Sayı Yetmez,
Yön de
Lazım
Sayısal bir değer ve bir birimle belirtilen niceliklere skaler nicelikler denir. Ama hız, ivme, kuvvet, momentum gibi nicelikleri doğru tanımlamak için sadece sayı yetmez: başlangıç noktası, doğrultu, yön ve şiddet de gerekir. Bunlara vektörel nicelikler denir. Bu ünitede vektörleri çizmeyi, bileşenlerine ayırmayı, toplamayı ve çıkarmayı adım adım göreceğiz.
Fizikte kullanılan büyüklükler skaler ve vektörel olmak üzere iki farklı şekilde belirtilir. Bir niceliğin hangi gruba girdiğini bilmek, onu nasıl toplayacağını da belirler: skalerler düpedüz toplanır, vektörler ise yönleriyle birlikte toplanır.
Sayısal bir değer ve bir birimle belirtilen niceliklere skaler nicelikler denir. “Sıcaklık 20 °C” demek yeterlidir; sıcaklığın yönü yoktur.
Fizikte bazı nicelikleri doğru tanımlamak için sadece skaler olarak belirtmek yeterli değildir. Hız, ivme, elektrik alan, itme, kuvvet, momentum ve manyetik alan gibi nicelikler vektörel niceliklerdir.
Bir vektörel niceliği doğru tanımlamak için a) başlangıç noktası, b) doğrultu, c) yön, d) şiddet (büyüklük) elemanlarının belirtilmesi gerekir.
| Skaler nicelikler | Vektörel nicelikler |
|---|---|
| Kütle | Ağırlık |
| Uzunluk | Konum |
| Zaman | İvme |
| Sürat | Hız |
| Sıcaklık | Kuvvet |
| Hacim | Tork |
| Güç | İtme (impuls) |
| Elektrik yükü | Elektrik alan |
| Enerji | Yer değiştirme |
| Isı | Momentum |
| Işık şiddeti | Manyetik alan |
İki vektörün eşit olabilmesi için şiddetlerinin ve yönlerinin aynı olması gerekir. Başlangıç noktalarının aynı olması gerekmez. Aşağıdaki şekilde K ile L vektörlerinin başlangıç noktaları farklı olduğu hâlde yön ve büyüklükleri aynı olduğu için eşittir.
Doğrultuları aynı kalacak şekilde yönü değişen vektörlerin işaretleri de değişir. M vektörü K ile L vektörlerine göre ters yönlü olduğu için M = −K = −L yazılabilir.
Bir vektörün skaler bir sayıyla çarpımı ya da bölümü yine bir vektördür. Sonuçta sadece vektörün şiddeti değişmiştir. Doğrultu ve yön aynı kalır (çarpan negatifse yön ters döner).
Aynı satırdaki iki kavram sürekli karışır ama biri sol sütunda, biri sağ sütunda: kütle skalerdir, ağırlık vektöreldir; sürat skalerdir, hız vektöreldir; enerji ve ısı skalerdir, iş yapan kuvvet ve itme vektöreldir. “40 km/h” bir sürattir; “kuzeye doğru 40 km/h” bir hızdır.
İki boyutlu dik kartezyen koordinat sisteminde bir K vektörünün x ve y eksenlerindeki bileşenleri Kx = K · cos α ve Ky = K · sin α şeklinde yazılabilir. Aşağıdaki tezgâhta açıyı ve büyüklüğü kendin değiştirip bileşenlerin nasıl davrandığını gör.
Başlangıç noktası O olan iki kuvvet vektörü için bileşenler şöyle okunur:
| x bileşeni | y bileşeni | |
|---|---|---|
| F₁ kuvveti | +x yönü, 2 br | +y yönü, 2 br |
| F₂ kuvveti | +x yönü, 1 br | −y yönü, 2 br |
Bileşenleri bilinen bir vektörün büyüklüğü Pisagor bağıntısıyla bulunur:
K² = x² + y². Üç örnek:
K(2, 1) → K² = 2² + 1² → K = √5 br
L(−2, 3) → L² = 2² + 3² → L = √13 br
M(−3, −1) → M² = 3² + 1² → M = √10 br
Eksi işaretler yalnızca yönü söyler; büyüklük hesabında kareleri
alındığı için işaret kaybolur.
Bir kenarı a olan küpün bir tabanı ve bir yanal yüzeyi üzerindeki K ve L vektörleri toplandığında bileşenler x = a, y = a, z = 2a olur ve R² = a² + a² + (2a)² → R = a·√6 büyüklüğünde bulunur.
İki vektörü toplamanın üç yolu var ve üçü de aynı bileşkeyi verir. Hangisini seçeceğin soruya bağlı: şekil verilmişse uç uca ekleme, aralarındaki açı verilmişse paralelkenar, çok sayıda vektör varsa bileşenlere ayırma en hızlısıdır.
İkinci vektörün başlangıç noktası, doğrultu ve yönü değiştirilmeden ilk vektörün bitiş noktasına gelecek şekilde eklenir. İlk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına doğru çizilen vektöre toplam vektör ya da bileşke vektör denir.
İki vektörün başlangıç noktaları birleştirilip bir vektörden diğerine paralel çizilerek oluşturulan paralelkenarın köşegeni bileşke vektör olarak tanımlanır. Büyüklüğü kosinüs teoremiyle hesaplanır.
İki ya da daha fazla vektörün x ve y eksenlerindeki bileşenleri bulunur, aynı yöndeki bileşenlerin büyüklüğü toplanır, zıt yönlerdeki bileşenlerin büyüklüğü çıkarılır.
α = 90° ise cos 90° = 0 olduğundan bağıntı R² = (F₁)² + (F₂)² olarak kullanılır (Pisagor bağıntısı). Yani Pisagor, kosinüs teoreminin özel hâlidir; ayrı bir formül ezberlemene gerek yok.
Şiddetleri eşit ve a olan aynı düzlemdeki iki vektörden elde edilecek toplam (bileşke) vektörün büyüklüğü, iki vektör arasındaki açıya göre:
| Açı | Bileşke |
|---|---|
| 0° | R = 2a |
| 60° | R = √3·a |
| 90° | R = √2·a |
| 120° | R = a |
| 180° | R = 0 |
İki vektörün bileşkesi olan R vektörü, şiddeti büyük olan vektöre daha yakın olur. Bileşke ile vektörler arasındaki açılar α₁ ve α₂ ise:
Ayrıca iki vektörün toplamıyla oluşan toplam vektörün büyüklüğü vektörler arasındaki açı arttıkça küçülür.
Vektörler ardışık eklendiğinde son vektörün bitiş noktası ilk vektörün başlangıç noktası ile çakışırsa toplam vektör sıfır olur. Yani uç uca eklendiğinde kapalı bir şekil (üçgen, dörtgen) oluşuyorsa bileşke sıfırdır. Bileşenlere ayırma yöntemiyle bakıldığında da bir eksende yalnızca tek vektör kalırsa o bileşke vektördür; x ve y eksenlerinde birbirine dik iki vektör kalırsa bunların bileşkesi Pisagor bağıntısıyla bulunur.
İki vektör arasında çıkarma işlemi için iki yöntem kullanılabilir. İkisi de aynı fark vektörünü verir; ikinci yöntemin tek bir kuralı ezberlemeye değer: fark vektörünün yönü daima pozitif işaretli vektöre doğrudur.
a − b fark vektörünün bulunması için önce a çizilir, a vektörünün bitiş noktasına (−b) vektörünün başlangıç noktası getirilerek eklenir ve toplama işlemi yapılır. a vektörünün başlangıç noktasından −b vektörünün bitiş noktasına doğru çizilen vektör a − b fark vektörü olur. Yani çıkarma, ters vektörle toplamaya çevrilir.
Vektörlerin doğrultu ve yönleri korunarak başlangıç noktaları çakıştırılır. Eksi işaretli vektörün bitiş noktasından, diğer vektörün bitiş noktasına çizilen vektör fark vektörünü verir. Bu yöntemde fark vektörünün yönü daima pozitif işaretli vektöre doğrudur.
İkisinin büyüklüğü aynıdır ama yönleri terstir: b − a = −(a − b). Soruda hangisinin istendiğine bak. İkinci yöntemin kuralı burada işini görür: ok, eksi işaretli vektörün ucundan pozitif işaretli vektörün ucuna gider. a − b sorulduysa ok b’nin ucundan a’nın ucuna, b − a sorulduysa a’nın ucundan b’nin ucuna çizilir.
Vektör, defterde kalan bir çizim değil. Aşağıdaki dokuz sahnede aynı kurallar çalışıyor.
Telefonun saydığı yol skalerdir; evden çıkıp okula gidip eve döndüğünde yer değiştirme sıfırdır çünkü vektörler uç uca eklendiğinde başlangıç noktasına dönülmüştür. Aynı gün hem “8 km yürüdüm” hem “hiçbir yere gitmedim” demek doğrudur.
Sınıflar arası halat çekmede ipin iki ucundaki kuvvetler zıt yönlü. Şiddetler eşitse bileşke sıfırdır ve halat hiç kımıldamaz — 180° durumu (R = 0). Gerçekte ipteki gerilme iki tarafta da aynıdır; yarışı belirleyen şey ayakkabı ile zemin arasındaki sürtünmedir.
Ağır çantayı arkadaşınla iki koldan tutup taşırken kolları açtıkça aradaki açı büyür ve bileşke küçülür; aynı çantayı kaldırmak için her birinizin daha çok kuvvet uygulaması gerekir. Kolları paralel tutmak (0°) en kolay hâldir.
Maçta topa vurduğun kuvvetin yatay bileşeni topu ileri götürür, düşey bileşeni yukarı kaldırır. Aynı kuvvetle vurup açıyı büyütürsen top yükselir ama ileri gitmesi azalır: F·cos α küçülür, F·sin α büyür.
Telefonun “2,1 km · 26 dk” derken verdiği mesafe yolun kendisidir; ekrandaki düz kuş uçuşu çizgi ise yer değiştirme vektörüdür. İkisi ancak yol tamamen düz olduğunda eşit olur.
Kışın kızağı iple çekerken ipi yere daha yatık tutarsan kuvvetin yatay bileşeni (F·cos α) büyür, kızak daha kolay ilerler. İpi dikleştirirsen kızağı ileri değil yukarı çekiyorsun demektir.
Salıncağı iten iki arkadaş aynı anda ve aynı yönde iterse kuvvetler aynı yönlü olduğu için toplanır (0°, R = 2a). Biri sağdan biri soldan iterse (180°) salıncak yerinde titrer, gitmez.
Sınıfta sırayı iki kişi kaldırırken ikiniz de yukarı doğru çekerseniz kuvvetler aynı yönde toplanır. Biri sağa biri sola eğilirse aradaki açı büyür ve bileşke küçülür: aynı sırayı kaldırmak için daha çok zorlanırsınız. Yön birliği, kuvvetin büyüklüğü kadar önemlidir.
Bir oyunda ileri ve sağ tuşuna aynı anda basınca karakter çapraz gider: iki dik hız vektörünün bileşkesi √2 katı büyüklükte ve 45°’lik yöndedir. İyi yapılmış oyunlar bu bileşkeyi normalleştirir, yoksa çapraz koşan oyuncu düz koşandan hızlı olurdu.
40 soruluk test · skaler ve vektörel nicelikler, bileşenler, bileşke vektör ve fark vektörü
Skaler: sayısal değer + birim. Kütle, uzunluk, zaman, sürat,
sıcaklık, hacim, güç, elektrik yükü, enerji, ısı, ışık şiddeti.
Vektörel: ağırlık, konum, ivme, hız, kuvvet, tork, itme,
elektrik alan, yer değiştirme, momentum, manyetik alan.
Başlangıç noktası · doğrultu · yön · şiddet (büyüklük). Doğrultu “hangi çizgi üzerinde” (yatay, düşey, eğik); yön o çizgi üzerindeki iki seçenekten hangisi (+x ya da −x).
Eşit vektör: şiddet ve yön aynı (başlangıç noktası aynı olmak
zorunda değil).
Ters vektör: doğrultu aynı, yön değişik → işaret değişir
(M = −K = −L).
Skalerle çarpım: sonuç yine vektördür, sadece şiddet değişir.
Kx = K · cos α · Ky = K · sin α
Bileşenlerden büyüklüğe dönüş: K² = x² + y².
Üç boyutta: R² = x² + y² + z². Küp örneğinde
R² = a² + a² + (2a)² → R = a√6.
Uç uca ekleme: ilk vektörün başından son vektörün ucuna.
Kapanırsa bileşke sıfırdır.
Paralelkenar: başlangıçlar çakıştırılır, köşegen bileşkedir.
Bileşenlere ayırma: aynı yöndekiler toplanır, zıt yöndekiler
çıkarılır; tek eksende kalan bileşkedir, dik iki vektör kalırsa Pisagor.
R² = (F₁)² + (F₂)² + 2·F₁·F₂·cos α
α = 90° → cos 90° = 0 → R² = (F₁)² + (F₂)² (Pisagor).
0° → 2a · 60° → √3·a ·
90° → √2·a · 120° → a ·
180° → 0.
Açı arttıkça bileşke küçülür; maksimum 0°’de, minimum 180°’de.
Bileşke, şiddeti büyük olan vektöre daha yakındır. K > L ise α₂ > α₁ · K < L ise α₁ > α₂ · K = L ise α₁ = α₂.
I. yöntem: a çizilir, ucuna (−b) eklenir, a’nın başından
(−b)’nin ucuna çizilen vektör a − b’dir.
II. yöntem: başlangıçlar çakıştırılır; ok eksi işaretlinin
ucundan artı işaretlinin ucuna gider. Fark vektörünün yönü daima
pozitif işaretli vektöre doğrudur.
r yarıçaplı çemberde aralarında 60° olan iki yarıçap vektörü: toplam √3·r. Aralarında 120° olanlar: toplam r. Büyüklükleri eşit ve aralarındaki açı 120° olan iki vektörün farkı √3·r olur.