İki sayı:
a ve b.
Doğru hazır.
g(x) = ax + b yazımındaki iki sayı, doğrunun her şeyini belirler: a eğimdir — ne kadar dik, hangi yöne; b ise doğrunun y eksenini kestiği yerdir. Taksimetrede a kilometre başına ücret, b açılış ücretidir. Bu ünite, o iki sayıya bakıp grafiği ve bütün nitel özellikleri hesap yapmadan söylemeyi öğretiyor.
f(x) = x referans fonksiyonundan yola çıkıp a katsayısını değiştirelim: g(x) = ax şeklindeki fonksiyon, tanım aralığındaki her elemanı a katı ile eşler. Sonuç doğrunun eğimidir: a > 0 ise eğim pozitif, a < 0 ise negatiftir. |a| büyüdükçe doğru y eksenine yaklaşır (dikleşir), küçüldükçe x eksenine yaklaşır (yatıklaşır).
| Fonksiyon | x = −2 | x = −1 | x = 0 | x = 1 | x = 2 | Eğim |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 1 |
| h(x) = 3x | −6 | −3 | 0 | 3 | 6 | 3 |
| k(x) = x/2 | −1 | −0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1/2 |
| m(x) = −2x | 4 | 2 | 0 | −2 | −4 | −2 |
| n(x) = −3x/2 | 3 | 1,5 | 0 | −1,5 | −3 | −3/2 |
Bütün satırlarda x = 0 sütunu 0’dır. Sebebi açık: g(x) = ax fonksiyonlarının hepsi orijinden geçer ve sıfırı x = 0’dır. a ne olursa olsun bu değişmez; değişen tek şey doğrunun eğimidir.
İspat: ∀c, d ∈ ℝ ve c < d olsun.
a > 0 iken c < d eşitsizliğinin iki tarafı a ile çarpıldığında
a · c < a · d olur; yani c < d için
g(c) < g(d).
Bağımsız değişken artarken bağımlı değişken de artmaktadır. Bu durumda
g gerçek sayılarda artan fonksiyondur.
Aynı adımlar, tek farkla: a < 0 iken bir eşitsizliğin iki
tarafını a ile çarpmak eşitsizlik yönünü ters çevirir.
c < d için a · c > a · d, yani
g(c) > g(d) olur.
Bağımsız değişken artarken bağımlı değişken azalmaktadır; bu durumda
g gerçek sayılarda azalan fonksiyondur.
Bütün fark, negatif sayıyla çarparken yön çevirme kuralından çıkıyor.
2. Uygulama: kırmızı ışıkta duran A ve B araçları 20 saniye boyunca sabit ivmeyle
hızlanıyor. Zamana bağlı hızları:
h: [0, 20] → ℝ, h(x) = x/2 ve
k: [0, 20] → ℝ, k(x) = 2x.
Minimum değerler: h(0) = 0 ve k(0) = 0 — ikisi de duruyordu.
Maksimum değerler: h(20) = 10 m/sn. ve k(20) = 40 m/sn.
20 saniyenin sonunda B aracının hızı A aracının dört katıdır,
çünkü eğimi dört kat büyüktür (2 ile 1/2). Eğim burada
“saniyede kaç m/sn. hızlandığı” anlamına gelir.
Grafik çizim adımları: önce m(x) = ax grafiği çizilir; sonra b ∈ ℝ⁺ ise bu grafik y ekseni boyunca pozitif yönde b birim, b ∈ ℝ⁻ ise negatif yönde |b| birim ötelenir. Yani b, eğime hiç dokunmaz — doğrunun dikliği aynı kalır, yalnız yeri değişir. Ötelenen doğru y eksenini (0, b) noktasında keser.
| Fonksiyon | x = −2 | x = −1 | x = 0 | x = 1 | x = 2 | y eksenini kestiği nokta |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | (0, 0) |
| h(x) = 2x − 5 | −9 | −7 | −5 | −3 | −1 | (0, −5) |
| k(x) = x/4 + 1 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | (0, 1) |
| m(x) = −x + 3 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | (0, 3) |
| n(x) = −3x − 4 | 2 | −1 | −4 | −7 | −10 | (0, −4) |
x = 0 sütununa bak: her satırda doğrudan b değeri çıkıyor. Sebep basit — g(0) = a · 0 + b = b. Bu yüzden bir doğrusal fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın ordinatı her zaman b’dir ve grafikten b’yi okumak için hesap yapmaya gerek yoktur.
3. Uygulamadaki bağlam: dört koşucu ve bir hakem. 1 ve 2. koşucu başlangıç
çizgisinde; 3. koşucu çizgiye 2 m, 4. koşucu 3 m uzaklıkta; hakem 6 m uzakta ve
hareket etmiyor. Hızlar sırasıyla 6 · 7,5 · 5 · 2,5 m/sn.
Zamana bağlı konumlarını veren fonksiyonlar:
| Kim | Başlangıç konumu (b) | Hız (a) | Fonksiyon | Artan mı? |
|---|---|---|---|---|
| 1. koşucu | 0 m | 6 m/sn. | g(x) = 6x | artan |
| 2. koşucu | 0 m | 7,5 m/sn. | h(x) = 7,5x | artan |
| 3. koşucu | 2 m | 5 m/sn. | k(x) = 5x + 2 | artan |
| 4. koşucu | 3 m | 2,5 m/sn. | m(x) = 2,5x + 3 | artan |
| Hakem | 6 m | 0 | n(x) = 6 | sabit |
Tabloyu okumanın kısayolu: b, grafiğin y eksenini kestiği yer = başlangıçtaki konum; a, doğrunun eğimi = hız. Hakemin fonksiyonunda a = 0 olduğu için grafiği x eksenine paralel bir doğrudur — bir sonraki bölümün konusu.
En sık karışan iki nokta şunlar:
y eksenini kestiği nokta: (0, b) — x = 0 iken y ne oluyor?
x eksenini kestiği nokta (sıfırı): (−b/a, 0) — y = 0 iken x ne oluyor?
h(x) = 2x − 5 için y eksenini kestiği nokta (0, −5),
sıfırı ise 2x − 5 = 0 ⇒ x = 5/2’dir. İkisi bambaşka
sayılardır. Soru “grafik y eksenini nerede keser” diyorsa cevap b;
“fonksiyonun sıfırı kaçtır” diyorsa cevap −b/a’dır.
Bu bölüm matematik yazılımında iki sürgü hareket ettirerek gözlenir. Aynı gözlemi aşağıdaki panoda yapabilirsin: a’yı düğmelerden, b’yi kaydıraktan seç; grafik, işaret tablosu, sıfır ve bütün nitel özellikler anında güncellensin. Amaç şu tek cümleyi kendi gözünle doğrulamak: a doğrunun yönünü ve dikliğini, b ise yerini belirler; ikisi birlikte fonksiyonun sıfırını (−b/a) verir.
| Nitel özellik | a > 0 | a < 0 |
|---|---|---|
| En geniş tanım kümesi | ℝ | ℝ |
| Görüntü kümesi | ℝ | ℝ |
| Eğim | pozitif | negatif |
| Fonksiyonun sıfırı | n = −b/a | n = −b/a |
| İşareti | (−∞, n) negatif · (n, ∞) pozitif | (−∞, n) pozitif · (n, ∞) negatif |
| Artanlık-azalanlık | artan | azalan |
| Maksimum noktası | yok | yok |
| Minimum noktası | yok | yok |
| Bire birliği | bire bir | bire bir |
| y eksenini kestiği nokta | (0, b) | (0, b) |
Tablonun tamamı Kontrol Noktası maddelerinden geliyor. Dikkat çeken satır işaret satırıdır: a > 0 ile a < 0 durumlarında işaretler yer değiştirir. Öteki bütün satırlar a = 0 olmadığı sürece aynı kalır.
| x | −∞ | n | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | − | 0 | + |
| x | −∞ | n | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | + | 0 | − |
Ezberlemenin en kısa yolu: tablonun sağ ucundaki işaret, a’nın işaretidir. Sıfırın (n’nin) sağında g(x) her zaman a ile aynı işareti taşır; solunda ise tersi. Böylece iki tabloyu ayrı ayrı ezberlemene gerek kalmaz.
2. Örnek. Bir taksi A kentinden B kentine 1 saatte gidiyor.
Ücret: f: [0, 100] → [30, 1730], f(x) = 17x + 30.
Bağımsız değişken alınan yol (km), bağımlı değişken ücret (TL).
Eğim 17’dir ve taksimetrenin kilometre başına yazdığı
ücreti ifade eder; b = 30 ise açılış ücretidir
(0 km’de bile ödenen). Eğim pozitif olduğundan fonksiyon artandır: yol arttıkça ücret artar.
Benzin: g(x) = −x/10 + 20. Bağımsız değişken süre (dk.),
bağımlı değişken kalan benzin (l). Yolculuk 60 dakika sürdüğü için
tanım kümesi [0, 60]’tır.
g(0) = 20 l ve g(60) = −6 + 20 = 14 l olduğundan
görüntü kümesi [14, 20]’dir.
Eğim −1/10’dur ve 1 dakikada harcanan benzini gösterir;
negatif olması azalanlıkla ilgilidir.
Benzin ne zaman biter? Bu, fonksiyonun sıfırıdır:
−x/10 + 20 = 0 ⇒ x = 200 dakika.
Tanım: g: ℝ → ℝ, g(x) = a · f(x ± r) ± k ve r, k ∈ ℝ olmak üzere a = 0 için g(x) = k şeklinde tanımlı g fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyon da bir doğrusal fonksiyondur. Grafiği x eksenine paralel bir doğrudur ve eğimi 0’dır. Koşu pisti örneğindeki hakem tam olarak budur: zaman geçiyor ama konumu değişmiyor.
g(x) = k (k ≠ 0 alalım):
Tanım kümesi: ℝ
Görüntü kümesi: {k} — tek elemanlı!
Eğim: 0
Sıfırı: yok (k ≠ 0 ise grafik x eksenini hiç kesmez)
İşareti: k > 0 ise her yerde pozitif, k < 0 ise her yerde negatif
Artanlık: ne artan ne azalan — sabit
Maksimum ve minimum değer: ikisi de k
Bire birliği: bire bir DEĞİLDİR
3. Sıra Sizde sorusu: a ∈ ℝ olmak üzere
g(x) = (a − 4)x + 2a şeklinde tanımlı g fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Sabit fonksiyon olması, x’in katsayısının sıfır olması demektir:
a − 4 = 0 ⇒ a = 4.
Bu değeri yerine koyarsak g(x) = 2 · 4 = 8, yani
g(x) = 8 olur. Grafiği, y eksenini (0, 8) noktasında
kesen ve x eksenine paralel bir doğrudur; görüntü kümesi {8}’dir.
“a ≠ 0 olduğunda g fonksiyonu bire birdir” denir —
yani a = 0 hâli bu maddenin dışında bırakılmış.
Sebebi tek örnekle görünür: g(x) = 8 fonksiyonunda
g(1) = 8 ve g(2) = 8’dir. Farklı iki girdi aynı çıktıyı
verdiğinden bire birlik bozulur.
Grafikten de görünür: y = 8 yatay doğrusu grafiği sonsuz
noktada keser. Aynı sebeple sabit fonksiyon ne artandır ne azalan — üçüncü bir
seçenek vardır ve adı sabittir.
Bazı gerçek durumlar tek bir cebirsel temsille ifade edilemez. Buz ısıtılırken sıcaklık dakikada 4 °C artar; erimeye başlayınca hiç artmaz; su ısınırken dakikada 5 °C artar. Aynı olayın farklı evrelerinde farklı eğimler vardır. Böyle fonksiyonlar tanım kümesi parçalara ayrılıp her parçaya ayrı bir cebirsel temsil yazılarak gösterilir; buna parçalı gösterim denir.
| Suyun hâli | Dakika başına sıcaklık değişimi (°C) | Zaman aralığı (dk.) | Sıcaklık aralığı (°C) | Cebirsel temsil |
|---|---|---|---|---|
| Buz | 4 | [0, 5) | [−20, 0) | f(t) = 4(t − 5) |
| Buz ve su | 0 | [5, 20) | {0} | f(t) = 0 |
| Su | 5 | [20, 40) | [0, 100) | f(t) = 5(t − 20) |
| Su ve buhar | 0 | [40, 60) | {100} | f(t) = 100 |
| Buhar | 1 | [60, 80] | [100, 120] | f(t) = t + 40 |
Tanım kümesi: [0, 80] · Görüntü kümesi: [−20, 120]
Tablodaki en öğretici satırlar eğimi 0 olan iki satırdır.
Erime ve kaynama sırasında verilen ısı hâl değiştirmeye harcandığı için sıcaklık artmaz;
matematiksel olarak o aralıklarda fonksiyon sabit fonksiyondur.
Buhar evresindeki eğim 1’dir; su evresindeki 5’e göre çok daha yatık bir doğru çıkar.
4. Örnek: bir servis sağlayıcı, ilk 100 GB için aylık
200 TL sabit ücret, her 1 GB fazladan veri için
0,5 TL alıyor.
a) Fonksiyon nerede değişiyor? Tablo ve grafiğe göre
kullanılan veri miktarı 100 GB’ı geçtiğinde.
b) Kaç cebirsel temsil gerekir? [0, 100] ve (100, ∞)
aralıkları için iki ayrı temsil.
c) Parçalı gösterim:
| Aralık | Cebirsel temsil | Anlamı |
|---|---|---|
| 0 ≤ x ≤ 100 | g(x) = 200 | Sabit ücret — sabit fonksiyon, eğim 0 |
| 100 < x | h(x) = 200 + 0,5 · (x − 100) | Sabit ücret + fazladan verinin ücreti |
Fonksiyon f: [0, ∞) → [200, ∞) biçiminde tanımlıdır. 150 GB kullanan biri 200 + 0,5 · 50 = 225 TL öder. Grafikte ilk parça yatay bir doğru, ikinci parça eğimi 0,5 olan bir doğrudur ve ikisi x = 100’de birleşir — kırılma noktası tam oradadır.
Tarife örneğinde x = 100 değeri ilk parçaya dâhildir
(0 ≤ x ≤ 100), ikinci parça 100’den sonra başlar (100 < x).
Böyle olmak zorundadır: bir x değerine iki farklı y karşılık
gelirse ortada fonksiyon yoktur.
Aynı sebeple buz örneğinde aralıklar [0, 5), [5, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80] diye
yazılmış — her sınır tam olarak bir aralığa düşüyor.
Parçalı gösterim yazarken ilk kontrol edilecek şey budur:
aralıklar örtüşmemeli ve arada boşluk kalmamalı.
Her soruda bir g(x) = ax + b veriliyor. Hesap yapmadan önce şunu sor: a’nın işareti ne, b kaç? Cevapların çoğu bu iki sayıdan çıkıyor.
ax + b kalıbının gündelik adı şudur: b sabit bir başlangıç, a ise birim başına değişim. Bir kez bu gözle bakmaya başlayınca kalıbı her yerde görürsün.
Örnek: f(x) = 17x + 30.
b = 30 açılış ücretidir — daha hiç yol gitmeden ödersin.
a = 17 kilometre başına ücrettir.
İki taksi arasında seçim yaparken kısa mesafede b’si küçük
olan, uzun mesafede a’sı küçük olan ucuza gelir.
İki doğrunun kesiştiği mesafe, kararın değiştiği noktadır.
4. Örnek: ilk 100 GB için 200 TL, sonrası GB başına 0,5 TL.
İlk parçada fonksiyon sabittir: 40 GB da kullansan
90 GB da kullansan fatura aynı. 100 GB’ı geçtiğin an fonksiyon
artan hâle geçer.
“Kotayı aşmak” dediğimiz şey matematikte tam olarak
parçalı fonksiyonun kırılma noktasıdır.
Bir salon aylık 400 TL üyelik + ders başına 50 TL alıyorsa aylık gider
g(x) = 50x + 400’dür.
Başka bir salon üyelik almadan ders başına 120 TL istiyorsa
h(x) = 120x. İki doğru
50x + 400 = 120x ⇒ x ≈ 5,7 derste kesişir.
Yani ayda 6 dersten fazla gidiyorsan birinci salon
ucuzdur. Bu, iki doğrunun kesişim noktasının gündelik karşılığıdır.
%100 şarjlı telefonun her saat %8 pil harcıyorsa kalan şarj
g(x) = −8x + 100’dür.
a = −8 negatif olduğu için fonksiyon azalandır;
b = 100 başlangıç şarjıdır.
Telefonun ne zaman kapanacağını bulmak, fonksiyonun sıfırını bulmaktır:
−8x + 100 = 0 ⇒ x = 12,5 saat.
Koşucu örneği: 3. koşucu çizgiden 2 m önde ve saniyede 5 m koşuyorsa
k(x) = 5x + 2.
Arkadan gelen 2. koşucu h(x) = 7,5x ile daha hızlı.
Ne zaman yakalar? 7,5x = 5x + 2 ⇒ x = 0,8 sn.
Öndeki avantaj b’dedir, yakalayan güç a’dadır.
Yeterince uzun bir yarışta a’sı büyük olan her zaman kazanır.
2. Sıra Sizde örneği: bir kaba dakikada 1 litre, başka bir kaba dakikada 2 litre
su akıyor; ikinci kapta başlangıçta 2 litre su var.
f(x) = x ve g(x) = 2x + 2.
Başlangıçtaki 2 litre grafiği 2 birim yukarı öteler;
debinin iki kat olması eğimi ikiye katlar.
Hangi kap önce dolar sorusunun cevabı eğimden okunur.
Bir araç lastiği 32 psi’ye şişiriliyor ve her gün 2 psi düşüyor. Zamana bağlı basınç
f(x) = −2x + 32’dir.
Basınç 14 psi’ye düştüğünde müdahale ediliyorsa
−2x + 32 = 14 ⇒ x = 9 gün geçmiş demektir.
Tanım kümesi [0, 9], görüntü kümesi [14, 32]’dir.
“Ne zaman kontrol etmeliyim” sorusu, bir denklem çözmeye indirgenmiş oldu.
Okul çantası üreten bir şirketin günlük sabit maliyeti 40 000 TL, her çanta 120 TL’ye
mal oluyorsa toplam maliyet m(x) = 120x + 40 000’dir.
b = 40 000 hiç üretim yapılmasa bile ödenen sabit gider
(kira, elektrik); a = 120 her ek çantanın maliyeti.
Bu yüzden fabrikalar çok üretmek ister: sabit gider aynı kalırken
çanta başına düşen pay küçülür.
Bir uçağın kalkış, seyir ve iniş evrelerinde yerden yüksekliği
üç ayrı doğrusal fonksiyondur: kalkışta artan,
seyirde sabit, inişte azalan.
Üçü birlikte bir parçalı gösterimli fonksiyon oluşturur.
İniş kalkıştan uzun sürüyorsa iniş doğrusunun eğimi
mutlak değerce daha küçüktür — aynı yüksekliği daha uzun sürede kat eder.
Uçuş takip uygulamalarındaki yükseklik grafiği tam olarak budur.
48 soruluk test · a katsayısı ve eğim, b katsayısı ve öteleme, sıfır (−b/a) ile işaret tablosu, artanlık-azalanlık ve bire birlik, sabit fonksiyon, parçalı gösterimli fonksiyonlar ve gerçek hayat modelleri
a doğrunun eğimidir.
a > 0 → artan · a < 0 → azalan · a = 0 → sabit
|a| büyüdükçe doğru y eksenine yaklaşır (dikleşir).
Grafik y eksenini (0, b) noktasında keser.
b > 0 → grafik b birim yukarı ötelenir
b < 0 → grafik |b| birim aşağı ötelenir
b eğime dokunmaz.
Sıfırı: n = −b/a
a > 0 → (−∞, n) negatif, (n, ∞) pozitif
a < 0 → (−∞, n) pozitif, (n, ∞) negatif
Kısayol: n’nin sağındaki işaret, a’nın işaretidir.
Tanım kümesi ℝ, görüntü kümesi
ℝ.
Bire birdir.
Maksimum ve minimum noktası yoktur.
a = 0 için g(x) = k. Sabit fonksiyon da bir doğrusal
fonksiyondur.
Görüntü kümesi {k}, eğim 0,
bire bir değildir.
k ≠ 0 ise sıfırı yoktur.
Tek cebirsel temsil yetmiyorsa tanım kümesi parçalara ayrılır.
Aralıklar örtüşmemeli, arada
boşluk kalmamalı.
Örnek: f(x) = 200 (0 ≤ x ≤ 100) · 200 + 0,5(x − 100) (100 < x)