Üçgeni nasıl
çizersen çiz,
toplam 180°.
Ünitenin açılış sorusu bir destek üzerindeki tahta parçasıyla başlıyor: paralel iki doğru ve bir üçgen. Oradan çıkan sonuç, düzlemsel geometrinin temel özelliklerinden biridir — bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180 derecedir. Bu ünite o teoremi ispatlıyor, üstüne dış açı teoremini kuruyor ve ikizkenar ile eşkenar üçgenle bitiriyor.
Teorem: Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°’dir.
Verilenler: ABC üçgeni. İspatlanacak ifade:
m(A) + m(B) + m(C) = 180°.
Bu teorem iki paralel doğrunun bir kesenle yaptığı açılar
üzerinden ispatlatıyor. Aşağıdaki üç adımı sırayla aç.
Bir yerin Ekvator’a uzaklığının derece, dakika ve saniye cinsinden açısal değerine
enlem denir. Kuzey yarım kürede
Kutup Yıldızı’nın görünüm açısının ölçüsü, bulunulan enlem
derecesini verir.
Kutup Yıldızı A, İstanbul P noktasıyla modelleniyor; [OA ∥ [PC ve yıldızın İstanbul’dan
görünüm açısı 41°.
· [OA ∥ [PC olduğundan m(OAP) = m(APC) = 41° (iç ters açılar).
· AOP dik üçgeninde 41° + 90° + m(O) = 180° ⇒ m(O) = 49°.
· [OA ile [OB aynı doğru üzerinde olduğundan
α + 49° = 90° ⇒ α = 41°.
İstanbul’un kuzey enlemi 41° bulunur — görünüm açısıyla
aynı sayı. Teoremin işe yaradığı yer burası: iki açının eşit olduğunu
ölçmeden, yalnız akıl yürüterek gösterdik.
Üç açı verildiğinde bir üçgen çizilebilmesi için üçünün toplamının
tam 180° olması ve her birinin
0°’den büyük olması gerekir.
Bu yüzden bir üçgende en fazla bir tane dik açı ya da geniş açı
bulunabilir: iki dik açı zaten 180° yapar, üçüncü açıya yer kalmaz. Aynı sebeple
bir üçgende en az iki açı dar açıdır.
Sınavda “ölçüleri 90°, 60° ve 40° olan üçgen” gibi bir ifade görürsen, hesap yapmadan önce
toplamı kontrol et: 190° > 180°, böyle bir üçgen yoktur.
Teorem: Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360°’dir.
Verilenler: ABC üçgeni ve dış açılarının ölçüleri x, y, z. İspatlanacak ifade:
x + y + z = 360°. Bu teorem
iç açılar toplamından yararlanarak ispatlatıyor.
I. adım. Bir köşedeki iç açı ile ona komşu dış açı
bütünlerdir (doğru açı oluştururlar, toplamları 180°).
Buradan üçgenin iç açıları dış açılar cinsinden yazılır:
m(A) = 180° − x · m(B) = 180° − y ·
m(C) = 180° − z
II. adım. Gerekçe: üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı
180°’dir. O hâlde
(180° − x) + (180° − y) + (180° − z) = 180°
III. adım. II. adımda elde edilen eşitlik düzenlenir:
540° − (x + y + z) = 180° ⇒ x + y + z = 360°.
İspat tamamlanır. Dikkat et: hiçbir yerde “şekle bakıp ölçtük” demedik — sonuç
bütün üçgenler için geçerlidir.
Bir usta üç çubuğu duvara D, B, C ve E noktalarından vidalamış. D ve E’deki vidalar çıkınca
I ve III numaralı çubuklar B ve C etrafında dönüp P noktasında
çakışmış. Çakışma anında 3 · m(CPE) = 2 · m(BPD) ve
m(BPC) = 60°.
Çözüm: PBC üçgeni oluşur. Orantıdan m(CPE) = 3x ve
m(BPD) = 2x yazılır. Üçgenin P köşesindeki
dış açısı 180° − 60° = 120°’dir.
Dış açılar toplamı 360° olduğundan:
3x + 2x + 120° = 360° ⇒ 5x = 240° ⇒ x = 48°.
Buradan m(BPD) = 2 · 48° = 96°: I numaralı çubuk ok yönünde
96° dönmüştür.
Buradaki püf nokta, m(BPD) ile m(CPE)’nin PBC üçgeninin P köşesindeki iki
dış açısı gibi değil, öteki iki köşenin dış açıları yerine
geçmesidir: üçlü toplam yine 360°’dir.
Teorem: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan
iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
Verilenler: ABC üçgeni ve ACD dış açısı. İspatlanacak ifade:
m(ACD) = m(ABC) + m(BAC).
I. ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°’dir:
m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180°.
II. ACD ile ACB bütünlerdir (B, C, D doğrusal):
m(ACD) + m(ACB) = 180°.
III. İki eşitliğin sağ tarafları 180°’ye eşit olduğundan
birbirine eşitlenir:
m(ACD) + m(ACB) = m(BAC) + m(ABC) + m(ACB).
IV. Sadeleştirme — iki tarafta da bulunan m(ACB) atılır:
m(ACD) = m(BAC) + m(ABC). İspat tamamlanır.
Aynı teoremin paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı
açılar kullanılarak da ispatlanabileceğini belirtiyor.
21 Mart Down Sendromu Farkındalık Günü şenliği için Mahmut’un tasarladığı uçurtmanın
köşelerindeki açı ölçüleri:
m(BAC) = x + 10° · m(ABD) = 3x − 20° ·
m(BDC) = 5x + 10° · m(DCA) = 80° − 2x
[BD], D’den [AC]’ye kadar uzatılıp kesişim noktasına E denir. ABE üçgeninde DEC bir dış açıdır:
m(DEC) = m(ABD) + m(BAC) = (3x − 20°) + (x + 10°) = 4x − 10°.
DEC üçgeninde BDC de bir dış açıdır:
m(BDC) = m(DEC) + m(DCA)
5x + 10 = (4x − 10) + (80 − 2x) ⇒ 5x + 10 = 2x + 70 ⇒ x = 20°.
Buradan m(BDC) = 5 · 20 + 10 = 110°.
Önerme: ABDC dörtgeninde m(BDC) = x, m(BAC) = a,
m(ABD) = b, m(ACD) = c ise x = a + b + c olur.
I. [BD] ile [AC]’nin kesiştiği noktaya E denerek B ve D’den
geçen doğru çizilir; iki üçgen oluşur.
II. ABE üçgeninde BEC dış açısı, kendisine komşu olmayan iki
iç açının toplamına eşittir: m(BEC) = a + b.
III. ECD üçgeninde BDC dış açısı için aynı teorem uygulanır:
x = m(BEC) + c = a + b + c.
Bu şekil sınavda çok çıkar; “ok ucu” ya da
“çekiç” diye tanınır. Ezberlemek yerine iki kez dış açı
teoremi uygulamak yeter.
Dış açı teoremi komşu olmayan iki iç açının toplamıdır der.
Komşu iç açı ise dış açının bütünleridir, toplamına girmez.
C köşesindeki dış açı için:
· m(ACD) = m(A) + m(B) (komşu olmayan ikisi — doğru)
· m(ACD) + m(ACB) = 180° (komşu olan — bütünler)
İkisini karıştırmanın tipik hâli, dış açıyı üçüncü iç açıya eşitlemektir. Kontrol etmenin
kolay yolu: dış açı, komşu olmayan iki iç açıdan
her birinden büyüktür (üçgen dış açı eşitsizliği).
Kullanılan iki temel özellik: ikizkenar üçgenin taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir ve eşkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60°’dir. Bu ikisi, 180° kuralıyla birleşince pek çok sorunun tamamını çözer.
Ayak uzunlukları eşit bir merdiven söz konusu, yani ayaklar
ikizkenar üçgen oluşturuyor.
a) Merdiven 40° açılırsa:
taban açıları eşit olduğundan her biri (180° − 40°) / 2 = 70°’dir.
Ayağın yer düzlemiyle yaptığı geniş açı ise bu açının
bütünleridir: 180° − 70° = 110°.
b) Merdiven biraz daha açılıp dik duvara dayanıyor ve ayağın
duvarla yaptığı dar açı 28°. Yere çizilen dikmeyle
m(DFE) = 90° − 28° = 62°. İkizkenarlıktan
m(DEF) = m(DFE) = 62°, iç açılar toplamından
m(EDF) = 180° − 124° = 56°.
Merdiven 56° − 40° = 16° daha açılmıştır.
|AB| = |AC|, |CB| = |BD| ve m(BAC) = 50°; A, D, C doğrusal.
m(ABD) = x aranıyor.
· ABC ikizkenar ⇒ m(ABC) = m(ACB) ve iç açılar toplamından
m(ABC) = m(ACB) = (180° − 50°) / 2 = 65°.
· BDC üçgeninde |BD| = |BC| ⇒ m(BCD) = m(BDC) = 65°
(BCD ile ACB aynı açı).
· BDC’nin iç açıları: 65° + 65° + m(DBC) = 180° ⇒ m(DBC) = 50°.
· x = m(ABC) − m(DBC) = 65° − 50° = 15°.
Yöntem hep aynı: eşit kenarları gör, taban açılarını eşitle,
180°’yi uygula, farkı al.
ABC eşkenar üçgen, |EC| = |CD| ve E ile D noktaları AC doğrultusunun iki yanında.
m(AFE) = x aranıyor.
· Eşkenar üçgende her iç açı 60°’dir.
· ECD ikizkenar üçgeninde tepe açısı, 60°’nin bütünleridir:
m(ECD) = 180° − 60° = 120°.
· Taban açıları: m(CDE) = m(CED) = (180° − 120°) / 2 = 30°.
· FBD üçgeninde x, F köşesindeki dış açıdır:
x = m(FBD) + m(FDB) = 60° + 30° = 90°.
İki teorem art arda: ikizkenarda taban açıları, sonra
dış açı teoremi.
A, B, C üç yerleşim yeri; PR doğrusu uçağın rotası. Uçak, üçüne de
eşit uzaklıktaki T noktasındayken
m(BTR) = 20°, m(TRA) = 80°,
m(TRC) = 130°.
Eşit uzaklık demek |TA| = |TB| = |TC| demektir; T ile köşeler
birleştirilince iki ikizkenar üçgen çıkar.
· m(CTA) = 130° − 80° = 50°, |TA| = |TC| ⇒
m(TAC) = m(TCA) = (180° − 50°) / 2 = 65°.
· m(ATB) = 80° − 20° = 60°, |TA| = |TB| ⇒
m(TAB) = m(TBA) = 60° (eşkenar).
· m(BAC) = 60° + 65° = 125°.
[CD], ACB açısının açıortayı; m(BAC) = 36°,
m(BDC) = 72°, |BD| = x, |AC| = y, |BC| = 4 birim ve A, D, B
doğrusal. y − x isteniyor.
· m(ACD) = m(DCB) = θ diyelim. ADC üçgeninde BDC bir dış açıdır:
36° + θ = 72° ⇒ θ = 36°, dolayısıyla
m(ACB) = 72°.
· ABC üçgeninde m(ABC) = 180° − 36° − 72° = 72°.
m(ABC) = m(ACB) olduğundan ABC ikizkenardır ve |AB| = |AC| = y.
· BDC üçgeninde m(DBC) = 72° ve m(BDC) = 72° olduğundan o da ikizkenardır:
|DC| = |BC| = 4.
· ADC üçgeninde m(DAC) = m(ACD) = 36° olduğundan
|AD| = |DC| = 4.
· |AB| = |AD| + |DB| ⇒ y = 4 + x ⇒ y − x = 4.
Bu soruda tek bir uzunluk bile ölçülmedi: bütün kenar eşitlikleri
açı eşitliklerinden çıktı.
“Matematik Tarihinden Notlar” bölümü, bu ünitede yaptığımız işin nereden çıktığını anlatıyor. Babilliler ve Mısırlılar belirli durumları çözmek için kurallar aradı, ayrıntılı doğrulama ihtiyacı duymadı. Yunan filozofları ise uygulamanın mutlak gerçekle ilişkisine odaklandı — “ölçtüm, öyle çıktı” yerine “ispatladım, hep öyle” dendiği yer burasıdır. Aşağıdaki tabloda arama yapabilirsin.
Geometrinin tarihçesi Babillilere kadar uzanır. Arazi
ölçümleriyle ilgilenen Babillilerde en eski kayıtlar
belirli dörtgenlerin ölçümüne odaklanır.
Eski Mısır’da topraklar eşit büyüklükte
kare parsellere bölünerek paylaştırılmış ve halktan
payına düşen toprak miktarı kadar vergi alınmıştır.
Değerlendirme şu: bu iki uygarlık matematiği hem
pratikte uygulanabilir bir alan hem de
özel bir bilgi alanı olarak görmüş; mükemmel doğruluğa
odaklanmamıştır.
Platon’un akademisinde yetişen ilk önemli matematikçi Öklid’dir.
Çok sayıda eser vermiştir ama en önemlisi Elemanlar adlı kitap
serisidir. On üç ciltten oluşan Elemanlar, yüzyıllar boyunca
geometrinin temel kaynaklarından biri kabul edilmiş; kitabın
İslam dünyasında yapılan çevirileri büyük ilgi görmüştür.
Sabit bin Kurra (836–901), “Arapların Öklid’i” olarak anılmış ve
Öklid’in paralel postulatı üzerine yapılan tartışmalara
katılmıştır. Bu konudaki çalışmalarının izleri 18. yüzyıl matematikçileri
Lambert ve Saccheri’nin
çalışmalarında görülür.
Açı sorularında zaman kaybının sebebi hesap değil, yanlış teoremle başlamaktır. Aşağıdaki durumlar karışık sırayla geliyor; her biri için kullanılacak bilgiyi ya da sonucu seç.
İç açılar toplamı 180° kuralı yalnız sınav sorusu değil; bir şeyin kaç derece döndüğünü ya da ne kadar açıldığını ölçmeden bulmanın yoludur.
Ders çalışırken laptopun ekranını geriye yatırıyorsun. Ekran, klavye düzlemiyle
115° yaptığında, ekranın masaya olan dikmesiyle yaptığı açı
115° − 90° = 25°’dir.
Ekran kenarı, klavye kenarı ve masaya inen dikme birlikte bir
dik üçgen oluşturur; iç açılar toplamı 180° olduğu için
üçüncü açı 65°’tir. Boyun ağrısını azaltmak için önerilen
“ekran göz hizasına yakın olsun” tavsiyesi, aslında bu açıyı
küçültmek demektir.
Bisiklet kadrosu üçgenlerden kurulur, çünkü üçgen şekil değiştirmeyen
tek çokgendir: kenar uzunlukları sabitse açıları da sabittir.
Kadronun ön üçgeninde sele borusu ile yatay boru arasındaki açı
73°, yatay boru ile ön çatal arasındaki açı
71° ise üçüncü açı
180° − 73° − 71° = 36°’dir.
Bir dörtgen kadro pes eder (paralelkenara dönüşür); üçgen kadro
dönmez. Bu, “üçgenlerin yapısal tutarlılığı”
dediği şeyin en somut örneğidir.
Kollu masa lambasının alt kolu masayla 55°, üst kolu alt kolla
100° açı yapıyor. Üst kolun masa düzlemine göre eğimi kaç derece?
Alt kolun uzantısı üzerinde bir dış açı oluşur:
180° − 100° = 80°, alt kolun masayla açısı 55° olduğuna göre
üst kol masayla 80° − 55° = 25° açı yapar.
Işığın kitabına hangi açıyla düştüğünü değiştirmek, aslında bu üçgenin
açılarını değiştirmektir; parlamayı azaltmak için
ışığı kitaba dik değil, yandan düşürmek gerekir.
Okulun bahçesindeki kaykay rampası bir dik üçgen kesitine sahip.
Rampanın yerle yaptığı açı 18° ise, arkadaki dik kenarla
rampa yüzeyi arasındaki açı 180° − 90° − 18° = 72°’dir.
Açıyı 18°’den 25°’ye çıkarmak rampayı dikleştirir: aynı yükseklik
için taban kısalır, hız artar ama iniş sertleşir. Rampa tasarımı bu yüzden bir
açı seçme işidir, uzunluk seçme işi değil.
Bilardoda topu banda çarptırıp hedefe göndermek, geliş açısı = gidiş
açısı ilkesine dayanır. Bant, gelen ve giden yollarla bir üçgen çevirir.
Topun banda 35° ile geldiğini varsay: aynı açıyla ayrılır, bandın
diğer tarafındaki köşede oluşan üçgende üçüncü açı
180° − 35° − 35° = 110°’dir.
Yani gelen ve giden yol arasındaki açı hep 110° olur.
Bu, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliğinin oyun masasındaki hâlidir.
Kamp çadırının kesiti ikizkenar üçgen. Tepe direği yere dik ve tepe açısı
50° ise taban açıları
(180° − 50°) / 2 = 65°’tir.
Tepe açısını küçültmek (mesela 30°) tabanı daraltır ama
taban açılarını 75°’ye çıkarır: çadır dikleşir, üstünde yağmur
birikmez ama içeride oturacak yer azalır.
Merdiven örneğiyle aynı hesap: tepe açısı değişince taban
açıları ters yönde değişir, çünkü toplam sabittir.
Sınıfın köşesine üçgen bir flama asıyorsun; iki ip duvarın iki noktasına, flama aşağıya
sarkıyor. İplerin duvarla yaptığı açılar 40° ve
55° ise, flamanın tepesindeki açı
180° − 40° − 55° = 85°’tir.
Flamanın düz asılması için iki ipin açılarının
eşit olması gerekir — o zaman üçgen ikizkenar olur ve tepe
noktası, iki asma noktasının tam ortasının altına düşer.
Telefonundaki pusula veya eğim ölçer uygulaması, baktığın noktanın
yükselme açısını verir. Okulun bayrak direğine 20 metre uzaktan
bakıp 32° ölçtün.
Sen, direğin dibi ve direğin tepesi bir dik üçgen oluşturur:
bir açı 90°, biri 32°, üçüncüsü 58°. Yüksekliği hesaplamak
trigonometri gerektirir ama üçgenin açılarını bu ünitedeki
tek kuralla, hiçbir ölçüm yapmadan tamamlarsın.
Sahne ışığı tavandan sahneye 45° ile düşüyor. Işığın
yere düştüğü nokta, oyuncunun ayakları ve oyuncunun başı bir üçgen oluşturur; oyuncu dik
durduğuna göre bir açı 90°’dir ve üçüncü açı
45° çıkar.
İki açısı eşit olduğu için bu üçgen ikizkenardır: oyuncunun
gölgesinin uzunluğu, boyuna eşittir. Işığın açısını 60°’ye
çıkarırsan gölge kısalır — sahne tasarımcıları gölge boyunu böyle ayarlar.
47 soruluk test · iç açılar toplamı teoremi ve paralel doğrularla ispatı, dış açılar toplamı, dış açı teoremi, ikizkenar ve eşkenar üçgende açı hesapları, yedi çözümlü örnek ve geometri tarihi
m(A) + m(B) + m(C) = 180°
İspat: bir köşeden karşı kenara paralel bir doğru çizilir;
iç ters açılar eşitliğiyle üç açı bir doğru açıya taşınır.
x + y + z = 360°
İspat: her dış açı, komşu iç açının bütünleridir;
540° − 180° = 360°.
m(ACD) = m(A) + m(B)
Komşu olan iç açı toplama girmez; onunla
bütünlerdir.
Taban açılarının ölçüleri eşittir.
Tepe açısı t ise taban açıları
(180° − t) / 2.
t = 40° ⇒ taban 70°, dış açı 110°.
Üç iç açı da eşit ve 60°’dir.
Bir kenarının uzantısıyla oluşan dış açı
120°’dir.
x = a + b + c
İki kez dış açı teoremi: önce ABE üçgeninde, sonra ECD üçgeninde.
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Ünite 14’ün konusu buradan başlar.
Üç açının toplamı tam 180° ve her biri
0°’den büyük olmalı.
Bir üçgende en fazla bir dik ya da geniş açı bulunur.
Babilliler ve Mısırlılar kural aradı;
Yunan filozofları ispat aradı.
Öklid’in Elemanlar’ı on üç cilttir;
Sabit bin Kurra (836–901) paralel postulat tartışmasına katılmıştır.