Kim
Bakıyorsa
O Haklı
Bir cismin herhangi bir referans sistemindeki gözlemciye göre hareketine bağıl hareket, sahip olduğu hıza ise bağıl hız denir. Aynı olayı iki farklı gözlemci farklı anlatır; ikisi de yanlış değildir. Bu ünitede gözlemciyi değiştirdiğinde hızın nasıl değiştiğini, nehirde yüzen birinin karşı kıyıya nereden çıkacağını ve grafikten bağıl hızın nasıl okunduğunu göreceğiz.
Gözlemcilerin bir hareketlinin hız büyüklüğünü veya hareket yönünü farklı algılamalarının sebebi, farklı gözlem noktaları (referans sistemi) içinde bulunmalarındandır. Aşağıdaki sahnede doğrusal bir yol üzerinde Sare v hızıyla, Kerem v hızıyla, Zeynep 2v hızıyla doğuya doğru gidiyor.
Bağıl hızın yönü ve büyüklüğü vektörel işlemler yardımıyla bulunur. Bağıl hız bulunurken önce gözlemci ve gözlenen nesnenin yere göre hız vektörleri belirlenir. Sonra gözlenen cismin yere göre hızından, gözlemcinin yere göre hızı vektörel olarak çıkarılır. Bu bir vektör çıkarma işlemidir: zıt yönlü hızlarda büyüklükler toplanır.
v(bağıl) = v(Kerem) − v(Sare) = v − v = 0. Sare, Kerem’e bakarak Kerem’in durgun olduğunu söyler. İkisi de aynı hızla gittiği için aralarındaki mesafe hiç değişmez.
v(bağıl) = v(Zeynep) − v(Sare) = 2v − v = doğu yönünde v. Sare, Zeynep’in 2v ile değil v hızıyla uzaklaştığını görür.
v(bağıl) = v(Kerem) − v(Zeynep) = v − 2v = batı yönünde v. Zeynep, Kerem’in doğu yönünde değil batı yönünde v hızıyla hareket ettiğini söyler. Kerem aslında doğuya gidiyor; Zeynep daha hızlı olduğu için Kerem geride kalıyor, yani ona göre geriye gidiyor gibi görünüyor.
Sare’ye göre Kerem duruyor ama yere göre Kerem v hızıyla gidiyor. Bir cismin hareketli olup olmadığı sorusunun cevabı hangi gözlemciye göre sorulduğuna bağlıdır. Soruda “yere göre”, “otobüse göre”, “suya göre” ifadelerinden hangisinin geçtiğine bak; yere göre hız ifadesi ile durgun bir gözlemciye göre hız ifadesi aynıdır.
Bir cismin yere göre hızı, içinde bulunduğu ortamın yere göre hızı ile cismin ortama göre hızının vektörel toplamıdır. Otobüs örneğinde otobüsün yere göre hızı 2 m/s; Y otobüse göre durgun, X otobüsle aynı yönde 1 m/s, Z ise zıt yönde 3 m/s hızla hareket ediyor.
| Yolcu | Otobüse göre | Yere göre |
|---|---|---|
| X | Aynı yönde 1 m/s | 1 + 2 = 3 m/s |
| Y | Durgun (0) | 0 + 2 = 2 m/s |
| Z | Zıt yönde 3 m/s | 3 − 2 = 1 m/s (zıt yönde) |
Otobüse göre durgun olan Y, yere göre otobüsün hızıyla hareket eder.
Hareketli bir gözlemci başka bir hareketliyi izlerken kendi hızına eşit olan hız bileşenini algılamaz. Bu cümle bütün ünitenin özeti sayılır: kendi hızın kadarını “göremezsin”, çünkü çıkarma işleminde o kısım gider.
Ayrıca yere göre hız ifadesi ile durgun bir gözlemciye göre hız ifadesi aynıdır.
İki ayrı işlem birbirine karışır:
Yere göre hız bulunurken toplanır: v(yere göre) = v(ortama göre) +
v(ortamın yere göre hızı). Otobüsteki yolcu, nehirdeki yüzücü, yürüyen banttaki kişi böyle hesaplanır.
Bağıl hız bulunurken çıkarılır: v(bağıl) = v(gözlenen) − v(gözlemci).
İkisi de vektörel işlemdir: zıt yönlüyse toplamada büyüklükler çıkarılır, çıkarmada toplanır.
Akıntı hızı olan bir nehirde, yüzücülerin ve suya bırakılan bir tahtanın yere göre hızının belirlenmesi için akıntı hızı ile hareketlilerin suya göre hızlarının vektörel toplamı işlemi yapılır. Akıntı yönünde yüzen hızlanır, akıntıya karşı yüzen yavaşlar.
Yere göre hızı akıntı ile toplanır. t sürede aldığı yol d = (vK + va) · t, akıntı yönündedir.
va > vL ise d = (va − vL)·t akıntı yönünde; va < vL ise d = (vL − va)·t akıntıya ters yönde yol alır. va = vL ise yere göre hız sıfır olur ve yer değiştirme yapamaz.
Tahtanın suya göre hızı sıfırdır. Bu yüzden akıntıya bırakılan tahta parçasının yere göre hızı akıntı hızına eşit olur. Tahta, akıntıyı ölçmenin en kolay yoludur.
Yüzücünün nehri geçme süresi akıntı hızının büyüklüğüne bağlı değildir. Süre sadece nehir genişliğine ve yüzücünün hızının karşı kıyıya dik hız bileşeninin büyüklüğüne bağlıdır. Akıntı yalnızca yüzücüyü akıntı yönünde kaydırır; karşıya yaklaştırmaz ya da uzaklaştırmaz.
Hesap şöyle: akıntı 1 br iken yere göre hız 3 br, akıntı 2 br iken √10 br olur — yere göre hız artmıştır, yüzücü 3 numaralı nokta yerine 5 numaralı noktaya çıkar (yatay yer değiştirme artmıştır) ama süre değişmez. Çünkü v₁ = 3 br iken v₂ hızının da düşey bileşeni 3 br’dir.
Genişliği d olan nehirde O noktasından akıntıya dik harekete geçen yüzücü, karşı kıyıda L’den
s kadar uzaktaki M noktasına t süre sonra ulaşırsa:
OL = d = vK · t (nehir genişliği)
LM = s = va · t (akıntının kaydırdığı mesafe)
OM = h = v · t (yüzücünün gerçekte aldığı yol)
Yüzücünün yere göre hızı v, suya göre hızı ile akıntı hızının
vektörel toplamıdır; ikisi dik olduğu için Pisagor kullanılır.
Nehir içindeki iki yüzücünün birbirine göre hızı (bağıl hız) akıntı hızının büyüklüğüne bağlı değildir. Sebebi çıkarma işlemi: ikisinin de yere göre hızına aynı akıntı vektörü eklendiği için, fark alınırken akıntı sadeleşir. Bu yüzden bağıl hızı hesaplarken akıntıyı hiç yazmadan doğrudan v(bağıl) = vK − vL demek de aynı sonucu verir.
Konum-zaman grafiğinde eğim hızı verdiği için her hareketlinin hızı grafikten okunur, sonra tek bağıntı uygulanır. Aşağıdaki grafikte K hareketlisi 2 s’de 16 m ilerliyor, L hareketlisi 4 s’de −8 m konumuna gidiyor.
| Durum | Bağıl hızın büyüklüğü | Yorum |
|---|---|---|
| Aynı yönde | |v₂ − v₁| | Aralarındaki mesafe yavaş değişir; hızlar eşitse birbirlerini durgun görürler. |
| Zıt yönde | v₁ + v₂ | Çıkarma işleminde zıt yön eksi işaret getirdiği için büyüklükler toplanır; en büyük bağıl hız burada oluşur. |
| Birbirine dik | √(v₁² + v₂²) | Vektör çıkarması dik üçgen verir; Pisagor bağıntısı kullanılır. |
Örnekte K doğuya 8 m/s, L batıya 2 m/s (zıt yönlü) hareket ediyor. K’deki gözlemciye göre L’nin hızı v(LK) = v(L) − v(K) = −2 − 8 = −10 m/s, yani batı yönünde 10 m/s olur.
Bu ünitenin kuralları en çok fark edilmeden yaşandığı için ilginç. Aşağıdaki dokuz sahnede aynı bağıntı çalışıyor.
Durakta yanındaki otobüs kalkınca bir an kendi otobüsün geri gidiyor sanırsın. Pencereden başka referans göremediğin için beynin gözlemciyi yanlış seçer; yere göre hızın hâlâ sıfırdır.
Alışveriş merkezinde yürüyen merdivende durursan yere göre hızın merdivenin hızıdır (otobüsteki Y yolcusu). Üstünde yukarı doğru yürürsen hızlar toplanır; tersine inmeye çalışırsan çıkarılır — merdiven kadar hızlı yürürsen yerinde sayarsın.
Spor salonundaki bantta saatte 8 km koşarken yere göre hızın sıfırdır: bandın yüzeyine göre 8 km/h, banda göre zıt yönde aynı büyüklükte. va = vL durumunda yer değiştirme yapılamaz kuralının birebir hâli.
Arabanın camında yağmur damlaları eğik iner. Damla aslında düşey düşer; sen yatay gittiğin için damlanın sana göre hızı, düşey hız ile senin hızının tersinin bileşkesidir — dik iki vektör, Pisagor.
Okul servisinde yanındaki arkadaşın sana göre durgun, yere göre servisin hızıyla hareket hâlinde. Aynı anda hem duruyor hem 50 km/h gidiyor demek çelişki değil; iki farklı referans sistemi.
Tatilde akıntıya kapılan şişme yatak, suya bırakılan tahta örneğinin ta kendisidir: suya göre hızı sıfır olduğu için yere göre hızı tam akıntı hızıdır. Bu yüzden kıyıdan hızla uzaklaşır ve fark edilmez.
Havuz değil de dereye girdiğinde karşıya dümdüz baksan bile akıntı seni aşağı kaydırır; karşı kıyıya çıktığın yer hedefinin altındadır. Ama karşıya varma sürenin değişmediğini fark etmezsin.
Yanındaki takım arkadaşına koşarken pas verirken topu ona doğru değil, biraz önüne atarsın. Çünkü topun ona göre hızı, senin ve onun yere göre hızlarının farkına bağlıdır.
Yarış oyunlarında kamera aracına kilitlendiği için araba ekranda hep sabit durur, yol geriye akar. Oyun sana arabanın referans sistemini gösterir; hız göstergesi ise yere göre hızı yazar.
38 soruluk test · bağıl hız bağıntısı, yere göre hız, nehir problemleri ve konum-zaman grafiğinden bağıl hız
Bir cismin herhangi bir referans sistemindeki gözlemciye göre hareketine bağıl hareket, sahip olduğu hıza ise bağıl hız denir. Gözlemcilerin farklı algılamasının sebebi farklı gözlem noktaları (referans sistemi) içinde bulunmalarıdır.
v(bağıl) = v(gözlenen) − v(gözlemci)
Önce ikisinin de yere göre hız vektörleri belirlenir, sonra
vektörel çıkarma yapılır. Zıt yönlülerde büyüklükler toplanır, dik olanlarda Pisagor kullanılır.
Sare v, Kerem v, Zeynep 2v hızıyla doğuya gidiyor.
Sare → Kerem: 0 (duruyor gibi)
Sare → Zeynep: doğu yönünde v
Zeynep → Kerem: batı yönünde v
Hareketli ortamdaki cismin yere göre hızı = ortamın yere göre hızı +
cismin ortama göre hızı (vektörel toplam).
Otobüs 2 m/s iken: X (aynı yönde 1) → 3 m/s,
Y (durgun) → 2 m/s,
Z (zıt yönde 3) → 1 m/s.
Yere göre hız ifadesi ile durgun bir gözlemciye göre hız ifadesi
aynıdır.
Hareketli bir gözlemci başka bir hareketliyi izlerken kendi hızına eşit olan hız bileşenini algılamaz.
K (akıntı yönünde): d = (vK + va)·t
L (akıntıya ters): va > vL → d = (va − vL)·t akıntı yönünde;
va < vL → d = (vL − va)·t ters yönde;
va = vL → yer değiştirme yapamaz.
Akıntıya bırakılan tahtanın yere göre hızı akıntı hızına eşittir.
OL = d = vK·t · LM = s = va·t · OM = h = v·t
Geçme süresi akıntı hızına bağlı değildir; sadece nehir
genişliğine ve hızın karşı kıyıya dik bileşenine bağlıdır. Akıntı artınca yere göre hız ve yatay
yer değiştirme artar, süre değişmez.
Nehir içindeki iki yüzücünün birbirine göre hızı akıntı hızının büyüklüğüne bağlı değildir; çıkarma işleminde ortak akıntı vektörü sadeleşir.
Konum-zaman grafiğinde eğim hızı verir. K: 16/2 = 8 m/s (doğu), L: −8/4 = −2 m/s (batı). K’deki gözlemciye göre L: −2 − 8 = −10 m/s, yani batı yönünde 10 m/s.
Aynı yönde → |v₂ − v₁| · zıt yönde → v₁ + v₂ · dik → √(v₁² + v₂²).