“Hangileri?”
sorusunun
dili.
Bir otogarda A firması 1’den 9’a kadar olan peronlardan, C firması 25’ten küçük çift peronlardan kalkıyor. “Hem A hem C’nin kullandığı peronlar hangileri?” sorusunu her seferinde cümleyle anlatmak yerine A ∩ C yazarsın. Kümeler, bir topluluğu tarif etmenin ve topluluklar arasında işlem yapmanın kısa yazımıdır.
Sayı kümelerini oluşturan her bir sayıya o kümenin elemanı denir. Kümeler A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir ve iki yöntemle yazılır: listeleme yönteminde elemanlar küme parantezi içinde, aralarına virgül konarak yazılır: A = {x₁, x₂, x₃, …, xₙ}. Ortak özellik yönteminde elemanların taşıdığı şartlar belirtilir: A = {x | x’in sahip olduğu tanımlayıcı özellikler}. Buradaki “|” sembolü “öyle ki” diye okunur ve kümelerde her eleman yalnız bir kez yazılır.
a sayısı A kümesinin elemanıysa a ∈ A, elemanı değilse
a ∉ A biçiminde gösterilir.
Örnekte A firması 2 numaralı perondan kalkıyorsa 2 ∈ A,
11 numaralı perondan kalkmıyorsa 11 ∉ A yazılır.
Bu semboller eleman ile küme arasında kullanılır;
iki küme arasında kullanılmaz.
Bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} için s(A) = 9’dur.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir, ∅ ile gösterilir
ve s(∅) = 0’dır.
Eleman sayısı sonlu olmayan kümeler de vardır: doğal sayılar kümesi için bir eleman sayısı
yazılmaz, küme üç nokta ile gösterilir: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.
| Sözel ifade | Listeleme yöntemi | Ortak özellik yöntemi |
|---|---|---|
| Karesi 100’den küçük pozitif tam sayılar | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} | {x | x² < 100, x ∈ ℤ⁺} |
| 25’ten küçük çift pozitif doğal sayılar | {2, 4, 6, …, 24} | {x | x = 2k, 1 ≤ k ≤ 12, k ∈ ℤ} |
| İki basamaklı doğal sayılar | {10, 11, 12, …, 99} | {x | 10 ≤ x ≤ 99, x ∈ ℕ} |
| 10’dan küçük asal sayılar | {2, 3, 5, 7} | {x | x asal, x < 10} |
| 3’ün katı olan doğal sayılar | {0, 3, 6, 9, …} | {x | x = 3k, k ∈ ℕ} |
| Tek rakamlar | {1, 3, 5, 7, 9} | {x | x = 2k + 1, 0 ≤ k ≤ 4, k ∈ ℤ} |
| 1/2 ile 9 arasındaki gerçek sayılar | yazılamaz | {x | 1/2 < x < 9, x ∈ ℝ} |
Son satır iki yöntem arasındaki asıl farkı gösteriyor: bir aralıktaki bütün gerçek sayılar listelenemez, çünkü ardışık iki gerçek sayı diye bir şey yoktur. Böyle kümeler yalnız ortak özellik yöntemiyle yazılabilir.
“MATEMATİK” kelimesinin harflerinden oluşan küme
{M, A, T, E, İ, K}’dir ve s = 6’dır; 9 değil.
Kümelerde her eleman bir kez yazılır, tekrar edenler bir sayılır.
Aynı sebeple {1, 2, 2, 3} yazımı {1, 2, 3} kümesiyle aynı kümedir ve eleman sayısı 3’tür.
Ayrıca sıra da önemli değildir: {1, 2, 3} ile {3, 1, 2} aynı kümedir.
Kontrol Noktası’nda yazdığı gibi: gerçek sayılar kümesi (ℝ); doğal sayılar (ℕ), tam sayılar (ℤ), rasyonel sayılar (ℚ) ve irrasyonel sayılar (ℚ′) kümelerini kapsayan en geniş kümedir. Üzerinde işlem yapılan kümelere ait bütün elemanları kapsayan kümeye evrensel küme denir; sayı kümeleriyle çalışırken evrensel küme gerçek sayılar kümesidir. ℕ, ℤ ve ℚ iç içe geçer; ℚ′ ise ℚ ile hiç kesişmez — bir sayı ya rasyoneldir ya irrasyonel, ikisi birden olamaz.
| Küme | Listeleme yöntemi | Ortak özellik yöntemi |
|---|---|---|
| Doğal sayılar ℕ | {0, 1, 2, 3, …} | {x | x ≥ 0, x ∈ ℤ} |
| Tam sayılar ℤ | {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} | {x | x tam sayı} |
| Çift tam sayılar | {…, −4, −2, 0, 2, 4, …} | {x | x = 2k, k ∈ ℤ} |
| 3’ün katı olan doğal sayılar | {0, 3, 6, 9, …} | {x | x = 3k, k ∈ ℕ} |
| Rasyonel sayılar ℚ | listelenemez | {a/b | a, b ∈ ℤ ve b ≠ 0} |
| İrrasyonel sayılar ℚ′ | listelenemez | {x | x ∈ ℝ ve x ∉ ℚ} |
| Gerçek sayılar ℝ | listelenemez | ℚ ∪ ℚ′ |
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.
Her doğal sayı bir tam sayıdır; her tam sayı bir rasyonel sayıdır (5 = 5/1);
her rasyonel sayı bir gerçek sayıdır.
Ters yönde doğru değildir: −3 ∈ ℤ ama −3 ∉ ℕ,
1/2 ∈ ℚ ama 1/2 ∉ ℤ’dir.
ℚ ∩ ℚ′ = ∅ ve ℚ ∪ ℚ′ = ℝ.
İki tam sayının bölümü olarak yazılabilen sayılar rasyonel, yazılamayanlar irrasyoneldir.
√2, √3, π sayıları irrasyoneldir.
Dikkat: √9 = 3 rasyoneldir. Kök işareti bir sayıyı
kendiliğinden irrasyonel yapmaz.
Tümleyen almak için “dışarısı”nın nereye kadar olduğunu
bilmek gerekir. Evrensel küme bunu belirler.
Peron örneğinde evrensel küme {1, 2, …, 100}’dür; A′ demek
100 peron içinden A’da olmayanlar demektir.
Sayı kümelerinde ise evrensel küme ℝ alınır.
0 ∈ ℕ’dir: doğal sayılar kümesi sıfırdan başlar.
0 aynı zamanda tam sayı, rasyonel sayı (0 = 0/1) ve gerçek sayıdır; ama
pozitif değildir.
Sık karıştırılan ikinci nokta: 0 boş küme değildir.
{0} kümesinin bir elemanı vardır (s = 1), ∅ kümesinin ise hiç elemanı yoktur (s = 0).
{0} ile ∅ farklı kümelerdir.
Tanım: Herhangi bir A kümesindeki elemanların tümü bir B kümesinin de elemanı ise bu durum A kümesinin B kümesine eşit ya da A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğu anlamına gelir ve A ⊆ B biçiminde gösterilir. “A alt kümesidir B’nin” diye okunur. Peron örneğinde tek rakamlı peronlardan kalkan bir firmanın peronları, A firmasının peronlarının içinde kaldığı için o küme A’nın alt kümesidir.
1. Her küme kendisinin alt kümesidir: A ⊆ A.
Tanıma bak — A’nın bütün elemanları A’nın içindedir.
2. Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊆ A.
Boş kümede A’da bulunmayan bir eleman yoktur,
dolayısıyla koşul bozulmaz.
Bu ikisi, eleman sayısı n olan bir kümenin 2ⁿ alt kümesi
olmasının uç noktalarıdır: en küçüğü ∅, en büyüğü kümenin kendisidir.
İki küme aynı elemanlardan oluşuyorsa eşittir ve A = B yazılır.
Bu, A ⊆ B ve B ⊆ A demektir.
Sıra ve tekrar önemli değildir: {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 1, 2, 3}.
Eşit olmayan ama biri ötekinin içinde kalan kümelerde özalt küme
denir: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3} ama iki küme eşit değildir.
| ∈ (elemanıdır) | ⊆ (alt kümesidir) | |
|---|---|---|
| Solunda ne durur | Bir eleman | Bir küme |
| Sağında ne durur | Bir küme | Bir küme |
| A = {1, 2, 3} için doğru örnek | 2 ∈ A | {2} ⊆ A |
| A = {1, 2, 3} için yanlış örnek | {2} ∈ A (yanlış) | 2 ⊆ A (yanlış) |
| Boş kümeyle ilişkisi | ∅ ∉ A (A’da eleman olarak yoksa) | ∅ ⊆ A (her zaman doğru) |
A = {1, 2, 3} kümesi için 1 ∈ A doğrudur ama 1 ⊆ A yanlıştır;
{1} ⊆ A doğrudur ama {1} ∈ A yanlıştır.
Ayrım tek cümlede: ∈ sembolü bir eleman ile küme arasında,
⊆ sembolü iki küme arasında kullanılır. Sınavda bu ayrım
neredeyse her yıl bir soruda karşına çıkar.
Tanımlar: A ve B kümelerinin elemanlarının tamamının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir, A ∪ B ile gösterilir. Ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir, A ∩ B ile gösterilir. A’da olup B’de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B denir, A ∖ B ile gösterilir. A’nın elemanı olmayıp evrensel kümeye ait olan elemanların oluşturduğu küme A′ ile gösterilir ve A kümesinin tümleyeni diye okunur. Dördü de aslında birer sorudur: “ya da mı”, “ikisi birden mi”, “yalnız birincisi mi”, “dışarısı mı”.
| İşlem | Sorusu | Sonuç (evrensel küme {1,…,100}) | Eleman sayısı |
|---|---|---|---|
| A ∩ C | Hem A hem C | {2, 4, 6, 8} | 4 |
| A ∪ C | A ya da C | {1,…,9} ∪ {10,12,…,24} | 17 |
| A ∖ C | A’da var, C’de yok | {1, 3, 5, 7, 9} | 5 |
| C ∖ A | C’de var, A’da yok | {10, 12, 14, …, 24} | 8 |
| A′ | A’nın dışı | {10, 11, 12, …, 100} | 91 |
| s(A) + s(C) − s(A ∩ C) | birleşimin eleman sayısı | 9 + 12 − 4 | 17 |
Son satır çok işine yarayacak: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B). İki kümeyi toplarken ortak elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez geri çıkarılır.
A ∖ C ile C ∖ A aynı küme değildir. Yukarıdaki örnekte
A ∖ C = {1, 3, 5, 7, 9} iken C ∖ A = {10, 12, …, 24}’tür; hiç ortak elemanları bile yoktur.
Buna karşılık birleşim ve kesişimde sıra önemsizdir:
A ∪ C = C ∪ A ve A ∩ C = C ∩ A. Çıkarma işleminin sayılarda değişme özelliği olmaması gibi,
fark işleminin de kümelerde değişme özelliği yoktur.
Bu ünitedeki asıl zorluk kavramlarda değil, sembolleri birbirine karıştırmamakta. Aşağıdaki tabloyu arama kutusuyla süzebilirsin; sınav öncesinde tek başına bir tekrar sayfası gibi çalışır.
K = {x | x = 3k, k ∈ ℕ ve x < 20} kümesini listele.
k yerine sırayla doğal sayılar konur: k = 0 → 0, k = 1 → 3, k = 2 → 6, k = 3 → 9,
k = 4 → 12, k = 5 → 15, k = 6 → 18, k = 7 → 21 (20’den büyük, alınmaz).
K = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} ve s(K) = 7.
T = {1, 3, 5, 7, 9} kümesini ortak özellik yöntemiyle yaz.
Elemanlar tek sayılardır ve 1 ile 9 arasındadır. Tek sayılar 2k + 1 biçiminde yazıldığına göre
k = 0 için 1, k = 4 için 9 çıkar:
T = {x | x = 2k + 1, 0 ≤ k ≤ 4, k ∈ ℤ}.
Aynı küme {x | x tek rakam} diye de yazılabilir; ortak özellik yöntemi
tek biçimli değildir.
Ortak özellik yönteminde “|” sembolü “öyle ki” anlamına gelir.
A = {x | x’in sahip olduğu tanımlayıcı özellikler} ifadesi
“A kümesi x elemanlarından oluşmaktadır, öyle ki x şu özellikleri
taşır” biçiminde okunur.
Bazı kaynaklarda aynı sembol iki nokta üst üste (:) ile de yazılır; anlamı değişmez.
Sembolün solunda elemanın genel adı, sağında
taşıması gereken şart bulunur.
Her soruda önce şunu sor: solunda duran şey bir eleman mı yoksa bir küme mi? Cevabın yarısı burada saklı.
Kümeler günlük hayatta “liste” ve “filtre” adıyla dolaşır. Bir arama kutusuna iki şart yazdığında kesişim, “şunlardan herhangi biri” dediğinde birleşim, “bunlar hariç” dediğinde fark kullanmış olursun.
Sınıfın 30 kişi; 18’i münazara kulübüne, 14’ü satranç kulübüne yazılmış, 5 kişi ikisine birden.
Kaç kişi en az bir kulüpte? s(M ∪ S) = 18 + 14 − 5 = 27.
Hiçbir kulübe yazılmayan 30 − 27 = 3 kişidir ve bu sayı
(M ∪ S)′ kümesinin eleman sayısıdır.
İki arkadaş çalma listelerini birleştiriyor. Birinde 40, ötekinde 35 şarkı var; 12 şarkı ikisinde de.
Ortak listede 40 + 35 − 12 = 63 şarkı olur.
Uygulamanın “aynı şarkıyı iki kez eklemedi” demesinin sebebi, kümelerde
her elemanın bir kez yazılmasıdır.
Öğretmen “1. ve 2. üniteden sorumlusunuz, ama bilimsel gösterim hariç” dedi.
Sorumlu olduğun konular (Ü1 ∪ Ü2) ∖ {bilimsel gösterim}
kümesidir.
Cümlede geçen “ve” burada birleşim anlamındadır — çünkü iki üniteden
herhangi birindeki konu sorulabilir.
“Kablosuz kulaklık” ve “2000 TL altı” filtrelerini birlikte işaretlediğinde ekranda
iki kümenin kesişimi kalır. Filtre eklemek sonucu
daraltır, çıkarmak genişletir.
Bu yüzden hiç sonuç çıkmadığında yapılacak ilk şey bir filtreyi kaldırmaktır:
kesişim boş küme çıkmıştır.
Voleybol seçmelerine 24 kişi, basketbol seçmelerine 20 kişi katıldı; 9 kişi ikisine de girdi.
Yalnız voleybola girenler V ∖ B kümesidir:
24 − 9 = 15 kişi.
Yalnız basketbola girenler B ∖ V = 20 − 9 = 11 kişidir. İki fark kümesinin
farklı çıkması, sıranın önemli olmasındandır.
Fotoğraf uygulamasında bir fotoğraf hem “tatil” hem “arkadaşlar” etiketini taşıyabilir.
“Tatil” etiketine dokunduğunda gördüğün liste bir kümedir; iki etiketi birden seçtiğinde
kesişimi görürsün.
Bir fotoğrafın iki etikette birden bulunması, kümelerin
kesişebileceğini gösterir; ayrık olmak zorunda değillerdir.
Kantinde 12 çeşit tost, 8 çeşit içecek var. Menü “bir tost + bir içecek” ise
seçenek sayısı 12 · 8 = 96’dır — bu bir kesişim ya da
birleşim değil, eşleştirme sayısıdır.
“Tost ya da içecek alacağım” deseydin seçenek sayısı 12 + 8 = 20 olurdu.
Cümledeki “ve” ile “ya da” işlemi tamamen değiştirir.
Bir oyunda “ateş” ve “buz” özelliğine sahip eşyalar iki küme oluşturur. İkisine birden sahip
efsanevi eşya A ∩ B’dedir; hiçbirine sahip olmayan sıradan
eşyalar (A ∪ B)′’dedir.
Oyunun “filtrele” ekranı aslında bir Venn şemasının düğmelere dönüşmüş hâlidir.
Okul servisinin sabah durakları A kümesi, akşam durakları B kümesi olsun.
Yalnız sabah kullanılan duraklar A ∖ B, iki seferde de
kullanılanlar A ∩ B’dir.
Servis şirketi güzergâhı planlarken tam olarak bu kümeleri hesaplar; ortak duraklara
daha büyük durak yeri ayrılır.
46 soruluk test · listeleme ve ortak özellik yöntemi, eleman sembolleri, sayı kümeleri ve kapsama, alt küme ve alt küme sayısı, dört küme işlemi ve eleman sayısı bağıntısı
Listeleme: A = {x₁, x₂, …, xₙ} — elemanlar küme parantezi
içinde, aralarına virgül konarak.
Ortak özellik: A = {x | x’in tanımlayıcı özellikleri} —
“|” sembolü “öyle ki” diye okunur.
Her eleman bir kez yazılır, sıra önemsizdir.
∈ elemanıdır · ∉ elemanı değildir
⊆ alt küme · ∅ boş küme
∪ birleşim · ∩ kesişim
∖ fark · A′ A’nın tümleyeni
s(A) A’nın eleman sayısı
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ve ℚ ∪ ℚ′ = ℝ,
ℚ ∩ ℚ′ = ∅.
ℝ, sayı kümelerini kapsayan en geniş kümedir; sayılarla çalışırken
evrensel küme ℝ’dir.
0 ∈ ℕ’dir; {0} ile ∅ farklı kümelerdir.
A ∪ B: ikisinin bütün elemanları
A ∩ B: yalnız ortak elemanlar
A ∖ B: A’da olup B’de olmayanlar (sıra önemlidir)
A′: evrensel kümede olup A’da olmayanlar
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
A’nın bütün elemanları B’de de varsa A ⊆ B.
A ⊆ A ve ∅ ⊆ A her zaman doğrudur.
s(A) = n ise A’nın 2ⁿ alt kümesi vardır.
A ⊆ B ve B ⊆ A ise A = B’dir.
1. ∈ ile ⊆ karıştırmak: 1 ∈ A doğru, 1 ⊆ A yanlıştır.
2. A ∖ B ile B ∖ A’yı aynı sanmak; fark işleminde sıra önemlidir.
3. Birleşimin eleman sayısını toplayıp bırakmak; ortak elemanlar
bir kez geri çıkarılmalıdır.