İki sayı
arasında
ne var?
3 ile 4 arasında hiç tam sayı yoktur ama sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. Bu tek cümle, sayı kümelerini birbirinden ayıran en önemli farkı anlatıyor. Bu ünitede kümelerin üç özelliğine bakacağız: sıralı olmak, arada olma ve dört işleme göre kapalı olmak — ve bir önermenin yanlış olduğunu tek örnekle nasıl göstereceğimizi.
Eski çağlardan itibaren insanlar mevsim ve ay döngülerini takip etmek, avladıkları hayvan sayısını belirtmek gibi durumlar için mağara duvarlarına ve ağaç gövdelerine çentikler atmışlardır. Antik Mısır medeniyetinde yaklaşık 3000 yıl önce sayılar hiyerogliflerin tekrar edilmesiyle ifade edilmiş, büyük sayılar için 10’un katları tercih edilmiş, kesirler ise birim kesirler yardımıyla gösterilmiştir. Sembolleri tekrar ederek büyük sayı yazmak zorlaşınca bazı medeniyetler konumsal yazıma geçmiştir: sayının değeri, yazılışındaki konuma bağlıdır. Mezopotamya’da MÖ 1894 – MÖ 539 yılları arasında hüküm süren Babilliler, altmışlık sayı sistemiyle konumsal yazım kullanmış ve basamakları ayırmak için aralarına boşluk koymuştur.
Ağaç gövdesine atılan her çentik bir nesneye karşılık gelir. Bu yöntem
yalnız saymaya yarar: 40 hayvan için 40 çentik gerekir.
Bu aşamada kullanılan sayılar bugünkü sayma sayılarıdır
(1, 2, 3, …). Sıfır, negatif sayılar ve kesirler henüz yoktur.
Antik Mısır’da büyük sayılar için 10’un katları (1, 10, 10²,
10³, …) ayrı sembollerle gösterilir ve semboller tekrar edilirdi.
Kesirler ise birim kesirlerle yazılırdı: payı 1 olan kesirler
(1/3, 1/5 gibi) toplanarak öteki kesirler elde edilirdi.
Babilliler altmışlık (60 tabanlı) konumsal yazım kullandı:
bir sembolün değeri, bulunduğu konuma göre değişir.
Altmışlık sistemin izleri bugün hâlâ duruyor: 1 saat 60 dakika,
1 dakika 60 saniye, tam açı 360°. Saat okurken hâlâ Babil’in sistemini kullanıyorsun.
| Basamak | Değeri | Ondalık karşılığı | Toplam |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 · 60⁰ | 1 | 1 |
| 24 | 24 · 60⁻¹ | 0,4 | 1,4 |
| 51 | 51 · 60⁻² | 0,014166… | 1,414166… |
| 10 | 10 · 60⁻³ | 0,0000462… | 1,4142129… |
1 · 60⁰ + 24 · 60⁻¹ + 51 · 60⁻² + 10 · 60⁻³ ifadesinin 1,4142’ye eşit olduğunu söylüyor. Bu sayı √2’nin (1,41421356…) yaklaşık değeridir: Babilliler kenarı 1 birim olan karenin köşegenini altı ondalık basamağa yakın bir doğrulukla hesaplamışlardı — üstelik irrasyonel sayı kavramı henüz yokken. Bu ekleme ders kitabının metninde geçmez; sayının √2 olduğu, 1,4142² = 1,99996… hesabıyla doğrulanabilir.
Sayı kümelerinin tarihî gelişimi, matematiksel
düşüncenin insan ihtiyaçlarını karşılamak için nasıl değiştiğini gösterir. Her yeni küme
bir eksikliği kapatmak için doğdu:
Saymak için sayma sayıları, yokluğu
yazmak için sıfır, borcu ve sıcaklığı yazmak için negatif
sayılar, bölüşmek için kesirler, karenin
köşegenini ölçmek için irrasyonel sayılar. Bu ünitedeki “kapalılık” kavramı da tam olarak
bunu ölçer: bir küme, üzerinde yapılan işlemler için yeterli mi?
Sayı kümelerinin sıralı olması, o kümedeki elemanların birbirleriyle karşılaştırılabilir ve bir düzen içinde sıralanabilir olması anlamına gelir. ℕ, ℤ, ℚ ve ℝ kümelerinin dördü de sıralı kümelerdir. Aşağıdaki özellikler bu dört kümede de geçerlidir ve eşitsizliklerle çalışırken kullandığın bütün kuralların temeli bunlardır. Aralarında bir tanesi ötekilerden ayrılır ve en çok hata oradan çıkar: eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılırsa eşitsizliğin yönü değişir.
Önerme: a, b ∈ ℚ ve b < a olmak üzere
b < (a + b)/2 < a’dır.
1. adım: a ile b’nin aritmetik ortalaması (a + b)/2’dir.
2. adım: b < a eşitsizliğinin iki tarafına b eklenir:
b + b < a + b, yani 2b < a + b, buradan b < (a + b)/2.
3. adım: Aynı eşitsizliğin iki tarafına a eklenir:
b + a < a + a, yani a + b < 2a, buradan (a + b)/2 < a.
4. adım: İki sonuç birleştirilir:
b < (a + b)/2 < a. Önerme ispatlanmıştır.
Önerme: x, y, m, n ∈ ℝ olmak üzere x < y ve m < n ise
x + m < y + n’dir.
x < y eşitsizliğinin iki tarafına m eklenir: x + m < y + m.
m < n eşitsizliğinin iki tarafına y eklenir: y + m < y + n.
Geçişme özelliğiyle: x + m < y + n.
Dikkat: aynı şey çıkarmada geçerli değildir.
x < y ve m < n iken x − m < y − n olmak zorunda değildir; örnek:
1 < 2 ve 5 < 100 iken 1 − 5 = −4 ama 2 − 100 = −98’dir.
18-25 yaş grubunda Barış 57,32 sn; Ayşe 57,38 sn; Azra 57,67 sn ile yarışı tamamladı.
a) Birinciyi belirlemek için gerçek sayıların
karşılaştırılabilir olma özelliği kullanılır: iki gerçek sayı
için ya a ≤ b ya da b ≤ a’dır. En küçük süre 57,32 olduğuna göre birinci Barış’tır.
b) Herkes yarışı ikişer saniye geç tamamlasaydı sıralama
değişmezdi, çünkü a ≤ b ise a + c ≤ b + c’dir.
Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayıyı eklemek sırayı bozmaz.
ç) 36-45 yaş grubunda Uğur 57,88; Esra 59,43; Engin 59,75 sn ile
tamamladı: 57,88 < 59,43 ve 59,43 < 59,75 olduğuna göre 57,88 < 59,75’tir. Bu,
geçişme özelliğidir (a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c).
2 < 5 doğrudur ama iki tarafı −3 ile çarpınca −6 < −15
olmaz; doğrusu −6 > −15’tir. Kural şudur:
a ≤ b ve c < 0 ise a · c ≥ b · c.
Aynı durum ters çevirmede de var: 0 < a < b ise
1/a > 1/b’dir. 2 < 5 iken 1/2 > 1/5’tir. Payda büyüdükçe kesir küçülür —
sıralama ters döner.
Bu iki durumun dışında toplama, pozitifle çarpma ve kuvvet alma
(0 < a < b ise aⁿ < bⁿ) sırayı korur.
Bir sayı kümesindeki herhangi iki sayı arasında aynı sayı kümesinden başka bir sayının yer alması, o kümenin arada olma özelliğine sahip olduğunu gösterir. Kontrol Noktası’ndaki sonuçlar şunlardır: ardışık iki doğal sayı arasında herhangi bir doğal sayı yer almaz, ardışık iki tam sayı arasında herhangi bir tam sayı yer almaz, dolayısıyla ℕ ve ℤ kümelerinde arada olma özelliği yoktur. Buna karşılık herhangi iki rasyonel sayı arasında istenen sayıda rasyonel sayı, herhangi iki gerçek sayı arasında istenen sayıda gerçek sayı bulunabilir; ℚ ve ℝ kümelerinde arada olma özelliği vardır.
| Küme | Hangi sayılar arasında | Aradaki sayı örneği | Arada olma var mı |
|---|---|---|---|
| ℕ | 1 ile 3 | 2 | Yok (ardışık sayılarda boşluk kalır) |
| ℕ | 45 ile 46 | yok | |
| ℤ | −11 ile 11 | 0 | Yok (−2 ile −1 arasında tam sayı yoktur) |
| ℤ | −2 ile −1 | yok | |
| ℚ | 0 ile 1 | 1/8 | Var (ortalama hep aradadır) |
| ℚ | 3,002 ile 3,02 | 3,01 | |
| ℝ | 2 ile 3 | 5/2 ya da √5 | Var |
| ℝ | √2 ile 1,5 | 1,45 |
Dünyanın en ağır kitaplarından birinin kütlesi 8 kg ile 9 kg
arasındadır.
a) Kütle bir doğal sayı ya da tam sayı olamaz, çünkü
8 ile 9 arasında hiç doğal sayı ve hiç tam sayı yoktur — bu kümelerde
arada olma özelliği yoktur.
b) Rasyonel sayı ya da gerçek sayı olarak
ifade edilebilir (8,4 kg gibi), çünkü ℚ ve ℝ
kümelerinde arada olma özelliği vardır.
c) Ölçülen büyüklüklerin çoğu bu yüzden gerçek sayılarla yazılır.
Serbest düşen bir cismin t saniyedeki yer değiştirmesi
x = ½ · g · t² ile hesaplanır. Yer çekimi
ivmeleri: Dünya 9,8 · Ay 1,6 · Mars 3,7 m/sn².
t = 2 sn için: Dünya ½ · 9,8 · 4 = 19,6 m,
Ay ½ · 1,6 · 4 = 3,2 m,
Mars ½ · 3,7 · 4 = 7,4 m.
“Mars’ta bir cisim kaç saniye sonra 74 m yer değiştirir?” sorusunda
74 = ½ · 3,7 · t² → t² = 40 → t = 2√10 ≈ 6,32 sn çıkar.
Cevap rasyonel bir sayı değildir; gerçek sayılara ihtiyaç vardır.
3 ile 4 ardışık tam sayılardır — aralarında tam sayı yoktur.
Ama 1/2’den sonra gelen rasyonel sayı diye bir şey yoktur:
hangi rasyonel sayıyı söylersen söyle, ikisinin ortalaması ikisinin arasındadır ve o da
rasyoneldir.
Aynı sebeple “0’a en yakın pozitif gerçek sayı” da yoktur.
Bir aralıktaki gerçek sayıları listeleme yöntemiyle yazamamamızın sebebi tam olarak budur.
Bir kümedeki herhangi iki eleman bir işleme girdiğinde elde edilen sonuç yine aynı kümenin elemanı ise bu küme o işleme göre kapalıdır. Örnek şudur: 4 ve 7 doğal sayıları için 4 + 7 = 11 ∈ ℕ’dir ama 4 − 7 = −3 ∉ ℕ’dir; 4 · 7 = 28 ∈ ℕ’dir ama 4/7 ∉ ℕ’dir. Yani ℕ toplama ve çarpmaya göre kapalıdır, çıkarma ve bölmeye göre kapalı değildir. Bir kümenin bir işleme göre kapalı olmadığını göstermek için tek bir örnek yeter; kapalı olduğunu göstermek için ise bütün durumlar için doğrulanması gerekir.
| Küme | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|
| ℕ | Kapalı | Kapalı değil | Kapalı | Kapalı değil |
| ℤ | Kapalı | Kapalı | Kapalı | Kapalı değil |
| ℚ | Kapalı | Kapalı | Kapalı | Kapalı |
| ℝ | Kapalı | Kapalı | Kapalı | Kapalı |
| ℚ′ (irrasyoneller) | Kapalı değil | Kapalı değil | Kapalı değil | Kapalı değil |
Bölme sütununda sıfıra bölme tanımsız olduğu için bölen her zaman sıfırdan farklı alınır; bilgi görselinde de bölmeye göre kapalı olan kümeler ℚ ve ℝ olarak verilmiştir. Son satır 20. örnekten gelir ve bir sonraki bölümün konusudur: irrasyonel sayılar kümesi hiçbir işleme göre kapalı değildir.
A = {x | x = 2k, k ∈ ℤ} kümesi dört işleme göre kapalı mı?
A’nın iki elemanı x₁ = 2a ve x₂ = 2b olsun (a, b ∈ ℤ).
Toplama: 2a + 2b = 2(a + b) ∈ A ✓
Çıkarma: 2a − 2b = 2(a − b) ∈ A ✓
Çarpma: 2a · 2b = 4ab = 2(2ab) ∈ A ✓
Bölme: 2a / 2b = a/b — her zaman A’nın elemanı olmaz.
a = 1 ve b = 3 seçilirse 2/6 = 1/3 ∉ A.
Sonuç: A toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalıdır;
bölmeye göre kapalı değildir.
A = {x | x = 2k + 1, k ∈ ℤ} kümesi (tek tam sayılar):
Toplama: 3 + 5 = 8, tek değil → kapalı değil
Çıkarma: 5 − 3 = 2, tek değil → kapalı değil
Çarpma: (2a + 1)(2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1,
yine tek → kapalı
Bölme: 3/5 tam sayı bile değil → kapalı değil
İki tek sayının çarpımının hep tek olması, çarpmaya göre kapalılığın
cebirsel olarak ispatlandığı güzel bir örnektir.
4 + 7 = 11 ∈ ℕ olması ℕ’nin toplamaya göre kapalı olduğunu
kanıtlamaz; yalnızca bir örnektir. Kapalılık iddiası
bütün eleman çiftleri için gösterilmelidir — çift tam sayılar
örneğindeki gibi harflerle.
Ama tersi doğrudur: tek bir örnek, kapalı olmadığını kanıtlamaya
yeter. Bu asimetri bir sonraki bölümün konusu: karşıt örnek sunma yöntemi.
Karşıt örnek sunma, bir önermenin tüm durumlar için geçerli olmadığını kanıtlamak için kullanılan matematiksel bir yöntemdir. Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek amacıyla bu önermeye uymayan tek bir örnek bulmak yeterlidir. Bu, matematikte ispat ile yanlışlama arasındaki asimetriyi gösterir: “her zaman doğrudur” demek için bütün durumları göstermen gerekir, “her zaman doğru değildir” demek için bir tane ters örnek yeter.
Önerme: İrrasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
Karşıt örnek: √3 ∈ ℚ′ ve √12 ∈ ℚ′ iken
√3 · √12 = √36 = 6 ∈ ℚ’dur.
İki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel çıktığına göre önerme yanlıştır:
ℚ′ çarpmaya göre kapalı değildir. Tek bir örnek,
bütün iddiayı çürütmeye yetti.
Bölme: √8 ∈ ℚ′ ve √2 ∈ ℚ′ iken
√8 / √2 = √4 = 2 ∈ ℚ. Demek ki ℚ′ bölmeye göre de kapalı değildir.
Toplama: √2 ∈ ℚ′ ve −√2 ∈ ℚ′ iken
√2 + (−√2) = 0 ∈ ℚ.
Çıkarma: π ∈ ℚ′ ve π ∈ ℚ′ iken π − π = 0 ∈ ℚ.
Sonuç: irrasyonel sayılar kümesi dört işlemin hiçbirine göre
kapalı değildir. Her biri için tek bir karşıt örnek yetti.
| İspat | Karşıt örnek | |
|---|---|---|
| Ne gösterir | Önermenin her durumda doğru olduğunu | Önermenin her durumda doğru olmadığını |
| Kaç örnek gerekir | Örnek yetmez; genel gösterim gerekir | Bir tane yeter |
| Nasıl yazılır | Harflerle: “x₁ = 2a, x₂ = 2b olsun…” | Somut sayılarla: “a = 1, b = 3 seçilirse…” |
| Örnek | İki tek sayının çarpımı tektir | √3 · √12 = 6, yani ℚ′ çarpmaya kapalı değil |
| Ne zaman kullanılır | “Kapalıdır”, “her zaman doğrudur” denecekse | “Kapalı değildir”, “yanlıştır” denecekse |
Karşıt örnek ararken sınır durumlara ve
işaret değiştiren yerlere bak:
0 ve 1: “Her sayının karesi kendisinden büyüktür” önermesini
a = 1 (1² = 1) ya da a = 1/2 (1/4 < 1/2) çürütür.
Negatif sayılar: “a < b ise a² < b²” önermesini
a = −3, b = 2 çürütür (9 > 4).
Aynı sayıyı iki kez seçmek: ℚ′ toplamaya kapalı mı sorusunu
√2 ile −√2 çürütür.
Karşıt örnek bulmak, ezber yerine kuralın sınırlarını
öğrenmenin en hızlı yoludur.
Her soruda önce şunu sor: önerme bütün sayılar için mi iddia ediliyor? Öyleyse tek bir ters örnek aramak yeter.
Sıralama özellikleri “herkese aynı şeyi yaparsan sıra değişmez” demenin matematik hâli; kapalılık ise “bu işlemi yaparsam sonuç hâlâ anlamlı mı?” sorusunun cevabı. Aşağıdaki dokuz sahnede ikisi de var.
Öğretmen sınav zor geçti diye herkese 5 puan ekledi. Sınıfın sıralaması
değişmez, çünkü a ≤ b ise a + c ≤ b + c’dir.
Ama “herkesin puanı 1,1 ile çarpıldı” denseydi de sıralama değişmezdi (pozitif çarpan).
Sıralamayı bozan tek şey negatif bir sayıyla çarpmaktır —
not sisteminde böyle bir şey olmadığı için sıralama güvendedir.
100 metrede süre küçük olan kazanır: sıralama ters yönde
okunur. Herkesin süresine 2 saniye eklenirse (yeniden başlatma gecikmesi gibi) sıralama
aynı kalır.
Kronometrenin 57,32 ile 57,38 arasını ayırabilmesi, sürenin
gerçek sayı olarak ölçülmesindendir: iki süre arasında
her zaman bir başka süre vardır.
Kantin defterinde 20 TL borcun 30 TL borcundan azdır:
−20 > −30.
Borç miktarına bakınca 30 > 20, ama borç eksi işaretiyle
yazılınca sıra ters döner. Bu, bir eşitsizliği −1 ile çarpmanın günlük hayattaki karşılığıdır:
a < b ise −a > −b.
8 dilim pizzayı 3 kişi bölüşürse kişi başı 8/3 dilim düşer.
Doğal sayılar bölmeye göre kapalı olmadığı için cevap
doğal sayı çıkmaz; rasyonel sayıya geçmek zorunludur.
Kesirler tam olarak bunun için icat edildi: bölüşme,
doğal sayıların yetmediği ilk işlemdir.
Ses seviyesi 0-15 arasında tam sayı adımlarla değişir:
7 ile 8 arasında bir seviye yoktur. Yani telefonun ses kümesinde
arada olma özelliği yoktur.
Bilgisayarda ses yüzdesi 0-100 arası ondalıklı
ayarlanabiliyorsa orada arada olma özelliği vardır. Aynı kavram, iki farklı
arayüz tasarımı.
Bütün ürünlere %20 zam gelirse ucuz olan yine ucuz kalır:
fiyat 1,2 ile çarpılmıştır ve 1,2 > 0 olduğu için sıralama korunur.
Ama üründen ürüne farklı oranlarda zam gelirse sıralama
değişebilir. Kural yalnız aynı
sayıyla çarpıldığında işler.
Saatin 1 saat = 60 dakika, 1 dakika = 60 saniye olması Babil’in
altmışlık sisteminden kalmadır. 2 saat 45 dakika = 2 + 45/60 = 2,75
saattir.
60 sayısının seçilmesinin bir sebebi vardır: 60’ın böleni çoktur (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,
15, 20, 30, 60), böylece yarım, üçte bir, çeyrek hepsi
tam sayı dakika eder.
Bir oyunda skor tablosu geçişme özelliğine güvenir:
A, B’yi geçtiyse ve B, C’yi geçtiyse A, C’yi de geçmiştir. Bu yüzden herkesi herkesle
karşılaştırmaya gerek yoktur.
Sıralama algoritmaları da tam olarak bu özellik sayesinde çalışır; geçişme olmasaydı
“en yüksek skor” diye bir şey tanımlanamazdı.
Boyun 172 cm çıktıysa bu bir yuvarlamadır. Gerçek değer
171,5 ile 172,5 arasında bir gerçek sayıdır ve o aralıkta
sonsuz sayıda olası değer vardır.
Ölçülen her büyüklük — boy, kütle, süre, sıcaklık — gerçek sayılarla ifade edilir.
Sayılan şeyler (kardeş sayısı, sayfa numarası) ise doğal
sayılarla. Sayılan ile ölçülen arasındaki fark, arada olma özelliğidir.
46 soruluk test · sayıların tarihî gelişimi ve Babil altmışlık sistemi, sıralama özellikleri, arada olma, dört işleme göre kapalılık ve karşıt örnek sunma yöntemi
a ≤ a · a ≤ b veya b ≤ a
a ≤ b ve b ≤ a ise a = b
a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c (geçişme)
a ≤ b ise a + c ≤ b + c
a ≤ b ve c > 0 ise a·c ≤ b·c
a ≤ b ve c < 0 ise a·c ≥ b·c (yön döner)
0 < a < b ise 1/a > 1/b ve aⁿ < bⁿ
İki sayı arasında aynı kümeden başka bir sayı bulunabiliyorsa küme
arada olma özelliğine sahiptir.
ℕ ve ℤ’de yoktur: ardışık iki sayı arasında başka sayı yoktur.
ℚ ve ℝ’de vardır: istenen sayıda ara sayı bulunabilir;
en kolay yolu ortalama almaktır.
İki elemanın işlem sonucu yine kümedeyse küme o işleme göre
kapalıdır.
ℕ: toplama ve çarpma.
ℤ: toplama, çıkarma ve çarpma.
ℚ ve ℝ: dört işlem (sıfıra bölme hariç).
ℚ′: hiçbiri.
Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir örnek
yeter. Doğru olduğunu göstermek için ise bütün durumlar için ispat gerekir.
√3 · √12 = 6 → ℚ′ çarpmaya kapalı değil.
√8 / √2 = 2 → bölmeye kapalı değil.
√2 + (−√2) = 0 → toplamaya kapalı değil.
Çentik → saymak. Mısır →
tekrarlı semboller, 10’un katları, birim kesirler.
Babil (MÖ 1894 – MÖ 539) → altmışlık konumsal yazım.
YBC 7289 tabletindeki
1 · 60⁰ + 24 · 60⁻¹ + 51 · 60⁻² + 10 · 60⁻³ = 1,4142
sayısı, kenarı 1 birim olan karenin köşegeninin yaklaşık değeridir.
1. Negatifle çarparken eşitsizliğin yönünü çevirmemek.
2. Tek bir örnekle “kapalıdır” demek; kapalılık genel
gösterim ister, kapalı olmamak tek örnekle kanıtlanır.
3. “Ardışık rasyonel sayı” aramak; ℚ’da ardışıklık yoktur.