“25-35 yaş
arası”
ne demek?
Bir iş ilanında “25-35 yaş arası”, bir oyuncakta “en az 90 cm boy”, bir kanunda “saatte 50 km’yi aşamaz” yazar. Üçü de bir gerçek sayı aralığı tarif eder ve üçünde de tek bir soru vardır: uçlar dâhil mi, değil mi? Bu ünitede aynı aralığı dört ayrı dille yazmayı ve aralıklarla kesişim, birleşim, fark işlemleri yapmayı öğreneceksin.
Sayı doğrusu üzerinde iki farklı nokta arasında yer alan gerçek sayılar bir aralık belirtir. a, b ∈ ℝ ve a < b olmak üzere aynı aralık dört ayrı biçimde yazılır: sözel ifade, cebirsel temsil (a < x < b), sayı doğrusu gösterimi ve aralık ya da küme gösterimi. Aralarındaki tek fark yazım dilidir; anlattıkları küme aynıdır. Ayırt edilmesi gereken şey uçların dâhil olup olmadığıdır: dâhil olan uç köşeli parantezle ve içi dolu nokta ile, dâhil olmayan uç normal parantezle ve içi boş halka ile gösterilir.
| Sözel ifade | Cebirsel temsil | Aralık gösterimi ve adı | Küme gösterimi |
|---|---|---|---|
| Leyla’dan uzun, Ersin’den kısa | 165 < x < 178 | (165, 178) açık aralık | {x | 165 < x < 178, x ∈ ℝ} |
| Leyla’ya eşit ya da uzun, Ersin’den kısa | 165 ≤ x < 178 | [165, 178) yarı açık aralık | {x | 165 ≤ x < 178, x ∈ ℝ} |
| Leyla’dan uzun, Ersin’e eşit ya da kısa | 165 < x ≤ 178 | (165, 178] yarı açık aralık | {x | 165 < x ≤ 178, x ∈ ℝ} |
| Leyla’ya eşit ya da uzun, Ersin’e eşit ya da kısa | 165 ≤ x ≤ 178 | [165, 178] kapalı aralık | {x | 165 ≤ x ≤ 178, x ∈ ℝ} |
Dört satırın sözel ifadeleri arasındaki tek fark “eşit veya” ifadesinin nerede geçtiğidir. Cebirsel temsilde bu, < işaretinin ≤ olmasına karşılık gelir; aralık gösteriminde parantezin köşeli olmasına, sayı doğrusunda ise noktanın içinin dolmasına.
Su 0 °C’ta donup 100 °C’ta buharlaştığına göre sıvı hâlde
olduğu sıcaklıklar:
cebirsel 0 < x < 100, aralık
(0, 100), küme {x | 0 < x < 100, x ∈ ℝ}.
0 ve 100 aralığa dâhil olmadığı için sayı doğrusunda
işaretlenmez.
Katı hâlde olduğu sıcaklıklar: x ≤ 0, yani
(−∞, 0]. Burada 0 dâhildir ve sayı doğrusunda işaretlenir.
Çarpışan arabalara binmek için boyun en az 90 cm, en fazla
130 cm olması gerekiyor.
“En az” ve “en fazla” ifadeleri uçların dâhil olduğunu söyler:
cebirsel 90 ≤ x ≤ 130, aralık
[90, 130], küme {x | 90 ≤ x ≤ 130, x ∈ ℝ}.
Tam 90 cm boyundaki biri binebilir; tam 130 cm boyundaki de binebilir.
Günlük dilde “25-35 yaş arası” denince çoğu zaman 25 ve 35 dâhil
kastedilir, yani [25, 35]. Ama matematikte “a ile b arasındaki sayılar” ifadesi
uçları dâhil etmez: (a, b).
Bu yüzden bir problemi çözmeden önce metindeki kelimeye bakılır:
“en az”, “en çok”, “ve üstü”, “dâhil” → kapalı uç;
“büyük”, “küçük”, “aşamaz” → dikkat gerektirir. “50 km’yi aşamaz” ifadesi
x ≤ 50’dir (50 dâhil), “50 km’den hızlı gidemez” de aynı şeydir.
Bir aralığın yalnız bir tarafı sınırlıysa öteki uca −∞ ya da ∞ yazılır. Kontrol Noktası tablosundaki dört gösterim şunlardır: (−∞, a) ↔ x < a, (−∞, a] ↔ x ≤ a, (b, ∞) ↔ x > b, [b, ∞) ↔ x ≥ b. Buradaki kural şaşmaz: sonsuz bir sayı değildir, ulaşılabilecek bir uç noktası yoktur; bu yüzden sonsuz tarafındaki parantez her zaman açıktır. [3, ∞] diye bir gösterim yoktur.
| Aralık | Adı | Cebirsel temsil (x ∈ ℝ) | Küme gösterimi |
|---|---|---|---|
| (a, b) | açık aralık | a < x < b | {x | a < x < b, x ∈ ℝ} |
| [a, b) | yarı açık aralık | a ≤ x < b | {x | a ≤ x < b, x ∈ ℝ} |
| (a, b] | yarı açık aralık | a < x ≤ b | {x | a < x ≤ b, x ∈ ℝ} |
| [a, b] | kapalı aralık | a ≤ x ≤ b | {x | a ≤ x ≤ b, x ∈ ℝ} |
| (−∞, a) | sonsuz uçlu | x < a | {x | x < a, x ∈ ℝ} |
| (−∞, a] | sonsuz uçlu | x ≤ a | {x | x ≤ a, x ∈ ℝ} |
| (b, ∞) | sonsuz uçlu | x > b | {x | x > b, x ∈ ℝ} |
| [b, ∞) | sonsuz uçlu | x ≥ b | {x | x ≥ b, x ∈ ℝ} |
| (−∞, ∞) | gerçek sayılar | her x | ℝ |
Bir mağaza, fiyatı 1500 TL’den fazla olan kablosuz kulaklıklara
indirim uyguluyor; mağazadaki en pahalı kulaklık 8200 TL.
“Fazla” denildiği için 1500 dâhil değildir; en pahalı ürün
ise mağazada bulunduğu için dâhildir:
cebirsel 1500 < x ≤ 8200,
aralık (1500, 8200],
küme {x | 1500 < x ≤ 8200, x ∈ ℝ}.
Trafik Kanunu’na göre bir otomobilin hızı yerleşim yeri içinde saatte
50 km’yi, yerleşim yeri dışında çift yönlü yollarda
90 km’yi aşamaz.
Yerleşim içi: 0 ≤ x ≤ 50, yani [0, 50].
Yerleşim dışı: 0 ≤ x ≤ 90, yani [0, 90].
Sürücü hızı sabit tutup iki yolda da kurala uyuyorsa
hız iki aralığın kesişimindedir:
[0, 50] ∩ [0, 90] = [0, 50].
[3, ∞] yazımı yanlıştır; doğrusu [3, ∞)’dur. Köşeli parantez
“bu sayı dâhildir” demektir, oysa ∞ bir sayı değildir — dâhil edilebilecek bir nokta yoktur.
Aynı sebeple (−∞, 5] yazılır ama [−∞, 5]
yazılmaz. Sol uçtaki parantez her zaman açıktır.
Aralıklar birer kümedir; dolayısıyla önceki ünitedeki dört işlem burada da geçerlidir. Gerçek sayı aralıkları ve bu aralıklarla yapılacak işlemler için evrensel küme, gerçek sayılar kümesidir. Kesişim “iki şeridin üst üste bindiği yer”, birleşim “ikisinden herhangi biri”, fark “birincide var ikincide yok”, tümleyen ise “şeridin dışında kalan her yer” demektir. İşlemi yapmanın en güvenli yolu iki aralığı aynı sayı doğrusuna alt alta çizmektir.
Çamaşır makinesi fiyatları A = [7300, 53 000],
buzdolabı fiyatları B = [7500, 110 000] aralığında.
A ∩ B: 7500 ≤ x ≤ 53 000
A ∪ B: 7300 ≤ x ≤ 110 000
B ∖ A: 53 000 < x ≤ 110 000
A′: x < 7300 veya x > 53 000
Kesişimin sol ucu iki sol uçtan büyüğü, sağ ucu
iki sağ uçtan küçüğü olur. Birleşimde tam tersi.
En ucuz çamaşır makinesi 7300 TL; 200 TL’lik banknotlarla ödemek için
7400 TL verilir (100 TL para üstü alınır):
7400 / 200 = 37 banknot.
En pahalısı 53 000 TL: 53 000 / 200 = 265 banknot.
Yani banknot sayısı 37 ile 265 arasında bir tam sayıdır.
Fiyat aralığı gerçek sayılardan oluşuyordu ama banknot sayısı
tam sayı olmak zorunda: soruda hangi kümede çalıştığına dikkat et.
| Soru | İşlem | Aralık gösterimi | Cebirsel temsil |
|---|---|---|---|
| Kursların devam ettiği zaman | A ∪ B | [10, 14] | 10 ≤ x ≤ 14 |
| İki kursun aynı anda olduğu zaman | A ∩ B | [11, 13] | 11 ≤ x ≤ 13 |
| Yalnız resim kursunun sürdüğü zaman | A ∖ B | [10, 11) ∪ (13, 14] | 10 ≤ x < 11 veya 13 < x ≤ 14 |
| Resim kursunun olmadığı zaman (gün içinde) | A′ | [0, 10) ∪ (14, 24] | 0 ≤ x < 10 veya 14 < x ≤ 24 |
Üçüncü satıra dikkat: bir aralıktan bir aralık çıkarılınca sonuç iki parçaya bölünebilir. Çıkarılan aralık ortada kaldığı için sağdan ve soldan birer parça kalır ve sonuç bir birleşim olarak yazılır. Ayrıca çıkarılan uçların açık hâle geldiğine dikkat: 11 ve 13, B’ye ait olduğu için A ∖ B’de yer almaz.
(1, 3) ∩ (3, 6) = ∅’dir. İki aralık 3 noktasında birbirine
değiyor gibi görünse de 3 sayısı ikisine de dâhil değildir;
ortak eleman yoktur.
Buna karşılık (1, 3] ∩ [3, 6) = {3}’tür: tek elemanlı bir küme.
Bir uç noktasının dâhil olup olmaması sonucu boş kümeden tek elemanlı kümeye
çevirebilir.
|x − c| ifadesi, x sayısının c sayısına olan uzaklığıdır. Bu yüzden bir aralık, “merkezi c olan ve yarıçapı d olan bölge” diye de yazılabilir. Kontrol Noktası’ndaki bağıntılar şunlardır: (a, b) aralığının mutlak değerli gösterimi, c = (a + b)/2 ve d = (b − a)/2 olmak üzere |x − c| < d; [a, b] aralığınınki ise |x − c| ≤ d biçimindedir. Ters yönde de aynı tablo verilir: |x − a| < b → (a − b, a + b), |x − a| ≤ b → [a − b, a + b], |x − a| > b → (−∞, a − b) ∪ (a + b, ∞), |x − a| ≥ b → (−∞, a − b] ∪ [a + b, ∞).
A bitkisi [−11, 41], B bitkisi
[−20, 10] aralığındaki ortalama sıcaklıklara dayanıyor.
A için merkez (−11 + 41)/2 = 15, uçların merkeze uzaklığı
|−11 − 15| = |41 − 15| = 26:
|x − 15| ≤ 26.
B için merkez (−20 + 10)/2 = −5, uzaklık 15:
|x − (−5)| ≤ 15, yani
|x + 5| ≤ 15. Merkez negatifse ifadenin içinde
artı görünür.
Bir a gerçek sayısı ile 5 sayısı arasındaki farkın 21/4’ten
büyük olduğu biliniyor: |a − 5| > 21/4.
Mutlak değer büyüktür şartı iki durumu birden anlatır:
a − 5 > 21/4 → a > 41/4
a − 5 < −21/4 → a < −1/4
Aralık gösterimi: (−∞, −1/4) ∪ (41/4, ∞).
“Küçüktür” tek parça verir, “büyüktür” iki parça verir.
| Mutlak değerli eşitsizlik | Cebirsel çözümü | Aralık gösterimi | Sayı doğrusunda |
|---|---|---|---|
| |x − 1| < 7 | −6 < x < 8 | (−6, 8) | tek parça, uçlar boş |
| |x + 2| ≤ 4 | −6 ≤ x ≤ 2 | [−6, 2] | tek parça, uçlar dolu |
| |x − 2| > 8 | x < −6 veya x > 10 | (−∞, −6) ∪ (10, ∞) | iki parça, uçlar boş |
| |x − 2| ≥ 8 | x ≤ −6 veya x ≥ 10 | (−∞, −6] ∪ [10, ∞) | iki parça, uçlar dolu |
| |x − 37| < 4 | 33 < x < 41 | (33, 41) | vücut sıcaklığı örneği |
| |x − 25| > 3 | x < 22 veya x > 28 | (−∞, 22) ∪ (28, ∞) | akvaryum motoru örneği |
| |x − 180| ≤ 15 | 165 ≤ x ≤ 195 | [165, 195] | pilotaj boy şartı |
Son üç satır uygulamalardır: ideal vücut sıcaklığı 37 °C ve iki yönde 4 °C’luk eşik, akvaryumda ideal 25 °C ve 3 °C’tan fazla sapmada motorun devreye girmesi, pilotaj bölümü için 165-195 cm boy şartı. Üçünde de merkez ve yarıçapı bulmak, aralığı tek satıra indiriyor.
|x − 2| > 8 eşitsizliğinin çözümü yalnız x > 10 değildir.
Uzaklık 8’den büyük olan noktalar merkezin iki yanında da bulunur:
x < −6 çözümü de aynı derecede geçerlidir.
Kısa hatırlatıcı: “küçüktür” içeriyi, “büyüktür” dışarıyı tarif
eder. İçerisi tek parçadır, dışarısı iki parçadır ve sonuç ∪
ile yazılır.
Eğlence parkı örneğinde her biletin boy aralığı, yaş şartı ve refakatçi kuralı var. Bir kişinin bilet alabilmesi için bütün şartları aynı anda sağlaması gerekir — yani aradığımız şey kesişimdir. Aşağıdaki panelde dört kişiyi seçip her biletin şartlarını tek tek karşılaştırabilirsin.
Macera odasının boy aralığı [140, 180], nefeskesenin
[150, 196]’dır. Birini alıp ötekini alamayan bir kişinin boyu
[140, 180] ∖ [150, 196] kümesindedir.
150 ve sonrası nefeskesene de uyduğuna göre geriye
140 ≤ x < 150, yani
[140, 150) kalır. Küme gösterimiyle
{x | 140 ≤ x < 150, x ∈ ℝ}.
Üç biletin boy aralıkları [140, 180], [150, 196] ve [130, 190]’dır. Üçünü birden almak
için boy üç aralığın kesişiminde olmalıdır.
Sol uçların en büyüğü 150, sağ uçların en küçüğü 180 olduğuna göre kesişim
[150, 180]’dir.
Yaş şartı da eklenirse: 13 yaşından büyük ve yanında refakatçisi olan biri
üç biletin yaş kuralını da sağlar; o hâlde tek belirleyici
boyun [150, 180] aralığında olmasıdır.
İki kapalı aralık [a₁, b₁] ve [a₂, b₂] için:
Kesişim = [iki sol uçtan büyüğü , iki sağ uçtan küçüğü].
Sol uç sağ uçtan büyük çıkarsa kesişim boş kümedir.
Birleşim, aralıklar örtüşüyorsa
[iki sol uçtan küçüğü , iki sağ uçtan büyüğü] olur; örtüşmüyorlarsa
iki ayrı parça hâlinde ∪ ile yazılır.
Bir uç iki aralıktan yalnız birinde açıksa, kesişimde o uç
açık olur: dâhil olması için her iki
kümede de bulunması gerekir.
Bu ünitede kaybedilen puanların çoğu hesaptan değil, bir parantezin yönünden gelir. Her soruda önce uçlara, sonra işleme bak.
Bir şeyin “kaç olduğu” değil “hangi aralıkta olduğu” çoğu zaman daha önemlidir: sınav puanı, yaş sınırı, hız, sıcaklık, ücret. Aşağıdaki dokuz sahnede aralığın uçlarına dikkat et.
“50 ve üzeri geçer” kuralı [50, 100] aralığıdır;
50 dâhildir. “50’nin altı kalır” ise [0, 50)’dir.
İki aralığın kesişimi boş, birleşimi ise [0, 100] —
yani her not tam olarak bir gruba düşer. Kuralın iyi yazılmış olması bu demektir:
arada boşluk da yok, örtüşme de yok.
Kutusunda “12+” yazan bir oyun [12, ∞) aralığını tarif eder:
12 dâhil, üst sınır yok.
Sonsuz ucun açık yazılması burada da anlamlıdır — “en fazla kaç yaşında oynanır”
diye bir sınır yoktur. Sinemadaki “18 yaş altı giremez” kuralı da aynı biçimde
[18, ∞)’dur.
Bazı şehirlerde indirimli kart için “ilköğretim ve ortaöğretim öğrencisi olmak” şartı vardır;
yaş olarak yaklaşık [6, 19) aralığına karşılık gelir.
19 yaşına girdiğin gün aralığın dışına çıkarsın — açık uç
tam olarak bunu anlatır: sınır değerinin kendisi artık dâhil değildir.
Pil sağlığı için çoğu üreticinin önerdiği kullanım aralığı
[20, 80]’dir (yüzde olarak).
Bu aralığın merkezi (20 + 80)/2 = 50, yarıçapı (80 − 20)/2 = 30 olduğuna göre
mutlak değerli gösterimi |x − 50| ≤ 30’dur:
“şarj yüzdesi 50’den en fazla 30 birim sapsın” demek.
Antrenmanda hedef nabız aralığı çoğu zaman bir yüzde aralığıyla verilir; örneğin
[130, 160] vuruş/dakika.
Saatin “aralıktasın” demesi, ölçtüğü değerin bu kapalı aralığa düşmesidir. Aralığın
dışına çıktığında uyarı verir; bu da tümleyen kümeye
düştüğün anlamına gelir: (−∞, 130) ∪ (160, ∞).
“Yarın 14 °C ile 23 °C arasında” cümlesi [14, 23] aralığıdır.
Merkez 18,5 ve yarıçap 4,5 olduğuna göre
|x − 18,5| ≤ 4,5 diye de yazılır.
Uygulamanın “günlük sıcaklık farkı 9 derece” demesi, aralığın
uzunluğunu (b − a) söylemesidir.
Bilet sitesinde “750 TL – 2400 TL” yazıyorsa fiyatlar
[750, 2400] aralığındadır.
Elinde 1500 TL varsa alabileceğin biletler [750, 1500],
yani iki aralığın kesişimidir.
Alamayacakların ise (1500, 2400] — bir fark kümesi. Aynı sayfada iki küme işlemi birden.
Cebinde 40 TL var ve tost 28 TL. Alabileceğin içecek fiyatı
(0, 12] aralığındadır.
Sol uç açıktır çünkü fiyatı sıfır olan bir içecek yoktur; sağ uç kapalıdır çünkü tam
12 TL’lik bir içeceği alabilirsin. Uçların tipi problemin
hikâyesinden çıkar, ezberden değil.
Ergenler için önerilen uyku süresi çoğu kaynakta
[8, 10] saat aralığında verilir.
Merkezi 9, yarıçapı 1 olduğuna göre |x − 9| ≤ 1.
“Ortalama 9 saat, bir saat aşağı yukarı” cümlesinin matematik hâli tam olarak budur —
günlük dilde zaten mutlak değerli eşitsizlik kuruyoruz.
46 soruluk test · açık, kapalı ve yarı açık aralıklar, dört temsil, sonsuz uçlu aralıklar, aralıklarla kesişim-birleşim-fark-tümleyen, mutlak değerli eşitsizlik gösterimi
Bir aralık sözel ifade, cebirsel
temsil, sayı doğrusu ve
aralık/küme gösterimi ile yazılır.
Dâhil olan uç: köşeli parantez, içi dolu nokta, ≤ işareti.
Dâhil olmayan uç: normal parantez, içi boş halka, < işareti.
(a, b) açık aralık · a < x < b
[a, b] kapalı aralık · a ≤ x ≤ b
[a, b) ve (a, b] yarı açık aralık
(−∞, a), (−∞, a],
(b, ∞), [b, ∞) sonsuz uçlu.
Sonsuz tarafındaki parantez daima açıktır.
Evrensel küme ℝ’dir.
Kesişim: sol uçların büyüğü, sağ uçların küçüğü.
Birleşim: örtüşüyorlarsa sol uçların küçüğü ile sağ uçların
büyüğü; örtüşmüyorlarsa iki parça.
Fark: ortadan çıkarılan aralık sonucu ikiye bölebilir.
c = (a + b)/2 ve d = (b − a)/2 olmak üzere
(a, b) ↔ |x − c| < d ve [a, b] ↔ |x − c| ≤ d.
|x − a| < b → (a − b, a + b)
|x − a| ≤ b → [a − b, a + b]
|x − a| > b → (−∞, a − b) ∪ (a + b, ∞)
|x − a| ≥ b → (−∞, a − b] ∪ [a + b, ∞)
Su: sıvı (0, 100), katı (−∞, 0].
Çarpışan araba: [90, 130].
Beyaz eşya: A = [7300, 53 000], B = [7500, 110 000]; A ∩ B = [7500, 53 000].
Kurslar: A = [10, 14], B = [11, 13]; A ∖ B = [10, 11) ∪ (13, 14].
Bitkiler: [−11, 41] ↔ |x − 15| ≤ 26 ve [−20, 10] ↔ |x + 5| ≤ 15.
1. Sonsuz ucu kapatmak: [3, ∞] yanlıştır.
2. |x − a| > b çözümünde yalnız bir tarafı yazmak;
dışarısı iki parçadır.
3. Kesişimde uç noktasını dâhil etmek: bir uç iki kümeden
birinde açıksa kesişimde de açıktır.