Sabit hızla
yükselen
bir çizgi.
Ünitenin açılış örneği: deniz seviyesinden bırakılan bir dilek feneri saniyede 10 cm yükseliyor. Zamana bağlı yüksekliği veren ilişki f(x) = 10x’tir ve grafiği bir doğrudur. Bu ünite, o doğrunun nitel özelliklerini — nerede sıfır olduğunu, hangi aralıkta pozitif olduğunu, artıp artmadığını — okumayı öğretiyor.
Dilek feneri örneğinde zaman bağımsız değişken, yükseklik bağımlı değişkendir. Ayrımın kuralı basit: sen hangisini seçiyorsan o bağımsızdır, öteki ona göre belirlenir. Zamanı sen seçemezsin ama “3. saniyede” diye soru sorabilirsin; yüksekliği ise soramazsın, o hesaplanır. Bağımsız değişken geleneksel olarak x, bağımlı değişken y ya da f(x) ile gösterilir ve grafikte x apsisler, y ordinatlar eksenidir.
Tanım: bir fonksiyonda bağımsız değişkenin alabileceği
tüm değerler, fonksiyonun tanım kümesi olarak adlandırılır.
f(x) = x fonksiyonunda x bütün gerçek sayı değerlerini alabildiğinden
en geniş tanım kümesi ℝ’dir.
Ama gerçek bir bağlamda tanım kümesi daralır: dilek feneri 12 saniye uçtuysa
tanım kümesi [0, 12]’dir. Negatif zaman anlamsızdır.
Tanım: bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerlere
karşılık bağımlı değişkenin alabileceği tüm değerlerin oluşturduğu küme, görüntü kümesi
olarak adlandırılır.
f fonksiyonu her gerçek sayıyı kendisiyle eşlediğinden
görüntü kümesi de ℝ’dir ve buradan
f: ℝ → ℝ yazılır.
Fenerde tanım kümesi [0, 12] iken görüntü kümesi
[0, 120] olur — yükseklik 0’dan 120 cm’ye çıkar.
Grafiği okurken sık yapılan hata, eksenlerin neyi taşıdığına bakmadan yorum yapmaktır.
Grafik 1’de yatay eksen zaman (dk.), dikey eksen
mesafe (km)’dir. Aynı doğru, eksen adları değişince bambaşka bir şey anlatır.
Bu yüzden bir doğrusal fonksiyon sorusunda ilk iş
“x ne, y ne?” diye sormaktır. Eğimin
birimi bile buradan çıkar: km/dk. ise hız, TL/km ise
kilometre başına ücret demektir.
Tanım: gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı f fonksiyonu doğrusal referans fonksiyondur. Adı “referans” olmasının sebebi şu: doğrusal fonksiyonların grafikleri oluşturulurken ve nitel özellikleri belirlenirken f doğrusal referans fonksiyonundan yararlanılabilir. Yani her doğru, bu doğruya uygulanan bir dönüşümle elde edilir. Aşağıdaki panoda yedi nitel özelliği tek tek düğmeye basarak gez.
| x | −3 | −2 | −1/2 | 0 | 1 | 2 | √3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | −3 | −2 | −1/2 | 0 | 1 | 2 | √3 |
Tablonun iki satırı birebir aynı. f fonksiyonu, x’in aldığı tüm gerçek sayı değerlerini kendisi ile eşleştirir. Bu yüzden grafiği, orijinden geçen ve x ekseniyle 45°’lik açı yapan doğrudur: her noktanın apsisi ile ordinatı eşittir.
Tanım: a, r, k ∈ ℝ olmak üzere f(x) = x doğrusal referans
fonksiyonundan türetilen veya g(x) = a · f(x ± r) ± k şeklinde ifade edilen fonksiyonlara
doğrusal fonksiyon denir.
Bu ifade düzenlenerek her zaman g(x) = mx + n biçiminde
yazılabilir; grafiği bir doğru belirtir.
Bir sonraki ünite (10. ünite) tam olarak bu m ve n sayılarının doğruyu nasıl
değiştirdiğini inceliyor.
Tanım: f fonksiyonunda f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerine f fonksiyonunun sıfırı denir. f(x) = x için f(0) = 0 olduğundan x = 0 fonksiyonun sıfırıdır ve grafiğin x eksenini kestiği noktadır. Sıfır, işaret incelemesinin de dönüm noktasıdır: doğru x eksenini yalnız orada keser, dolayısıyla işaret yalnız orada değişir.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | − | 0 | + |
Kontrol Noktası’nda yazdığı hâliyle: f fonksiyonunun işareti x ∈ (−∞, 0) için negatif, x ∈ (0, ∞) için pozitiftir. Tabloda sıfırın altına “0” yazılır — orada fonksiyon ne pozitiftir ne negatif.
Bir bağlamda fonksiyonun sıfırı çoğu zaman “ne zaman biter”
sorusunun cevabıdır.
Deposunda benzin kalan bir araçta, kalan benzini veren fonksiyonun sıfırı
benzinin bittiği andır. Zamana bağlı yüksekliği veren
fonksiyonun sıfırı yere değdiği andır.
Bu yüzden problem çözerken “kaçıncı dakikada …” diye başlayan sorunun ilk adımı
f(x) = 0 yazmaktır.
İşaret incelemesi “hangi aralıkta hangi durum geçerli”
sorusunu tek satırda cevaplar.
Bir bakiye fonksiyonunda pozitif bölge paran var,
negatif bölge borçlusun demektir; sıfır ise
tam dengede olduğun andır.
Doğrusal fonksiyonlarda işaret tablosu her zaman iki bölgeden oluşur, çünkü bir doğru
x eksenini en fazla bir noktada keser.
Cebirsel tanım: ∀a, b ∈ ℝ için a < b iken f(a) < f(b) oluyorsa f gerçek sayılarda artan; a < b iken f(a) > f(b) oluyorsa f gerçek sayılarda azalan fonksiyondur. f(x) = x için a < b iken f(a) = a < b = f(b) olduğundan f gerçek sayılarda artandır. Bire birlik tanımı da hemen yanındadır: tanım kümesinde farklı x değerlerine karşılık gelen f(x) değerleri birbirinden farklıysa f bire birdir.
Bire birlik iki yönden birden tanımlanıyor ve ikisi aynı şeyi söyler:
1) ∀a, b ∈ ℝ için a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) — farklı girdiler
farklı çıktılar verir.
2) ∀a, b ∈ ℝ için f(a) = f(b) ⇒ a = b — aynı çıktıyı veren
iki girdi aslında aynı girdidir.
Sözel hâli: görüntü kümesindeki bir f(x) değerine tanım
kümesinde sadece bir x değeri karşılık geliyorsa f bire bir fonksiyondur.
Grafikten anlamanın yolu: yatay bir doğru çiz. Grafiği
birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon bire bir değildir. f(x) = x’te her yatay doğru
grafiği tam bir noktada keser.
f(x) = x fonksiyonu bütün ℝ’de artandır, ama
x < 0 için değerleri negatiftir. İkisi bambaşka sorulara
cevap verir:
Artanlık: x büyürken f(x) de büyüyor mu? (yön sorusu)
İşaret: f(x) sıfırın üstünde mi altında mı? (konum sorusu)
Bir fonksiyon artan olduğu hâlde negatif olabilir
(x = −5 civarı), azalan olduğu hâlde pozitif olabilir.
Sınavda “artan mıdır” ile “pozitif midir” soruları yan yana çıkar ve karıştırılır.
Tanım: a, b ∈ ℝ ve f fonksiyonu [a, b] aralığında tanımlı olsun. ∀x ∈ [a, b] için f(x) ≤ f(m) şartını sağlayan f(m) değerine f fonksiyonunun maksimum değeri, bu değeri aldığı x = m noktasına maksimum noktası denir. Minimum tanımı da simetriktir: ∀x ∈ [a, b] için f(x) ≥ f(n) sağlanıyorsa f(n) minimum değerdir. İşin püf noktası tanım kümesinin ucunun dâhil olup olmadığıdır.
1. Uygulama: dakikada 1 km yol alan bir araç 120 dakika hareket ediyor.
Zamana bağlı mesafeyi veren fonksiyon g(x) = x’tir.
Tanım kümesi: [0, 120] (dakika)
Görüntü kümesi: [0, 120] (km)
Minimum değer: 0, x = 0’da
Maksimum değer: 120, x = 120’de
Sıfırı: x = 0 (yola çıkış anı)
İşareti: x > 0 için pozitif
Uçlar dâhil olduğu için maksimum ve minimum vardır.
Aynı fonksiyon iki farklı aralıkta tanımlanıyor:
h: [1, 5] → ℝ, h(x) = x için minimum değer 1 (x = 1’de),
maksimum değer 5 (x = 5’te). İkisi de vardır.
m: (1, 5) → ℝ, m(x) = x için ise
ne maksimum ne minimum vardır. Sebep: 1’e ne kadar
yaklaşırsan yaklaş, daha küçük bir değer hep bulunur (1,0001 varsa 1,00001 de vardır).
En küçük değer diye bir eleman yoktur.
Bu yüzden grafikte açık uçlar içi boş halka, kapalı uçlar
dolu nokta ile gösterilir; aradaki fark sınav sorusunun
kendisidir.
Her soruda bir bağlam cümlesi var. Sorulan şey hesap değil: bu cümle fonksiyonun hangi nitel özelliğiyle ilgili?
Doğrusal fonksiyon, eşit zaman aralıklarında eşit miktarda değişen her durumun modelidir. Karşılaştığın yerler sandığından çok.
Telefonun sabit hızla şarj oluyorsa yüzdeyi zamana bağlayan ilişki doğrusaldır.
Bağımsız değişken zaman, bağımlı değişken şarj yüzdesi.
Fonksiyon artan olduğu için “bekledikçe artar” dersin; görüntü kümesi
[0, 100] olduğu için de bir üst sınır vardır —
matematiksel olarak maksimum değeri 100’dür.
Bandı sabit 8 km/sa.’e ayarladın. Zamana bağlı aldığın mesafe
doğrusal bir fonksiyondur.
Sıfırı x = 0’dır: henüz koşmaya başlamadığın an.
Aynı fonksiyonun bire bir olması şu anlama gelir:
iki farklı süre için aldığın mesafe hiçbir zaman aynı olmaz.
Musluk dakikada 2 litre akıtıyorsa kovadaki su miktarı zamana göre artan bir
doğrusal fonksiyondur.
Tanım kümesi kova dolana kadar geçen süredir;
maksimum değer kovanın hacmidir ve o değere
tam olarak kova dolduğu anda ulaşılır.
Dolduktan sonra fonksiyon artık doğrusal değildir — taşma başlar.
Sınavda kalan süreyi veren fonksiyon azalandır:
zaman geçtikçe kalan süre azalır.
Sıfırı, sınavın bittiği andır. Bu tek cümle, sınavın
neden f(x) = 0 denklemi gibi düşünülebileceğini anlatır. Görüntü kümesi
[0, 90] gibi bir aralıktır; negatif süre yoktur.
Her hafta 100 TL biriktiriyorsan toplam birikimin haftaya göre artan doğrusal
bir fonksiyondur.
Bir hedefe (örneğin 1200 TL) ne zaman ulaşacağını bulmak
f(x) = 1200 denklemini çözmektir. Fonksiyon
bire bir olduğu için bu denklemin
tam bir çözümü vardır — iki farklı haftada aynı
birikime ulaşman imkânsızdır.
Bir bölüm 45 dakikaysa, 12 bölümlük sezonu bitirmek için gereken süre
bölüm sayısına göre doğrusaldır.
Burada tanım kümesi doğal sayılardır (yarım bölüm
diye bir şey yok) ve grafik kesikli noktalardan oluşur.
Doğrusal ilişki, tanım kümesi ayrık olsa bile geçerlidir; yalnız çizimi
düz bir çizgi değil, hizalı noktalar olur.
20 cm’lik bir mum 8 saatte tamamen eriyorsa boyu zamana göre azalan bir doğrusal
fonksiyondur.
Maksimum değeri 20 cm (x = 0’da),
minimum değeri 0 cm (x = 8’de).
Sıfırı x = 8’dir ve “mum ne zaman biter?”
sorusunun cevabıdır.
Sabit hızla çıkan asansörde yerden yükseklik zamana göre artan doğrusal
bir fonksiyondur.
Kat sayısı sınırlı olduğu için tanım kümesi kapalı bir
aralıktır ve maksimum değere en üst kata varıldığında
ulaşılır. Asansör durup beklemeye başladığında fonksiyon
sabit hâle gelir — o da bir doğrusal fonksiyondur,
ama artan değildir.
Fotoğraf kulübü kişi başı 50 TL aidat topluyor. Toplanan para, üye sayısına göre
artan bir doğrusal fonksiyondur.
Bağımsız değişken üye sayısı, bağımlı değişken toplanan
paradır. Fonksiyonun sıfırı x = 0’dır: hiç üye yoksa
hiç para yoktur. Aidatın kendisi eğimdir —
bir sonraki ünitenin ana konusu.
47 soruluk test · bağımlı-bağımsız değişken, tanım ve görüntü kümesi, doğrusal referans fonksiyon, fonksiyonun sıfırı ve işaret tablosu, artanlık-azalanlık ve bire birlik, kapalı ve açık aralıkta maksimum-minimum
Bağımsız değişken x — sen seçersin, apsisler ekseni.
Bağımlı değişken f(x) — x’e göre belirlenir, ordinatlar ekseni.
Tanım kümesi: bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerler.
Görüntü kümesi: bağımlı değişkenin alabileceği tüm değerler.
f(x) = x için ikisi de ℝ; f: ℝ → ℝ.
Sıfırı x = 0 (f(0) = 0).
(−∞, 0) → negatif
(0, ∞) → pozitif
a < b iken f(a) < f(b) ise artan,
f(a) > f(b) ise azalandır.
f(x) = x gerçek sayılarda artandır.
a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b) ve
f(a) = f(b) ⇒ a = b
f(x) = x bire birdir.
Yatay doğru grafiği tam bir noktada keser.
ℝ’de tanımlıyken yoktur.
[1, 5]’te min 1, maks 5.
(1, 5)’te ikisi de yoktur —
uçlar tanım kümesine dâhil değildir.