9. sınıfta "kuvvetin yönü vardır" demekle yetinmiştin. AYT'de vektörleri bileşenlerine ayıracak, kosinüs teoremiyle bileşke bulacak, fark vektörü çizecek ve üç boyutta çalışacaksın. Bağıl hareketten eğik atışa, torktan momentuma kadar bütün ünitelerin dili burada kuruluyor.
Sayısal bir değer ve bir birimle tam olarak belirtilen niceliklere skaler denir. Hız, ivme, kuvvet, momentum, elektrik alan gibi nicelikleri doğru tanımlamak içinse sayı yetmez. Bir vektörel niceliği tanımlamak için başlangıç noktası, doğrultu, yön ve şiddet gerekir.
Vektörün uygulandığı nokta. Kuvveti kapının menteşesinden mi kolundan mı uyguladığın sonucu değiştirir.
Vektörün üzerinde bulunduğu doğru: yatay, düşey ya da yatayla 30° yapan doğrultu.
Aynı doğrultuda iki yön vardır: +x ya da −x. Doğrultu doğruyu, yön o doğru üzerindeki tarafı belirtir.
Vektörün sayısal değeri; çizimde okun uzunluğuyla temsil edilir. 3 birim, 20 N gibi.
İki vektörün eşit olması için şiddetlerinin ve yönlerinin aynı olması gerekir. Başlangıç noktalarının aynı olması gerekmez. Bu yüzden bir vektörü kâğıt üzerinde kendine paralel kaydırabilirsin — vektör değişmez. Toplama yaparken kullandığımız bütün hile bu kurala dayanır.
Doğrultusu aynı kalıp yönü değişen vektörün işareti değişir. Şiddetleri eşit, yönleri zıt olan K ve M vektörleri için M = −K yazılır. İki ters vektörün toplamı sıfırdır.
Bir vektörün skaler bir sayıyla çarpımı ya da bölümü yine bir vektördür; sadece şiddeti değişir. Katsayı negatifse yön de tersine döner. Doğrultu asla değişmez.
Eğik duran bir vektörle işlem yapmak zordur. Bunun yerine onu x ve y eksenleri boyunca iki dik bileşene ayırırız. AYT'deki neredeyse bütün vektör soruları bu adımla başlar.
Tersi de doğrudur: bileşenleri bilinen bir vektörün şiddeti Pisagor ile bulunur → K = √(Kx² + Ky²)
Açı hangi eksenden ölçülüyorsa, o eksene komşu olan bileşen kosinüslüdür. α açısı +x ekseninden ölçülüyorsa yatay bileşen K·cos α, düşey bileşen K·sin α olur. Ama açı düşey eksenden verilirse ikisi yer değiştirir. Ezberleme — açının yanındaki kenar cos, karşısındaki kenar sin diye düşün.
x-y düzleminde bileşenleriyle verilen vektörlerin şiddeti doğrudan Pisagor ile bulunur:
| Vektör | Hesap | Büyüklük |
|---|---|---|
| K(2, 1) | K² = 2² + 1² | √5 birim |
| L(−2, 3) | L² = 2² + 3² | √13 birim |
| M(−3, −1) | M² = 3² + 1² | √10 birim |
Dikkat: büyüklük hesabında işaretler kare alındığı için kaybolur. İşaretler yalnızca vektörün hangi bölgede olduğunu söyler.
Bir cisme etki eden vektörlerin tek başına yapabileceği etkiyi gösteren vektöre bileşke (toplam) vektör denir. Üç yöntem vardır; hangisini seçeceğin sorunun şekline bağlıdır.
İkinci vektör, doğrultusu ve yönü değiştirilmeden birinci vektörün bitiş noktasına taşınır. İlk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen ok bileşkedir.
Vektörler ardışık eklendiğinde son vektörün bitiş noktası ilk vektörün başlangıç noktasıyla çakışıyorsa, yani kapalı bir çokgen oluşuyorsa toplam vektör sıfırdır.
İki vektörün başlangıç noktaları birleştirilir, her birine paralel çizilerek paralelkenar tamamlanır. Ortak köşeden çizilen köşegen bileşke vektördür.
α = 90° ise cos90° = 0 → R² = F₁² + F₂² (Pisagor)
Bütün vektörlerin x ve y bileşenleri bulunur. Aynı yöndekiler toplanır, zıt yöndekiler çıkarılır. İkiden fazla vektör varsa en güvenli yöntem budur.
Tek eksende vektör kaldıysa o bileşkedir. İki dik vektör kaldıysa bileşke Pisagor ile bulunur.
İki vektörün toplamıyla oluşan bileşke vektörün büyüklüğü, vektörler arasındaki açı arttıkça küçülür. 0°'de en büyük, 180°'de en küçüktür. Genel olarak bileşke şu aralıktadır: |F₁ − F₂| ≤ R ≤ F₁ + F₂
Bileşke vektör R, şiddeti büyük olan vektöre daha yakın geçer. Bileşkenin K ile yaptığı açı α₁, L ile yaptığı açı α₂ ise:
Çıkarma diye ayrı bir işlem yoktur. a − b demek, a + (−b) demektir. İki yöntemle çizilir; ikisi de aynı sonucu verir.
−b vektörü, b'nin 180° döndürülmüş hâlidir. Bu yüzden a ile −b arasındaki açı (180° − α) olur ve cos(180° − α) = −cos α olduğundan formüldeki artı, eksiye döner:
Toplamada +2ab·cosα, çıkarmada −2ab·cosα. Tek fark budur.
Sınav sorularında vektörler çoğu kez bir çemberin merkezinden çevreye, eşit açı aralıklarıyla çizilir. Bu durumda büyüklükler eşit olduğu için kosinüs teoremini açmadan doğrudan 0° → 2r, 60° → √3r, 90° → √2r, 120° → r, 180° → 0 tablosunu kullanabilirsin.
Toplam vektör, iki vektörün tam ortasından geçer.
Pisagor'un doğrudan uygulanabildiği tek özel durum.
Aralarında 120° olan üç eşit vektörün toplamı ise sıfırdır.
10 sorudan oluşan bu test ile "Vektörler" ünitesini ne kadar kavradığını gör. Her sorudan sonra tam çözümü göreceksin.
Dördü birden verilmeden bir vektörel nicelik tam tanımlanmış olmaz.
Başlangıç noktalarının aynı olması gerekmez. Vektör kendine paralel kaydırılabilir.
Doğrultu aynı, yön zıt. Toplamları sıfırdır.
Bileşenlerden şiddete dönüş: K = √(Kx² + Ky²).
α = 90° için cos90° = 0 → R² = F₁² + F₂² (Pisagor).
Sırasıyla 0°, 60°, 90°, 120°, 180° için. Ezberlemeye değer.
Açı büyüdükçe bileşke küçülür. Bileşke, büyük vektöre daha yakın geçer.
Uç uca eklenen vektörler başlangıç noktasına dönüyorsa bileşke sıfırdır.
Küp örneğinde a² + a² + (2a)² = 6a² → R = a√6.