadaki terimi görüp “bu bir tam
karedir” diyebilmek.
(a + b)² = a² + 2ab + b²’dir; ortadaki
2ab terimi unutulamaz. Sayı koyarak bak:
a = 3, b = 4 için (3 + 4)² = 49 iken 3² + 4² = 25’tir. Aradaki
24 = 2 · 3 · 4, alan modelinde iki dikdörtgene karşılık gelir.
Aynı hata karekökte de yapılır: √(a² + b²) ≠ a + b.
√(9 + 16) = √25 = 5’tir, 3 + 4 = 7 değil. Kare almak ve kök almak
toplama üzerine dağılmaz; yalnız çarpma dağılır.
Her satırda bir eşitlik var. Sorulan şey sonucu bulmak değil: o eşitliği ayakta tutan özelliğin adı ne?
İşlem özellikleri sınavda “şu özelliğin adı nedir” diye sorulur, ama gerçek işi hesabı kolaylaştırmaktır. Aşağıdaki dokuz sahnede elinde hesap makinesi olmadan işi bitiren hep aynı altı özellik.
4 arkadaş, her biri 1 tost (35 TL) ve 1 ayran (15 TL) alıyor. Toplam kaç?
4 · (35 + 15) = 4 · 50 = 200 TL.
Tek tek toplasaydın 4 · 35 + 4 · 15 = 140 + 60 = 200 çıkardı — aynı sonuç.
İkisinin eşit olması dağılma özelliğidir ve
hangi yolun kolay olduğunu sen seçersin.
Sepette 47 + 88 + 53 TL’lik üç ürün var. Sırayla toplamak yerine
(47 + 53) + 88 = 100 + 88 = 188 yapılır.
Burada iki özellik birden çalışıyor: önce değişme
(88 ile 53’ün yeri değişti), sonra birleşme
(parantez yeri değişti). Kasiyerin hızlı toplaması bu iki özellik sayesindedir.
320 TL’lik ayakkabıda %25 indirim var. İki yol da doğru:
320 − 320 · 0,25 = 320 − 80 = 240
320 · (1 − 0,25) = 320 · 0,75 = 240
İkisinin aynı çıkması çarpmanın çıkarma üzerine
dağılmasıdır. İkinci yol tek çarpma olduğu için zihinden daha kolaydır.
Aylık 25 · 4 · 12 TL hesabı yapıyorsun. Sırayla gitmek yerine
(25 · 4) · 12 = 100 · 12 = 1200 yaparsın.
Çarpmanın birleşme özelliği tam olarak buna izin verir.
Yuvarlak sayı üretecek çarpanları önce eşleştirmek, zihinden hesabın
bir numaralı kuralıdır.
Basketbolda takım 63² − 57² gibi bir hesap çıkmaz ama sınavda çıkar. Özdeşlikle:
(63 − 57)(63 + 57) = 6 · 120 = 720.
İki kareyi tek tek almak 3969 − 3249 demekti; özdeşlikle
iki basit çarpma kaldı. Aradaki farkı gördüğün an,
özdeşliği ezberlemenin sebebini de görürsün.
Örnekteki gibi kare bahçenin ortasına kare bir teras yapılıyor.
Çim kalan alan büyük kare − küçük kare’dir ve
bu doğrudan a² − b²’dir.
Ölçüler 15,75 ve 14,25 gibi ondalıklı olduğunda kareleri almak zaman kaybıdır;
(a − b)(a + b) = 1,5 · 30 = 45 m² tek satırda biter.
Bir oyunda silahın hasarı 3 kat, zırh delme 0 kat ise toplam çarpan
3 · 0 · 5 = 0’dır.
Öteki bütün çarpanlar ne olursa olsun sonuç sıfırdır —
0 çarpmanın yutan elemanıdır. Oyunlarda “bir özellik
%0 olursa bütün zincir çöker” denmesinin sebebi budur.
4 kişilik keke 2 su bardağı un, 1 su bardağı şeker giriyor. 6 kişilik yapacaksın:
hepsini 1,5 ile çarpman gerekiyor.
1,5 · (2 + 1) = 1,5 · 2 + 1,5 · 1 = 3 + 1,5
Malzemeleri tek tek çarpmakla toplamı çarpmak aynı sonucu verir.
Ölçek büyütmenin arkasında yine dağılma özelliği vardır.
Arkadaşına 45 TL borcun var, aynı gün 45 TL harçlık aldın. Net durumun
45 + (−45) = 0.
Borç, bir sayının toplama işlemine göre tersidir
ve ikisi buluşunca birim elemana (0’a) dönerler.
Banka ekstresindeki “bakiye 0” satırı tam olarak bu özelliğin sonucudur.
47 soruluk test · değişme ve birleşme özellikleri, birim-ters-yutan eleman, çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılması, çıkarma ve bölmede geçerli olmayanlar, sayı kümelerinde kapalılık, üç özdeşlik ve geometrik temsilleri
a + b = b + a · a · b = b · a
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Yalnız toplama ve çarpmada geçerli.
Birim: toplamada 0, çarpmada 1
Ters: −a ve 1/a (a ≠ 0)
Yutan: yalnız çarpmada 0
Toplama, çıkarma ve bölmenin yutan elemanı yoktur.
a · (b + c) = a · b + a · c
a · (b − c) = a · b − a · c
Sağdan sola okunuşu: ortak çarpan parantezine alma.
Değişme, birleşme, birim eleman ve ters eleman
yoktur.
7 − 3 ≠ 3 − 7 · 8 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 8
Bu yüzden parantez zorunludur.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)
Her gerçek sayı değeri için sağlanır.
a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Denklem çözmenin temel adımı: önce çarpanlara ayır, sonra her çarpanı sıfıra eşitle.