Cümle mi,
yoksa
hüküm mü?
“Bu soru zor.” cümlesi doğru mu yanlış mı? Karar veremezsin — kime göre zor? Ama “Her tek doğal sayının karesi tektir.” cümlesi için tek bir cevap vardır. Matematik yalnız ikinci türle çalışır ve onlara önerme der. Bu ünite, önermeleri kısaltmanın ve birbirine bağlamanın alfabesidir.
Tanım şu: kesin doğru ya da kesin yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler sözel olarak da sembollerle de ifade edilebilir. Dikkat edilecek nokta “doğru olması” değil, doğru ya da yanlış olduğuna karar verilebilmesidir. “2 + 2 = 5” bir önermedir — yanlış bir önerme. Ama “Yarın hava güzel olacak.” önerme değildir, çünkü şu anda kesin bir hükmü yoktur.
“Tabanları eşit olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban aynen
yazılır, üsler toplanır.” — ders kitabının örneği. Doğru bir hüküm bildirir, dolayısıyla önermedir
ve doğruluk değeri D’dir.
“−1 sayısının 12. kuvveti kendisine eşittir.” — bu da önermedir.
(−1)¹² = 1 ≠ −1 olduğundan doğruluk değeri Y’dir.
“Doğal sayılar kümesi, gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir.”
Bu da bir önermedir, hükmü doğrudur: ℕ ⊆ ℝ.
“3 · x = 5 olduğuna göre x kaçtır?” — ders kitabının örneği.
Bu bir soru cümlesidir, hüküm bildirmez; doğru ya da yanlış
denemez, dolayısıyla önerme değildir.
Önerme olmayan öteki türler: emir cümlesi (“Tabloyu doldurunuz.”),
ünlem (“Ne güzel bir çözüm!”), dilek
(“Keşke sınav kolay olsa.”) ve kişiye göre değişen görüş
(“Matematik en eğlenceli derstir.”).
“x + 3 = 7’dir.” tek başına önerme değildir: x’in ne olduğu
söylenmediği sürece doğru mu yanlış mı olduğuna karar verilemez. x = 4 ise doğru, x = 5 ise yanlıştır.
Böyle ifadelere açık önerme denir.
Ama başına bir niceleyici konursa önerme olur:
“∃x ∈ ℝ, x + 3 = 7’dir.” (doğru — x = 4 vardır) ya da
“∀x ∈ ℝ, x + 3 = 7’dir.” (yanlış — her x için sağlanmaz).
Niceleyicinin işi tam olarak budur: açık önermeyi kapatıp doğruluk değeri kazandırmak.
Tanım: bir önermenin hükmü değiştirilerek elde edilen önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir. Kural tek cümlelik: bir önerme doğru hüküm bildiriyorsa değili yanlış, yanlış hüküm bildiriyorsa değili doğru hüküm bildirir. Bir önermenin değilini yazarken o önermede kullanılan sembollerin değilleri kullanılır.
| Sembol | = | ≠ | ∈ | ∉ | < | > | ≤ | ≥ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sembolün değili | ≠ | = | ∉ | ∈ | ≥ | ≤ | > | < |
Tablodaki en sık yapılan hata “< sembolünün değili > sanmaktır.” Değil almak “tam tersi” değil, “bu durumun dışında kalan her şey” demektir. x < 3 değilse x, 3’ten büyük ya da 3’e eşit olabilir; yani x ≥ 3’tür. Eşitlik hâli unutulursa bir değer kaybolur.
p: 5 + 4 ∈ ℤ⁺ önermesi doğrudur (5 + 4 = 9 ve 9 pozitif tam sayıdır).
Değilinde ∈ sembolinin yerine ∉ yazılır:
p′: 5 + 4 ∉ ℤ⁺.
p doğru hüküm bildirdiğinden p′ yanlış hüküm bildirir.
Doğruluk değerleri her zaman birbirinin tersidir.
q: 4 − 7 ∈ ℕ önermesi yanlıştır (4 − 7 = −3 doğal sayı değildir).
Değili: q′: 4 − 7 ∉ ℕ ve bu önerme doğrudur.
Bir önermenin değilinin değili yine kendisidir: (q′)′ = q.
İki kez ters çevirmek başladığın yere döndürür.
İki niceleyici var: ∃ “bazı” (en az bir) ve ∀ “her”. İkisi arasındaki fark, bir iddiayı çürütmek için ne gerektiğini değiştirir: “Her …” iddiasını tek bir karşı örnek yıkar, ama “Bazı …” iddiasını yıkmak için hepsini elemek gerekir. Bu yüzden sınavda “her” ile başlayan bir seçenek gördüğünde ilk işin aklına bir karşı örnek gelip gelmediğine bakmaktır.
| Sembol | ∀ | ∃ | ∧ | ∨ |
|---|---|---|---|---|
| Sembolün değili | ∃ | ∀ | ∨ | ∧ |
Tablo 1.3 budur. Sözle söylersek: “Her x için …” önermesinin
değili “Öyle bir x vardır ki … değildir.” ve “Bazı x için …”
önermesinin değili “Her x için … değildir.”
Değil alırken iki şey birden değişir: hem niceleyici yer değiştirir,
hem içindeki ifadenin kendisi olumsuzlanır. Yalnız birini değiştirmek en sık yapılan hatadır.
| Önerme | Değili | Hangi kural |
|---|---|---|
| ∀x ∈ ℝ, x² > 0 | ∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0 | ∀ → ∃ ve > → ≤ |
| ∃x ∈ ℤ, x < −5 | ∀x ∈ ℤ, x ≥ −5 | ∃ → ∀ ve < → ≥ |
| ∃x ∈ ℕ, 2x − 3 = 0 | ∀x ∈ ℕ, 2x − 3 ≠ 0 | ∃ → ∀ ve = → ≠ |
| ∀x ∈ ℕ, x ∈ ℤ | ∃x ∈ ℕ, x ∉ ℤ | ∀ → ∃ ve ∈ → ∉ |
| ∀a ∈ ℝ, a ≥ 0 ∧ a ≤ 0 | ∃a ∈ ℝ, a < 0 ∨ a > 0 | ∀ → ∃, ∧ → ∨, ≥ → <, ≤ → > |
Son satır iki kuralın birlikte çalıştığı yer: hem niceleyici, hem bağlaç, hem de iki eşitsizlik sembolü aynı anda değişiyor. Sırayla git: önce niceleyiciyi çevir, sonra bağlacı, en son da sembolleri.
∃ sembolünün anlamı “bazı (en az bir)”dır.
Günlük dilde “bazı öğrenciler geldi” demek “hepsi gelmedi” anlamını da taşır; matematikte
taşımaz.
“∃x ∈ ℕ, x çifttir.” önermesi doğrudur; hepsi çift olsaydı yine
doğru olurdu. Yani ∀ doğruysa (küme boş değilken) ∃ de doğrudur,
ama tersi geçerli değildir.
Amaç şu: iki veya daha fazla önermeyi birlikte ifade edebilmek için mantık bağlaçlarından faydalanılır. Beş bağlaç var ve her birinin tek bir kuralı vardır: p ile q’nun doğruluk değerleri verildiğinde bileşik önermenin doğruluk değeri kesin olarak belirlenir. Aşağıdaki çizelgede düğmeye bas, dört satırın nasıl değiştiğine bak.
| Niceleyiciler | Mantık bağlaçları | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| ∃ | ∀ | ∧ | ∨ | ∨ | ⇒ | ⇔ |
| bazı (en az bir) | her | ve | veya | ya da | ise | ancak ve ancak |
Tablo 1.2 budur. Dikkat: “veya” ile “ya da” ayrı iki bağlaçtır. “Veya” ikisi birden de olabilir demektir; “ya da” tam olarak biri demektir. Kantinde “çay veya kahve alabilirsin” dendiğinde ikisini birden alma ihtimali vardır; “ya çay ya kahve” dendiğinde yoktur.
p ⇒ q yalnız bir durumda yanlıştır: p doğru, q yanlış olduğunda.
Öteki üç satırda doğrudur.
Günlük dille anlamak zor gelir, ama sözü tutmakla düşün:
“Sınavdan 90 alırsan bilet alacağım.” Bu söz ancak
90 aldığın hâlde bilet alınmazsa tutulmamış olur.
90 almadıysan, bilet alınsa da alınmasa da söz bozulmuş sayılmaz.
p ⇔ q, ikisinin doğruluk değeri aynı olduğunda doğrudur.
Yani hem p ⇒ q hem q ⇒ p geçerlidir; oku iki yöne de çevirebilirsin.
Örnek: ∀a, b ∈ ℝ, a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.
Çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır; çarpanlardan biri sıfırsa da çarpım sıfırdır.
İki yön de doğru olduğu için ⇒ değil ⇔ yazılır.
Kümelerde “A ve B’nin elemanları” dediğinde
kesişimi kastedersin; ama “1. ve
2. üniteden sorumlusunuz” dediğinde birleşimi kastedersin.
Bu ikisi çelişmez, çünkü ilkinde “ve” bir elemanın taşıması gereken
iki şartı bağlar (∧ → ∩), ikincisinde ise iki listeyi
bağlar (∪). Sembolik dilin var oluş sebebi tam olarak bu karışıklıktır:
A ∩ B yazdığında hiçbir yorum payı kalmaz.
Soru şu: matematikte sembolik dilin kullanılmasının nedeni ne olabilir? Cevap aşağıdaki tabloda görünüyor — solda üç satırlık Türkçe cümle, sağda bir satırlık sembolik karşılığı. Sembolik dil kısaltmakla kalmaz, yoruma yer bırakmaz.
“Her çift tam sayının karesi çift tam sayıdır.”
Sembolik: ∀x ∈ ℤ, x çift ⇒ x² çifttir.
İspat: x çift tam sayıysa ∃a ∈ ℤ, x = 2a’dır.
Karesi alınırsa x² = (2a)² = 4a² = 2 · (2a²) olur. 2a² bir tam sayı olduğundan
x², 2’nin katıdır; yani çift sayıdır.
İspat iki parçaya ayrılır: hipotez (verilen, doğru
kabul edilen) ve hüküm (gösterilmesi istenen).
p ⇒ q önermesinde p hipotez, q hükümdür.
İspat yaparken hipotezden başlanır, işlem özellikleri kullanılarak hükme varılır.
Hükümden başlayıp hipoteze varmak ispat değildir — çünkü
o zaman doğru olduğunu göstermek istediğin şeyi baştan doğru kabul etmiş olursun.
Her soruda önce şunu sor: niceleyici hangisi? “Her” ise tek bir karşı örnek arayacaksın, “bazı” ise tek bir örnek yetecek.
Mantık bağlaçları en çok kural metinlerinde karşına çıkar: yarışma şartnamesi, oyun kuralı, kulüp yönergesi. Bir kuralı yanlış anlamanın nedeni neredeyse her zaman “ve” ile “veya”yı, ya da “ise” ile “ancak ve ancak”ı karıştırmaktır.
Münazara kulübü ilanında “9 veya 10. sınıf öğrencisi olmak”
yazıyor. Bu bir ∨ (veya) şartıdır: iki koşuldan
en az biri sağlanmalı.
Şart “9 ve 10. sınıfta olmak” yazsaydı hiç kimse
başvuramazdı — aynı anda iki sınıfta olunmaz. ∧ ile ∨ arasındaki fark burada
liste dolu ile liste boş arasındaki farktır.
“Ödevini bitirirsen telefonu alabilirsin.” Bu bir
p ⇒ q önermesidir.
Ödevini bitirmediğin hâlde telefonu alırsan söz bozulmuş olmaz —
çünkü kural yalnız “bitirirsen” durumunu bağlar. Söz ancak
bitirdiğin hâlde telefonun verilmemesiyle bozulur.
İtiraz ederken kullanacağın cümle tam olarak budur.
Okul kantininde menü “tost + ayran ya da su” diyorsa
tam olarak birini alırsın; ikisini birden istersen ek ücret
çıkar.
Aynı cümle “ayran veya su” yazsaydı ikisini birden almak
kuralı çiğnemezdi. Bu yüzden şartname yazanlar “ve/veya”
gibi tuhaf ifadeler kullanır: belirsizliği kapatmaya çalışırlar.
Bir arkadaşın “Sınıfımızdaki herkes matematikten 70 üstü aldı.”
dedi. Bu bir ∀ önermesidir.
Çürütmek için 30 kişinin notunu tek tek toplamana gerek yok:
65 alan tek bir kişiyi göstermen yeter. Buna
karşı örnek denir ve matematikte bir iddiayı yıkmanın
en ucuz yoludur.
Bir oyunda başarım şartı “hiç hasar almadan ve 3 dakikanın altında
bitir” ise iki şart ∧ ile bağlıdır; birini kaçırınca
başarım gelmez.
Bu şartın değili “hasar aldın ∨ süreyi aştın” olur —
∧’in değili ∨’dur. Yani başarımı kaçırdıysan en az biri
olmuştur, ille de ikisi birden değil.
Sinema indirimi “ancak ve ancak öğrenci kartını gösterirsen”
uygulanıyorsa bu bir ⇔ şartıdır: kart varsa indirim
kesinlikle vardır, kart yoksa kesinlikle yoktur.
“Öğrenci kartı gösterirsen indirim var.” deseydi (⇒),
kart göstermeyen birine de başka bir sebeple indirim yapılabilirdi. “Ancak ve ancak”
öteki bütün yolları kapatır.
Bir alışveriş uygulamasında iki filtreyi birlikte işaretlemek
∧, filtre çubuğundan iki markayı birden seçmek
∨ demektir.
Hiç sonuç çıkmadığında yapılacak ilk şey bir ∧ şartını
kaldırmaktır: “ve” ile eklenen her yeni şart sonucu daraltır,
“veya” ile eklenen her şart genişletir.
Spiker “Bu takım kesinlikle şampiyon olur.” dediğinde
bu bir önerme değildir — geleceğe dair bir tahmindir, şu an doğruluk değeri yoktur.
Ama “Bu takım son 5 maçın 4’ünü kazandı.” bir önermedir:
fikstüre bakılıp doğru ya da yanlış olduğuna karar
verilebilir. Yorum ile bilgi arasındaki sınır tam burada.
Arkadaşın “Saat 5’ten önce gelemem.” yazdı. Bunun anlamı
“tam 5’te gelirim” değil, “geliş saatim ≥ 5”’tir.
“Saat < 5 değildir” cümlesinin karşılığı saat ≥ 5’tir;
eşitlik hâli dâhildir. Tam da tablodaki < → ≥ kuralı,
ve gündelik hayatta yanlış anlaşılmaların yarısı bu unutulan eşitlikten çıkar.
47 soruluk test · önerme ve doğruluk değeri, bir önermenin değili ve sembol tablosu, niceleyiciler ve değilleri, beş mantık bağlacı ve doğruluk çizelgeleri, sözel ifadeyi sembolik dile çevirme, cebirsel ispat
Kesin doğru ya da kesin yanlış hüküm bildiren ifade.
Doğruluk değeri D ya da Y’dir; üçüncü bir seçenek yoktur.
Soru, emir, ünlem, dilek ve kişisel görüş cümleleri önerme değildir.
Hükmü değiştirilerek elde edilen önerme.
= ↔ ≠ · ∈ ↔ ∉ · < ↔ ≥ · > ↔ ≤
Doğruluk değeri hep tersi olur; değilin değili kendisidir.
∀ her · ∃ bazı (en az bir)
Değilleri birbiridir: ∀ ↔ ∃.
“Her” iddiası tek karşı örnekle yıkılır.
∧ ve · ∨ veya · ∨ ya da · ⇒ ise · ⇔ ancak ve ancak
∧ ile ∨ birbirinin değilidir.
“Veya” ikisi birden olmasına izin verir; “ya da” vermez.
p ∧ q: yalnız DD satırında D
p ∨ q: yalnız YY satırında Y
p ⇒ q: yalnız DY satırında Y
p ⇔ q: değerler aynıysa D
Uzun cümleyi kısaltır ve yoruma yer bırakmaz.
∀a, b ∈ ℝ, a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
İspatta p hipotez, q hükümdür; hipotezden hükme gidilir.