Eğim
ve
Alan
Newton’ın hareket yasalarına göre bir cisim üzerinde net kuvvet sabit ise cismin sahip olacağı ivme de sabittir. Bu ünitede o sabit ivmenin hareketi nasıl şekillendirdiğini, üç bağıntıyı ve üç grafiği öğreneceğiz. Bütün grafik soruları iki kelimeye dayanır: eğim bir üstteki büyüklüğü, alan bir alttakini verir.
Doğrusal bir yolda hızı düzgün olarak artan ya da düzgün olarak azalan cisimlerin yapmış olduğu harekete bir boyutta sabit ivmeli hareket denir. Hareket eden bir cismin hızının artması, azalması ya da yönünün değişmesi, onun ivmeli hareket yaptığını gösterir.
Duran bir cisme ya da hareket hâlindeki bir cisme hareket yönü ile aynı yönde bir sabit net kuvvet uygulandığında cismin hızı düzgün olarak artar. Bu harekete düzgün hızlanan doğrusal hareket denir.
Düzgün hızlanan cisimler üzerinde net kuvvet, ivme ve hız vektörleri
aynı yöndedir.
Örnekler: durgun hâlde iken Fnet etkisinde kalan araba · sürtünmesiz eğik düzleme
bırakılan cisim (Fnet = mg·sinα) · sürtünmesiz ortamda yüksek bir noktadan serbest
bırakılan cisim (Fnet = mg).
Hareket hâlindeki bir cisme hareket yönüne zıt yönde bir sabit net kuvvet uygulandığında hız düzgün olarak azalır. Bu harekete düzgün yavaşlayan doğrusal hareket denir.
Düzgün yavaşlayan cisimler üzerinde net kuvvet ile ivme vektörleri,
hız vektörlerine göre ters yöndedir.
Örnekler: sürtünmeli yatay düzleme v₀ ile atılan cisim · sürtünmesiz eğik düzlemin alt ucundan
yukarı atılan cisim · yukarı doğru atılan ve Fnet = mg ile yavaşlayan cisim.
Hareket yönü pozitif olup hareketlinin hızı azalıyorsa hem kuvvet hem de ivme negatif yönde olur. Yani ivmenin işareti tek başına “yavaşlıyor” demek değildir; ivme hızla aynı işaretliyse hızlanma, zıt işaretliyse yavaşlama vardır. Negatif yönde giden bir araç negatif ivme alıyorsa hızlanıyordur.
Soruda zaman verilmişse ilk iki bağıntı, zaman verilmemişse zamansız hız bağıntısı kullanılır. Bu seçim, sabit ivmeli hareket sorularında zaman kazandıran tek karardır.
1. x = ½ · a · t² veya x = vort · t
2. v(t) = a · t
3. vson² = v₀² + 2 · a · x
Konum zamanın karesiyle büyüdüğü için ikinci saniyenin sonunda alınan yol birinci saniyenin dört katıdır (t, 2t, 3t için x, 4x, 9x).
1. x = v₀ · t + ½ · a · t² veya x = vort · t
2. v(t) = v₀ + a · t
3. vson² = v₀² + 2 · a · x
Hızlanan hareketlilerin t sürede aldığı yol ve t süre sonraki hız değerlerinin hesaplanmasında bağıntıları kullanırken hem ilk hız hem de ivme işaretleri pozitif olarak kullanılabilir.
1. x = v₀ · t − ½ · a · t² veya x = vort · t
2. v(t) = v₀ − a · t
3. vson² = v₀² − 2 · a · x
Yavaşlayan hareketlilerin hesaplarında da hem ilk hız hem ivme işaretleri pozitif olarak kullanılabilir; işareti bağıntıdaki eksi taşır.
vort = (vilk + vson) / 2
Ortalama hız ile işlem yapılacaksa bu aritmetik ortalama bağıntısıyla bulunur. Dikkat: bu kısayol yalnızca ivme sabitse geçerlidir; ivme değişiyorsa ortalama hız yol bölü zamandan hesaplanır.
| Soruda verilenler | İstenen | Kullanılacak bağıntı |
|---|---|---|
| v₀, a, t | Yol | x = v₀·t + ½·a·t² |
| v₀, a, t | Son hız | v = v₀ + a·t |
| v₀, a, x (zaman yok) | Son hız | v² = v₀² + 2·a·x |
| v₀, vson, t | Yol | x = [(v₀ + vson)/2] · t |
| v₀, vson, t | İvme | a = (vson − vilk) / (tson − tilk) |
| Fnet, m | İvme | a = Fnet / m |
İvme iki yoldan bulunabilir: Newton’ın hareket yasasından a = F/m ve hız-zaman grafiğinin eğiminden a = Δv/Δt.
Durgun hâlden hızlanan bir cisim iki saniyede 4x yol alır (bağıntıya t = 2t yazılır). Ama ikinci saniyede aldığı yol 4x − x = 3x’tir, çünkü birinci saniyede aldığı yol düşülür. Soru kökünde “-inci saniyede” ifadesi geçiyorsa iki konumun farkı alınmalıdır.
Üç grafik bir merdiven gibidir: konum → hız → ivme. Bir basamak yukarı çıkmak eğim almak, bir basamak aşağı inmek alan almak demektir. Aşağıdaki panelde ilk hızı ve ivmeyi değiştirdiğinde üç grafik birden yeniden çizilir; zaman imleci ise seçtiğin anda eğimin ve alanın hangi sayıya karşılık geldiğini gösterir.
Grafikten okunan üç şey:
İvme iki yoldan bulunur: a = F/m ya da a = Δv/Δt = (vson − vilk) / (tson − tilk).
| İşlem | Neyi verir |
|---|---|
| Konum-zaman grafiğinin eğimi | Hız (büyüklüğü ve işareti) |
| Hız-zaman grafiğinin eğimi | İvme (büyüklüğü ve işareti) |
| Hız-zaman grafiğinin alanı | Yer değiştirme |
| İvme-zaman grafiğinin alanı | Hızdaki değişim miktarı |
Alan hesabında zaman ekseninin altında kalan bölgeler negatiftir; bu yüzden ileri gidip geri dönen bir hareketlinin toplam yer değiştirmesi sıfır çıkabilir.
Sabit ivmeli harekette ivme-zaman grafiği zaman eksenine paralel bir doğru, hız-zaman grafiği eğik bir doğru, konum-zaman grafiği ise parabol olur. Sebebi bağıntılardır: a sabittir, v = v₀ + a·t birinci dereceden bir ifadedir, x = v₀t + ½at² ise ikinci dereceden bir ifadedir. Grafiğin şeklini ezberlemek yerine bağıntının derecesine bakmak yeterlidir.
Aşağıdaki gezginde K ve L araçlarının grafikleri tek tek çiziliyor; solda verilen grafik, sağda ondan türetilen grafik var. Bazı senaryolarda sağdaki grafiğin tek bir doğru cevabı yoktur — o belirsizlikler ayrıca yazılıyor.
Konum-zaman grafiklerinin eğimi hareketlinin hızının hem büyüklüğünü
hem de hızın işaretini verir.
Yatay doğru: durgun (hız ve ivme sıfır).
Eğik doğru: sabit hızlı; eğim pozitifse pozitif yönde.
Kolları konum eksenine doğru eğilen parabol: hız artıyor.
Kolları zaman eksenine doğru eğilen parabol: hız azalıyor.
Hız-zaman grafiklerinin eğimi hareketlinin ivmesine ait hem
büyüklüğünü hem de işaretini verir.
Pozitif bölge çizimi olması aracın pozitif yöne gittiğini
gösterir; negatif bölge ise negatif yöne.
Grafiğin zaman ekseni ile yaptığı pozitif bölge alanları pozitif
yöndeki, negatif alanlar negatif yöndeki yer değiştirme miktarını gösterir.
İvme-zaman grafiği sabit ise sadece aracın hızının düzgün değiştiği
anlaşılır.
İlk hız bilgisi verilmezse araçların hızlanma ya da yavaşlama yaptığı,
pozitif ya da negatif bir yöne gittiğine dair yorum yapılamaz.
İvme-zaman grafiğinde alanlar hızda meydana gelen değişim miktarını
gösterir.
Hız-zaman grafiklerinde hareketlinin yön değiştirmesi grafiğin pozitif hız bölgesinden negatif hız bölgesine ya da negatif hız bölgesinden pozitif hız bölgesine geçmesiyle anlaşılır. Örnekteki K aracı 0-t arasında ileri yönde yavaşlar, t anında hızı sıfır olur ve t anından sonra geri dönerek negatif yönde hızlanır. Grafiğin zaman eksenini kestiği an, yön değiştirdiği andır.
Hız-zaman grafiğinden konum-zaman grafiği çizilirken grafiklerin başlangıç noktaları orijinin altı ya da üstü olabilir, çünkü ilk konum bilgisi verilmemiştir. K’nin pozitif yöne gittiği bilinse bile, ilk konum bilinmediği için hareket üç farklı konumdan başlamış olabilir. Aynı şey ivme-zaman grafiğinden hız-zaman grafiği çizerken de geçerlidir: ilk hız bilinmediği için doğrunun başlangıç noktası belirsizdir.
Durgun hâlden hızlanan (ya da yavaşlayıp duran) bir hareketlinin eşit zaman aralıklarında aldığı yollar tek sayılarla orantılıdır. Bu ilişki, sabit ivmeli hareket sorularının en hızlı çözüm yoludur; hiç formül yazmadan sonuca götürür.
Düzgün yavaşlayan ve son hızı sıfır olan hareketlinin eşit sürelerde aldığı yollar arasında:
Yani yavaşlayan hareketli, hızlanan hareketlinin filmini geri sardığında ortaya çıkar: hızlananda x, 3x, 5x, 7x diye artan yollar, yavaşlayanda 7x, 5x, 3x, x diye azalır. Cismin en son durduğu aralıkta aldığı yol her zaman en küçüktür (x).
Bağıntılardaki x, hareketli boyunca hep aynı yönde gidiyorsa yol ile yer değiştirmenin ikisi birden olur; ama hareketli yön değiştirirse ikisi ayrışır. Yer değiştirme ilk konumla son konum arasındaki farktır ve işaretlidir; hız-zaman grafiğinde alanlar toplanırken eksen altı negatif alınır. Yol ise gidilen mesafelerin toplamıdır, her zaman pozitiftir ve grafikte alanların mutlak değerleri toplanır. Yukarı atılan bir taş yere döndüğünde yer değiştirmesi sıfır, aldığı yol ise çıkış yüksekliğinin iki katıdır.
Aşağıdaki dokuz sahnenin hepsinde ya bir eğim ya bir alan okuyorsun.
Beden dersinde çıkıştan sonraki ilk saniyeler düzgün hızlanan harekettir: hız ve ivme aynı yönlüdür. Sonrasında hız sabitlenir, ivme sıfırlanır ve konum-zaman grafiği paraboldan düz doğruya döner.
Hız iki katına çıkarsa fren mesafesi dört katına çıkar. Sebebi zamansız bağıntıdır: v² = 2·a·x, yani x, v ile değil v² ile orantılıdır.
Elinden kayan telefon sürtünmesiz kabul edilirse Fnet = mg ile sabit ivmeli düşer. Masadan düşerken ilk saniyenin dörtte birinde aldığı yol, tam saniyede aldığının on altıda biridir.
Rampaya hızla girip yukarı çıkarken hız azalır, ivme aşağı yönlüdür: hız ile ivme zıt yönlü. Tepede hız sıfırlanır ama ivme sıfır olmaz; bu yüzden geri kayarsın.
Asansör kalkarken ilk birkaç saniye ivmelidir, sonra sabit hızla gider ve varmadan önce yavaşlar. Hız-zaman grafiği yamuk şeklinde çıkar; yamuğun alanı çıktığın kat yüksekliğidir.
Ayağın topa değdiği süre çok kısadır ama o sürede top büyük bir ivme kazanır. Vuruştan sonra çim ile top arasındaki sürtünme yavaşlatan sabit net kuvvet olur; top düzgün yavaşlar.
Yürüyen merdivende hızın sabittir: ivme sıfır, konum-zaman grafiğin düz bir doğrudur ve o doğrunun eğimi tam olarak merdivenin hızıdır.
Evden okula gidip akşam eve döndüğünde yer değiştirmen sıfırdır, ama aldığın yol iki katıdır. Adım sayarken yolu, haritada bakarken yer değiştirmeyi ölçersin.
Yarış oyununda ekrandaki hız göstergesi düzgün doluyorsa ivme sabittir. Gaz bırakıldığında çubuk düzgün iner: aynı ivme, ters işaretle. Katedilen mesafe ise o çubuğun zamanla kapladığı alandır.
63 soruluk test · sabit ivmeli hareket bağıntıları, konum-hız-ivme grafikleri, eğim ve alan, eşit zaman aralıkları
Doğrusal bir yolda hızı düzgün olarak artan ya da düzgün olarak azalan
cisimlerin yapmış olduğu harekete bir boyutta sabit ivmeli hareket denir.
Net kuvvet sabitse ivme de sabittir. Hızın artması, azalması ya da yönünün değişmesi ivmeli
hareketin göstergesidir.
Düzgün hızlanan cisimler üzerinde net kuvvet, ivme ve hız vektörleri
aynı yöndedir.
Düzgün yavaşlayan cisimler üzerinde net kuvvet ile ivme vektörleri, hız
vektörlerine göre ters yöndedir.
Hareket yönü pozitifken hız azalıyorsa hem kuvvet hem ivme negatif yönlüdür.
x = v₀·t + ½·a·t² (v₀ = 0 ise x = ½·a·t²)
v(t) = v₀ + a·t (v₀ = 0 ise v = a·t)
vson² = v₀² + 2·a·x
x = v₀·t − ½·a·t²
v(t) = v₀ − a·t
vson² = v₀² − 2·a·x
Hesaplarda hem ilk hız hem ivme pozitif alınabilir; işareti bağıntıdaki eksi taşır.
vort = (vilk + vson) / 2 · x = vort · t
a = Fnet / m · a = Δv/Δt = (vson − vilk) /
(tson − tilk)
Eğimi, hızın hem büyüklüğünü hem işaretini verir.
Yatay doğru: durgun · Eğik doğru: sabit hızlı ·
kolları konum eksenine eğilen parabol: hız artıyor ·
kolları zaman eksenine eğilen parabol: hız azalıyor.
Sıfır konumdan +x’e giden hareket pozitif, −x’e giden negatif yönlüdür.
Eğimi ivmeyi (büyüklük ve işaret),
alanı yer değiştirmeyi verir; pozitif bölge alanları pozitif,
negatif bölge alanları negatif yöndeki yer değiştirmedir.
Pozitif bölgede çizim varsa araç pozitif yönde, negatif bölgedeyse negatif yönde gidiyordur.
Yön değiştirme, grafiğin zaman eksenini kestiği andır.
Sabitse yalnız hızın düzgün değiştiği anlaşılır.
İlk hız bilgisi verilmezse aracın hızlanma ya da yavaşlama yaptığı,
hangi yöne gittiği yorumlanamaz. Pozitif sabit ivme, pozitif yönde hızlanan ya da negatif
yönde yavaşlayan bir araca ait olabilir.
Alanlar hızdaki değişim miktarını gösterir.
Durgun hâlden hızlanan: eşit sürelerde x, 3x, 5x, 7x; toplam
konumlar x, 4x, 9x (yani 1 : 4 : 9).
Yavaşlayıp duran: iki eşit zamanda 3x, x; üç eşit zamanda
5x, 3x, x; dört eşit zamanda
7x, 5x, 3x, x.
Yön değişmiyorsa ikisi eşittir. Yön değişiyorsa yer değiştirme işaretlidir (alanlar işaretiyle toplanır), yol her zaman pozitiftir (alanların mutlak değerleri toplanır). Başladığı yere dönen hareketlinin yer değiştirmesi sıfırdır.