Ne zaman
eşit, ne zaman
daha az?
Ünitenin açılış sorusu: 120 litrelik bir deponun tabanı çatlıyor ve birim zamanda sızan su miktarı sabit. Depoda kalan suyu veren fonksiyon f(t) = 120 − 0,8t. “Su ne zaman biter?” bir denklem, “ne zaman 40 ile 80 litre arasındadır?” bir eşitsizlik sorusudur. Bu ünite, doğrusal bir modeli kurup o iki soruyu da cevaplamayı öğretiyor.
Kural tek cümlelik: doğrusal ilişki içeren problemlerin çözümünde doğrusal fonksiyonlar yardımıyla elde edilen denklem ve eşitsizlikler kullanılır. Yani önce “bu problemde hangi nicelik hangisine bağlı?” diye sorar, bir f kurarsın; sonra sorunun kendisi o f’yi bir sayıya ya da başka bir fonksiyona eşitler veya karşılaştırır.
a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ c ve a ile c gerçek sayılarından en az biri
sıfırdan farklı olsun. Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsilleri
f(x) = ax + b ve g(x) = cx + d ise:
· f(x) = g(x) ifadesine birinci dereceden
bir bilinmeyenli denklem,
· f(x) < g(x), f(x) ≤ g(x),
f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x)
ifadelerine birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.
Düzenleme her zaman aynı: ax + b = cx + d ⇒ (a − c)x + (b − d) = 0.
Burada m = a − c ve n = b − d
denirse mx + n = 0 elde edilir. m ≠ 0 olduğundan
denklemin çözüm kümesi { −n/m }’dir: tek bir kök.
Dikildiğinde boyu 22 cm olan bir bitkinin boyu
ayda 6 cm uzuyor.
Zamana (ay) bağlı boyu veren fonksiyon: f(x) = 22 + 6x.
“Kaçıncı ayda 40 cm olur?” sorusu bir denklemdir:
22 + 6x = 40 ⇒ 6x − 18 = 0 ⇒ 6x = 18 ⇒ x = 3.
Dikkat et: 22 + 6x = 40 ifadesi f(x) = g(x) biçimindedir;
burada g sabit fonksiyondur, g(x) = 40.
“Boyu hangi zaman aralığında 52 cm’nin altındadır?” sorusu bir eşitsizliktir:
f(x) < 52 ⇒ 22 + 6x < 52 ⇒ 6x < 30 ⇒ x < 5.
cevap [0, 5) aralığıdır — sol uç
dâhil, çünkü bitki 0. ayda dikilmiştir ve negatif zaman
anlamsızdır; sağ uç dâhil değil, çünkü 5. ayda boy tam 52 cm
olur, “altında” değildir.
Problemin bağlamı, matematiksel çözümü daraltabilir.
11. örnekte şişme bot fabrikasının maliyeti m(x) = 300 000 + 1300x,
geliri g(x) = 2500x. Eşitlik noktası
300 000 + 1300x = 2500x ⇒ 1200x = 300 000 ⇒ x = 250 adettir.
Soru “kâr edebilmesi için en az kaç adet satmalı?” diye sorulduğunda cevap
250 değildir: 250 adette gelir maliyete yalnızca eşittir,
kâr sıfırdır. Kâr için g(x) > m(x), yani x > 250 olmalı. Bot sayısı tam sayı olduğundan
cevap 251 adettir.
Kural: eşitsizlik katı (<, >) ise sınır değer çözüme girmez;
değişken tam sayı sayılıyorsa bir sonraki tam sayıya geçilir.
Her eşitsizlik düzenlenerek mx + n < 0, mx + n ≤ 0, mx + n > 0 ya da mx + n ≥ 0 biçimine getirilir. Kök hep −n/m’dir; asıl soru kökün hangi tarafının işaretinin ne olduğudur — ve bunu m’nin işareti belirler.
f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x/2 − 3 olmak üzere
f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm aralığı isteniyor.
a) Cebirsel: 3x/2 − 3 < 0 ⇒ 3x/2 < 3 ⇒ 3x < 6 ⇒
x < 2, yani (−∞, 2).
b) Grafikle: f’nin grafiği x eksenini
(2, 0) noktasında keser ve o noktanın solunda x ekseninin
altındadır — yani negatif değerler alır.
c) İşaret tablosuyla: kök 2’dir; m = 3/2 > 0 olduğu için
solda −, sağda + yazılır.
Aranan − bölgesi, yani (−∞, 2).
Kontrol Noktası’nda özel bir durum vurgulanıyor:
g(x) = 0 olduğunda f(x) = g(x) denklemi
f(x) = 0, f(x) < g(x) eşitsizliği
f(x) < 0 biçimine döner.
Bu, iki ayrı adı olan tek bir sayıyı ortaya çıkarır:
· ax + b = 0 denkleminin kökü
· f fonksiyonunun sıfırı
· grafikte x eksenini kestiği noktanın apsisi
· işaret tablosunda işaretin değiştiği yer
Dördü de aynı sayıdır: −b/a.
Bir problemde iki seçenek varsa iki fonksiyon kurulur. Grafiklerin kesim noktasının apsisi, f(x) = g(x) denkleminin kökü; ordinatı ise o andaki ortak değerdir. Kesişimin solunda biri, sağında öteki avantajlıdır — hangisinin olduğunu eşitsizlik söyler.
Güneş enerjisi sisteminin kurulumu 57 000 TL, yıllık işletmesi
1600 TL; elektrik sisteminin kurulumu
21 000 TL, yıllık işletmesi 5200 TL.
g(x) = 57 000 + 1600x ·
e(x) = 21 000 + 5200x
g(x) = e(x) ⇒ 57 000 + 1600x = 21 000 + 5200x ⇒ 36 000 = 3600x ⇒
x = 10 yıl, ortak değer
g(10) = e(10) = 73 000 TL.
Çıkarım: ilk 10 yılda elektrik, 10 yıldan sonra güneş
enerjisi sistemi daha ekonomiktir. 15 yıl sonunda güneş 81 000 TL, elektrik 99 000 TL’dir.
Masaya tutturulmuş bir yayın ucundaki kaba boya ekleniyor. Eklenen boya miktarına (dl) bağlı
olarak masanın altı ile kabın üstü arasındaki mesafe
y = 10,2 + 2x (cm).
a) Kabın hacmi 50 dl’den az, yani x < 50:
10,2 + 2x < 10,2 + 2 · 50 = 110,2 cm.
b) Masa altı ile zemin arası 102 cm’den az, kap 15 cm.
Kabın yere değmemesi için y < 102 − 15 = 87 olmalı:
10,2 + 2x < 87 ⇒ 2x < 76,8 ⇒ x < 38,4.
Aralık: [0 , 38,4).
M programı: kurulum 1500 TL, aylık 200 TL ⇒ f(x) = 1500 + 200x
N programı: kurulum 600 TL, aylık 250 TL ⇒ g(x) = 600 + 250x
Eşitlenme: 1500 + 200x = 600 + 250x ⇒ 900 = 50x ⇒
x = 18 ay, ödenecek ücret
5100 TL.
1 yıl (12 ay) için: f(12) = 3900 TL, g(12) = 3600 TL ⇒
N daha ekonomiktir.
Kesişimden önce kurulumu ucuz olan, sonra
aylık ücreti düşük olan öne geçer. Isıtma sistemi örneğiyle aynı yapı.
Kural: mutlak değer içeren problemlerin çözümünde mutlak değer fonksiyonları yardımıyla elde edilen denklem ve eşitsizlikler kullanılır. f ve g doğrusal fonksiyonlar olmak üzere |f(x)| = |g(x)|, |f(x)| < |g(x)| gibi ifadeler kurulur. g(x) = k sabit fonksiyonu olduğunda bunlar |f(x)| = k, |f(x)| ≤ k biçimine, g(x) = 0 olduğunda |f(x)| = 0, |f(x)| > 0 biçimine döner.
Mühendislikte yapı bileşenlerinin kabul edilebilir ölçü aralığına
tolerans denir; üretilen parçanın olması gereken değerden
sapma miktarı (hata payı) anlamına da gelir.
Rulmanlar 60 mm ± 0,05 mm çapla üretiliyor. Çap x olmak üzere
hata miktarını veren fonksiyon f(x) = |x − 60|.
Uygun üretim: |x − 60| ≤ 0,05. Parçalı yazılıp iki hâl ayrı
çözülür:
· x ≥ 60 için x − 60 ≤ 0,05 ⇒ x ≤ 60,05
· x < 60 için 60 − x ≤ 0,05 ⇒ x ≥ 59,95
Birlikte: 59,95 ≤ x ≤ 60,05, yani
[59,95 , 60,05].
Uygun olmayanlar ise |x − 60| > 0,05, yani
ℝ − [59,95 , 60,05].
Neslihan ile Mustafa bir nesnenin kütlesini tahmin ediyor. Söylenen sayı gerçek kütleden
en çok 50 gram eksik ya da 50 gram fazla olursa oyun kazanılıyor.
Nesnenin kütlesi 1350 gram.
Söylenen sayı x olsun. “En çok 50 gram sapma” ifadesinin cebirsel karşılığı:
|x − 1350| ≤ 50 ⇒ 1300 ≤ x ≤ 1400.
Mustafa kazandıysa söylediği sayı [1300, 1400] aralığındadır;
kaybettiyse |x − 1350| > 50, yani bu aralığın dışındadır.
Söyleyebileceği en küçük sayı 1300, en
büyük sayı 1400’dür.
Kalıp hep aynı: |x − merkez| ≤ sapma.
x > 1/3 olmak üzere alanı (4x² + 12x + 9) cm² olan bir karenin
bir kenar uzunluğu (3x − 1) cm olarak veriliyor.
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² olduğundan kenar uzunluğu
√((2x + 3)²) = |2x + 3| cm’dir. İki temsil eşitlenir:
|2x + 3| = 3x − 1.
Kritik nokta: 2x + 3 = 0 ⇒ x = −3/2.
· x < −3/2 için: −(2x + 3) = 3x − 1 ⇒ −2 = 5x ⇒ x = −2/5.
Ama −2/5, “x < −3/2” şartını sağlamaz; çözüme alınmaz.
· x ≥ −3/2 için: 2x + 3 = 3x − 1 ⇒ x = 4.
Bu değer şartı sağlar.
Çözüm kümesi {4}, karenin kenarı
3 · 4 − 1 = 11 cm.
Vurgu şu: mutlak değerli denklemler parçalı çözüldüğünde,
bulunan her değerin o parçanın aralığını sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
Grafikte f(x) = |2x + 3| ile g(x) = 3x − 1 tek noktada — (4, 11)’de — kesişir; bu da denklemin
bir tane kökü olduğunu doğrular.
Mutlak değer hiçbir zaman negatif olmaz. Bu yüzden iki uç durumun cevabı,
f ne olursa olsun değişmez:
· |f(x)| < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
boş kümedir — teknoloji uygulamasında bu, yazılımın
ekranda hiçbir aralık göstermemesi olarak görülür.
· |f(x)| ≥ 0 eşitsizliğini her gerçek
sayı sağlar; çözüm aralığı ℝ’dir.
· |f(x)| = 0 ise yalnızca f(x) = 0 olduğunda sağlanır; kökü,
f’nin sıfırıdır. |ax + b| = 0 denkleminin kökü ile |ax + b| fonksiyonunun sıfırı
aynı sayıdır: −b/a.
Bu üçünü ezberlemek yerine grafiğe bak: |f| grafiği x ekseninin
hiçbir zaman altına inmez, ona yalnızca dokunur.
Bu ünitenin bütün zorluğu ilk cümlededir: sözel durumu doğru denkleme ya da eşitsizliğe çevirmek. Aşağıdaki durumlar karışık sırayla geliyor; hangi ifadeye karşılık geldiğini seç.
“Kaç güne yeter?”, “hangisi daha ucuz?”, “kaç saniye sapma olursa sayılmaz?” — bunların hepsi doğrusal denklem ve eşitsizliktir. Sadece kâğıda yazmıyorsun.
Ayın başında 20 GB’ın var, günde ortalama 0,8 GB harcıyorsun. Kalan kotayı veren fonksiyon
f(x) = 20 − 0,8x.
“Kaçıncı gün biter?” bir denklemdir: 20 − 0,8x = 0 ⇒ x = 25.
Ay 30 gün sürdüğüne göre son 5 gün internetsiz kalıyorsun.
“Hangi günlerde 5 GB’ın altına düşerim?” bir eşitsizliktir:
20 − 0,8x < 5 ⇒ x > 18,75, yani
19. günden itibaren.
Okulun yanındaki salon üyelik 400 TL + ders başına 30 TL,
uzaktaki salon üyelik yok, ders başına 70 TL.
f(x) = 400 + 30x ve g(x) = 70x.
Eşitlenme: 400 + 30x = 70x ⇒ 40x = 400 ⇒ x = 10 ders.
Ayda 10’dan az gideceksen üyeliksiz salon, 10’dan
fazla gideceksen üyelikli salon ucuz. Tam 10 derste ikisi de 700 TL.
Karar, kaç ders gideceğini dürüstçe tahmin etmene bağlı.
135 dakikalık bir denemedesin ve soru başına ortalama 1,5 dakika harcıyorsun. x soru
çözdüğünde kalan süre k(x) = 135 − 1,5x.
“Seksen soruluk bölümü yetiştirebilir miyim?” sorusu bir eşitsizliktir:
135 − 1,5x ≥ 0 ⇒ x ≤ 90. Yetişir, hatta on soruluk payın var.
Ama “son 15 dakikayı kontrole ayırmak istiyorum” dersen eşitsizlik değişir:
135 − 1,5x ≥ 15 ⇒ x ≤ 80. Tam 80.
Hedefi değiştirmek sağ tarafı değiştirir, fonksiyonu değil.
Okulun müzik yarışmasında bir performans, jürinin ortalamasından
en çok 8 puan sapan puanlar geçerli sayılıyor; sapan puanlar iptal.
Ortalama 76 ise geçerli puan aralığı:
|x − 76| ≤ 8 ⇒ 68 ≤ x ≤ 84.
Bir jüri üyesi 90 verdiyse |90 − 76| = 14 > 8 olduğu için puanı
iptal edilir. Rulman toleransıyla
tıpatıp aynı yapı: bir merkez, bir kabul edilebilir sapma.
Alıştırmadan: bir okuldaki asansörün taşıma kapasitesi
720 kg ve içeride bir yetişkinin bulunması zorunlu. Bir çocuğun
ortalama kütlesi 30 kg, yetişkin 80 kg.
Aşırı yükleme durumu: x > 720 (x = binenlerin toplam kütlesi).
Kaç çocuk binebilir? 30n + 80 ≤ 720 ⇒ 30n ≤ 640 ⇒ n ≤ 21,33.
Çocuk sayısı tam sayı olduğundan en fazla 21 çocuk.
Kesirli çözümü aşağı yuvarlamak, burada matematiksel değil
fiziksel bir zorunluluktur.
Alıştırmadan: Doruk 08.00’de evden çıkıp 1,2 km
uzaktaki okuluna sabit hızla 16 dakikada yürüyor, sonra aynı hızla
geri dönüyor. Hızı 1200 / 16 = 75 m/dk.
Okula olan mesafesi f(t) = |1200 − 75t| metredir — mutlak değer
burada “geri dönüşü” tek satırda anlatır.
400 metreden yakın olduğu aralık:
|1200 − 75t| < 400 ⇒ 800 < 75t < 1600 ⇒
yaklaşık 10,7 < t < 21,3 dakika, yani kabaca
08.10.40 ile 08.21.20 arası.
Kulübünüz kermes için stant kuruyor: afiş, masa örtüsü ve malzeme
600 TL; bir bardak limonatanın maliyeti
7 TL, satış fiyatı 15 TL.
Maliyet: m(x) = 600 + 7x · Gelir: g(x) = 15x
Başabaş: 600 + 7x = 15x ⇒ 8x = 600 ⇒ x = 75 bardak.
Kâr için en az 76 bardak satmalısınız — şişme bot
örneğindeki 250/251 ayrımının aynısı. 100 bardak satarsanız kâr
1500 − 1300 = 200 TL.
Okullar arası yarışta, tabanca sesinden sonra 0,1 saniyeden önce
çıkan koşucu falstart yapmış sayılıyor. Çıkış anı x, tabanca anı 0 olsun.
Geçerli çıkış: x ≥ 0,1; falstart: x < 0,1.
Bu, mutlak değersiz tek yönlü bir eşitsizliktir — çünkü
“geç çıkmak” kural ihlali değil, sadece dezavantajdır. Rulman toleransıyla farkı burada:
tolerans iki yönlüdür (| |), falstart tek yönlüdür.
Hangi kalıbı kuracağına, problemin “iki taraf da sorun mu” sorusuna verdiği cevap karar verir.
Haftalık ekran süreni 21 saatten (1260 dakika) aşağı çekmeye çalışıyorsun. Pazartesi–Cuma
günde 190 dakika kullandın; hafta sonu iki günde toplam y dakikan kalıyor.
5 · 190 + y ≤ 1260 ⇒ 950 + y ≤ 1260 ⇒ y ≤ 310 dakika.
İki güne bölününce günde ortalama 155 dakika.
Buradaki eşitsizlik bir üst sınır koyuyor; “en az”
değil “en çok” dediği için ≤ yönü bu tarafa bakıyor.
Yönü karıştırmamanın en kolay yolu, uç bir değeri deneyip cümleyle tutup tutmadığına bakmaktır.
47 soruluk test · doğrusal denklem ve eşitsizliğin kurulması, mx + n = 0 biçimi ve kökü, m’nin işaretine göre çözüm aralıkları, işaret tablosu, iki fonksiyonun kesişimi ve karar noktası, mutlak değerli denklem ve eşitsizlikler, tolerans kalıbı
f(x) = ax + b, g(x) = cx + d, a ≠ c.
f(x) = g(x) ⇒ (a − c)x + (b − d) = 0
m = a − c, n = b − d ⇒ mx + n = 0
Çözüm kümesi: { −n/m }
mx + n < 0 ⇒ (−∞, −n/m)
mx + n ≤ 0 ⇒ (−∞, −n/m]
mx + n > 0 ⇒ (−n/m, ∞)
mx + n ≥ 0 ⇒ [−n/m, ∞)
Sağ iki sütun yer değiştirir:
mx + n < 0 ⇒ (−n/m, ∞)
mx + n ≥ 0 ⇒ (−∞, −n/m]
Sebebi: negatif sayıya bölerken eşitsizlik yön değiştirir.
g(x) = 0 iken f(x) = g(x) ⇒ f(x) = 0.
Kök = fonksiyonun sıfırı =
grafiğin x eksenini kestiği apsis =
işaret tablosunda işaretin değiştiği yer.
Kesim noktasının apsisi = f(x) = g(x)’in kökü,
ordinatı = ortak değer.
Isıtma örneği: (10, 73 000) —
ilk 10 yıl elektrik, sonrası güneş ucuz.
|f(x)| = k ⇒ f(x) = k veya f(x) = −k
|f(x)| ≤ k ⇒ −k ≤ f(x) ≤ k
|f(x)| ≥ k ⇒ f(x) ≤ −k veya f(x) ≥ k
|f(x)| < 0 ⇒ Ø · |f(x)| ≥ 0 ⇒ ℝ
“Merkez değerden en çok s sapma” ⇒
|x − merkez| ≤ s
Rulman: |x − 60| ≤ 0,05 ⇒ [59,95 , 60,05]
Tahmin oyunu: |x − 1350| ≤ 50 ⇒ [1300, 1400]
Parçalı çözümde bulunan her kök,
o parçanın aralığını sağlıyor mu diye denetlenir.
|2x + 3| = 3x − 1 ⇒ adaylar −2/5 ve 4; yalnız
x = 4 geçerli, kenar 11 cm.
Matematiksel çözüm x < 5 olsa bile, negatif zaman anlamsızsa cevap
[0, 5)’tir.
Sayılabilen nesnede (bot, çocuk, bardak) kesirli çözüm
tam sayıya çekilir: 250 → 251, 21,33 → 21.