Ne kadar
saptı?
Yönü önemsiz.
Vücut sıcaklığın 36,2 °C de olsa 36,8 °C de olsa ortalamadan sapman 0,3 °C’tur. Yön değişse de uzaklık değişmez — mutlak değerin işi tam olarak budur. Tanımıyla: bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığı mutlak değer kavramıyla ifade edilir. Bu ünite, o uzaklığı bir fonksiyona çevirip grafiğini okumayı öğretiyor.
Ünitenin açılış örneği: deniz seviyesine dik bir k doğrusu üzerinde beş nokta var — kimi seviyenin üstünde, kimi altında. Noktanın konumunun karşılık geldiği sayı bağımsız değişken, deniz seviyesine olan uzaklığı bağımlı değişkendir. Sayı −2 ise uzaklık 2, sayı 3 ise uzaklık 3’tür. Bu ilişki g(x) = |x| fonksiyonuyla ifade edilir ve uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz — görüntü kümesinin [0, ∞) olmasının tek sebebi budur.
| Nokta | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| k doğrusundaki sayı (x) | −2 | −3/2 | 5/3 | 4 | 5 |
| Deniz seviyesine uzaklık (birim) | 2 | 3/2 | 5/3 | 4 | 5 |
Üçüncü satır, ikinci satırın işaretinden arındırılmış hâlidir. Bağımlı değişkeni veren cebirsel temsil bu yüzden g(x) = |x|’dir. Deniz seviyesinin altında olan bir noktayla aynı uzaklıktaki üstteki nokta aynı değeri verir — fonksiyonun neden bire bir olmadığının ilk işareti budur.
Soru şu: yerden 30 m yükseklikteki balkona çıkıp eşya alan ve
aynı noktaya geri dönen bir yük asansörünün zamana bağlı
yüksekliği nasıl gösterilir? İnmesi 10 saniye sürüyor.
Cevap tam olarak bu ünitenin konusudur: yükseklik önce artar,
sonra azalır. Tek bir doğrusal fonksiyon bunu veremez; grafik
ters V biçiminde olur ve
mutlak değerli bir fonksiyonla ya da eşdeğer olarak
parçalı gösterimle yazılır.
Üçüncü sorunun cevabı da buradan çıkıyor: “sadece bir cebirsel ifade ile
gösterilebilir mi?” — evet, mutlak değer kullanılırsa.
Parçalı gösterimler: g(x) = |x| için x < 0 iken g(x) = −x, x ≥ 0 iken g(x) = x; h(x) = −|x| için x < 0 iken h(x) = x, x ≥ 0 iken h(x) = −x. Yani her ikisi de iki doğrusal parçadan oluşur ve x = 0’da kırılır. Aşağıdaki panoda dört fonksiyonu yan yana gez.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | − | 0 | + | ||
| g(x) = |x| | + | 0 | + | ||
| h(x) = −|x| | − | 0 | − |
Kontrol Noktası’ndaki tablo. Okunuşu: f’nin işareti
x < 0 için negatif, x > 0 için pozitiftir; g’nin işareti hem x < 0 hem x > 0
için pozitif; h’nin işareti hem x < 0 hem x > 0 için negatiftir.
Bir mutlak değer fonksiyonunun işaret tablosu bu yüzden
bölge değiştirmez — sıfırı olan noktada 0 yazılır,
onun dışında baştan sona tek bir işaret vardır. Doğrusal fonksiyonlardan en belirgin farkı budur.
Tanım kümesi: ℝ
Görüntü kümesi: [0, ∞)
Sıfırı: x = 0
İşareti: x ≠ 0 için her yerde pozitif
Maksimum noktası: yok
Minimum noktası: x = 0 (minimum değer 0)
Bire birliği: bire bir değil
Artan-azalan: (−∞, 0] azalan · [0, ∞) artan
Tanım kümesi: ℝ
Görüntü kümesi: (−∞, 0]
Sıfırı: x = 0
İşareti: x ≠ 0 için her yerde negatif
Maksimum noktası: x = 0 (maksimum değer 0)
Minimum noktası: yok
Bire birliği: bire bir değil
Artan-azalan: (−∞, 0] artan · [0, ∞) azalan
Grafik çizme yöntemi iki adımlıdır: önce f(x) = ax + b doğrusunun grafiği çizilir; ardından f’nin işaretinin negatif olduğu kısmın x eksenine göre yansıması alınır. Sonuç, tepesi x = −b/a noktasında olan bir V biçimidir. h(x) = −|ax + b| grafiği ise g’nin grafiğinin x eksenine göre yansımasıyla elde edilir ve ters V olur.
| Nitel özellik | f(x) = |ax + b| | g(x) = −|ax + b| |
|---|---|---|
| En geniş tanım kümesi | ℝ | ℝ |
| Görüntü kümesi | [0, ∞) | (−∞, 0] |
| Fonksiyonun sıfırı | x = −b/a | x = −b/a |
| İşareti | x ≠ −b/a için pozitif | x ≠ −b/a için negatif |
| Maksimum noktası | yok | x = −b/a (değer 0) |
| Minimum noktası | x = −b/a (değer 0) | yok |
| Bire birliği | bire bir değil | bire bir değil |
| Azalan olduğu aralık | (−∞, −b/a] | [−b/a, ∞) |
| Artan olduğu aralık | [−b/a, ∞) | (−∞, −b/a] |
a > 0 olmak üzere f(x) = |ax + b| fonksiyonunun parçalı gösterimi şudur: x < −b/a iken f(x) = −ax − b, x ≥ −b/a iken f(x) = ax + b. g(x) = −|ax + b| için ise işaretler tersine döner: x < −b/a iken g(x) = ax + b, x ≥ −b/a iken g(x) = −ax − b.
Kontrol Noktası’nda açıkça yazar: f fonksiyonu bire bir
değildir. Sebebi tepe noktasının iki yanındaki simetridir:
|−3| = |3| = 3’tür, yani iki farklı girdi aynı çıktıyı verir.
5. Örnekteki karşılığı: sıcaklığın 18,2 °C ve 21,8 °C ölçüldüğü günlerde sapma
miktarı ikisinde de 1,8 °C’tur; buradan
g fonksiyonunun bire bir olmadığı görülür.
Ama dikkat: fonksiyon tepe noktasının bir yanına daraltılırsa
bire bir olur. 6. Örnekte tam olarak bu yapılıyor: h fonksiyonu
(0, 5/2) ve (5/2, 8) aralıklarının her birinde ayrı ayrı bire birdir.
Kurallar çok net: t(x) = |ax + b| + c grafiği, g(x) = |ax + b| grafiğinin y ekseni boyunca pozitif yönde c birim ötelenmesiyle; r(x) = |ax + b| − c grafiği ise negatif yönde c birim ötelenmesiyle elde edilir. Aynı kural ters V için de geçerlidir: k(x) = −|ax + b| + c, h grafiğinin c birim yukarı; m(x) = −|ax + b| − c ise c birim aşağı ötelenmesidir.
İzlenen sıra, karışıklığı önlemek için ezberlenmeye değer:
1. Önce y = ax + b doğrusu
çizilir.
2. Doğrunun negatif değer aldığı
kısım x eksenine göre yansıtılır → |ax + b| elde edilir (V).
3. Başta eksi varsa tamamı
x eksenine göre yansıtılır → −|ax + b| (ters V).
4. En son ± c kadar dikey
öteleme yapılır.
Sıra bozulursa sonuç yanlış çıkar: önce ötelenip sonra
yansıtılan grafik farklı bir fonksiyon verir.
a, b, c ∈ ℝ⁺ olsun. Grafiğin y eksenini kestiği noktanın ordinatı, x = 0 konularak bulunur:
g(x) = |ax + b| → b
t(x) = |ax + b| + c → b + c
r(x) = |ax + b| − c → b − c
Grafik 2.9 için düşülen not önemli: b < c ise
r grafiğinin y eksenini kestiği noktanın ordinatı negatiftir; b > c ise pozitif
olacağına dikkat ediniz. Yani aşağı öteleme, grafiği x ekseninin altına
taşıyabilir ve o zaman fonksiyonun
iki sıfırı olur.
|x| = 0 denkleminin tek çözümü vardır: x = 0.
|x| + 3 = 0 denkleminin ise hiç
çözümü yoktur — mutlak değer negatif olamayacağı için toplam hep 3 ve üstündedir.
|x| − 3 = 0 denkleminin iki
çözümü vardır: x = 3 ve x = −3.
Grafikten okunuşu: V’nin tepesi x ekseninin üstündeyse hiç
kesişim, tam üstündeyse bir kesişim,
altındaysa iki kesişim vardır. Sınavda “kaç kökü vardır”
sorusunun cevabı doğrudan c’nin işaretinden çıkar.
Mutlak değer fonksiyonunun asıl kullanıldığı yer sapma (tolerans) hesaplarıdır: ölçülen değer ile hedef değer arasındaki farkın büyüklüğü. İki örnek de bunun üzerine kurulu — biri vücut sıcaklığı, öteki nisan ayı hava sıcaklığı. İkisinde de model aynı kalıptadır: g(x) = |x − ortalama|.
5. Örnek. Aylık ortalama sıcaklık 20 °C,
ölçülen sıcaklığın ortalamadan sapma miktarı en fazla 4 °C.
a) Fonksiyonun kurulması: x’in alabileceği en küçük değer
20 − 4 = 16 °C, en büyük değer 20 + 4 = 24 °C olduğundan
tanım kümesi [16, 24]’tür. Sapma en fazla 4 olduğundan
görüntü kümesi [0, 4]’tür. Sapma, ölçülen ve ortalama
sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri olduğundan
g: [16, 24] → [0, 4], g(x) = |x − 20|.
Parçalı gösterimi:
x ∈ [16, 20) için g(x) = −x + 20
x ∈ [20, 24] için g(x) = x − 20
c) Ölçülen ile ortalama eşit olduğunda:
|20 − 20| = 0 olur. g(x) = 0 için x = 20 olduğundan bu durum
fonksiyonun sıfırı ile ilgilidir.
ç) Aynı sapmayı veren farklı sıcaklıklar:
|18,2 − 20| = 1,8 ve |21,8 − 20| = 1,8. Farklı iki x aynı değeri verdiğinden
g bire bir değildir.
d) En az ve en fazla sapma: minimum değer
0’dır (x = 20’de), maksimum değer
4’tür ve fonksiyon bu değeri
x = 16 ile x = 24 noktalarının ikisinde birden alır.
6. Örnek. Ellerinde x kg mama var (x < 8) ve üç gün mama topluyorlar:
1. gün ellerindekinin 2 katı → f(x) = 2x
2. gün 1. günün 5 eksiğinin mutlak değeri →
g(x) = |2x − 5|
3. gün 2. günün 3 kg fazlası →
h(x) = |2x − 5| + 3
Tanım ve görüntü kümeleri: f: (0, 8) → (0, 16), g: (0, 8) → [0, 11),
h: (0, 8) → [3, 14).
Grafik çizimi: önce y = 2x − 5 çizilir, negatif kısmı
x eksenine göre yansıtılır, sonra 3 birim yukarı ötelenir.
Tepe noktası x = 5/2’dedir ve orada h(5/2) = 3’tür.
c) Nerede azalıyor? Grafikten
(0, 5/2] aralığında azalandır — yani başlangıçtaki mama
arttıkça 3. gün toplanan azalıyor.
ç) Nerede bire bir?
(0, 5/2) ve (5/2, 8) aralıklarının her birinde ayrı ayrı bire birdir.
5. Sıra Sizde sorusu: kurye A noktasından çıkıp
5 km uzaklıktaki B noktasına
20 dakikada gidiyor, mola vermeden aynı hızla
A’ya dönüyor. Zamana bağlı B’ye uzaklığını veren
fonksiyonu bul.
Hız: 5 km ÷ 20 dk. = 0,25 km/dk.
Gidişte (0 ≤ x ≤ 20) B’ye uzaklık 5 − 0,25x;
dönüşte (20 ≤ x ≤ 40) uzaklık 0,25x − 5.
İki parça tek satırda birleşir:
f: [0, 40] → [0, 5], f(x) = |0,25x − 5|.
Grafiği: (0, 5)’ten başlayıp (20, 0)’a inen ve
(40, 5)’e çıkan bir V’dir.
Fonksiyonun sıfırı x = 20, yani
kuryenin B’ye vardığı andır.
Her soruda bir mutlak değer fonksiyonu var. İlk iş her zaman aynı: mutlak değerin içini sıfır yapan x’i bul. Grafiğin kırıldığı yer orasıdır ve öteki bütün cevaplar oradan çıkar.
“Ne kadar saptı?” sorusunun sorulduğu her yerde mutlak değer vardır. Yönü değil büyüklüğü önemsediğin an, işaretten kurtulman gerekir.
Veri şu: sağlıklı bir bireyin ortalama vücut sıcaklığı
36,5 °C’tur, aralık 35,7–37,5 °C.
Ortalamadan sapma g(x) = |x − 36,5|’tir.
36,2 ölçen de 36,8 ölçen de aynı 0,3 sapmayı alır;
biri düşük biri yüksek olsa da ortalamadan uzaklıkları
eşittir.
Deneme sınavında 380 bekliyordun, 355 aldın. “Ne kadar yanılmışım?”
sorusunun cevabı |355 − 380| = 25 puandır.
Bir sonraki denemede 405 alsan yine 25 sapmış olurdun. Tahmin isabetini ölçerken
eksi mi artı mı yanıldığın değil, ne kadar
yanıldığın önemlidir — bu yüzden hata payı hep mutlak değerle hesaplanır.
Servis 7.40’ta geçiyor. Sen 7.34’te de çıksan 7.46’da da çıksan durakta
6 dakikalık bir uyumsuzluk var — biri erken beklemek,
öteki servisi kaçırmak.
Zamana bağlı uyumsuzluk |x − 7.40| kalıbındadır ve
minimum değeri tam 7.40’ta 0’dır. Grafiği V biçiminde
bir “iyi zamanlama” eğrisidir.
Örnek: kurye 5 km gidip aynı yoldan dönüyor. B noktasına uzaklığı
f(x) = |0,25x − 5|.
Uygulamadaki “kurye size ne kadar uzakta” göstergesi
önce azalır, sıfırlanır, sonra artar.
Tam sıfırlandığı an teslim anıdır ve fonksiyonun
sıfırıdır.
Açılış örneği: yük asansörü aşağıdan çıkıp 30 m yükseklikteki balkondan
eşya alıp geri iniyor.
Zamana bağlı yükseklik grafiği ters V’dir:
önce artar, tepede maksimuma ulaşır, sonra azalır.
Maksimum noktası balkona vardığı andır.
İnişi 10 saniye sürüyorsa çıkışı da 10 saniye sürer — V simetriktir.
Kulaklıkta senin için ideal ses seviyesi 40. Rahatsızlık, ideal seviyeden
sapmayla artar: 25’te “duyamıyorum”, 55’te
“çok yüksek”.
|x − 40| kalıbı burada da işler ve
minimum değerini tam ideal seviyede alır.
İki yönde de uzaklaşmak durumu kötüleştirdiği için doğrusal değil,
V biçimli bir model gerekir.
Potaya olan uzaklığın ideal atış mesafesinden sapması yine
mutlak değerdir: 1 m yakında da olsan 1 m uzakta
da olsan aynı ölçüde ideal noktadan uzaktasın.
Antrenörlerin “ortalama hata” hesabı da böyle yapılır: sapmalar
mutlak değer alınmadan toplanırsa artı ve eksi
hatalar birbirini götürür ve sıfır hata gibi
yanıltıcı bir sonuç çıkar.
Tarif 180 °C diyorsa fırın 170’te de 190’da da 10 derece
sapmış demektir. Birinde kek pişmez, ötekinde üstü yanar — ama
sapmanın büyüklüğü aynıdır.
“Tolerans ±10 °C” ifadesi matematiksel olarak
|x − 180| ≤ 10 demektir ve bu eşitsizliğin çözümü
[170, 190] aralığıdır.
Bir nişancı oyununda isabet puanı, imlecin hedef merkezine
uzaklığına göre verilir. Sağa 5 piksel de kaysan
sola 5 piksel de kaysan aynı puanı alırsın.
Oyunun puanlama fonksiyonu −|x − merkez| + tam puan
kalıbındadır: ters V, tepesi merkezde ve
maksimum değeri tam isabet.
Merkezden uzaklaştıkça puan simetrik olarak düşer.
48 soruluk test · mutlak değerin uzaklık anlamı, |x| ve −|x| fonksiyonlarının parçalı gösterimi ve nitel özellikleri, |ax + b| fonksiyonunun sıfırı ve tepe noktası, ±|ax + b| ± c ötelemeleri, sapma modelleri
Mutlak değer, bir sayının başlangıç noktasına uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamaz; bu yüzden |x| ≥ 0’dır ve grafiği V biçimindedir.
g(x) = |x| → x < 0 iken −x · x ≥ 0 iken x
h(x) = −|x| → x < 0 iken x · x ≥ 0 iken −x
Sıfırı ve kırılma noktası: x = −b/a
Görüntü kümesi [0, ∞)
Minimum değeri 0, maksimum değeri yok.
(−∞, −b/a] azalan · [−b/a, ∞) artan
Görüntü kümesi (−∞, 0]
Maksimum değeri 0, minimum değeri yok.
(−∞, −b/a] artan · [−b/a, ∞) azalan
İşareti x ≠ −b/a için negatiftir.
1. y = ax + b doğrusunu çiz
2. Negatif kısmı x eksenine göre yansıt
3. Başta eksi varsa tamamını yansıt
4. En son ± c kadar dikey ötele
Mutlak değer fonksiyonları bire bir değildir:
|−3| = |3| = 3.
Ama tepe noktasının her bir yanında ayrı ayrı
bire birdir.