İki eksen
birbirini
beklemez
İki boyuttaki hareket yatay ve düşey eksenler üzerinde ve birbirinden bağımsız olarak ele alınıp incelenir. Yatayda kuvvet yoktur, o yüzden hız hiç değişmez; düşeyde ise tek kuvvet ağırlıktır, o yüzden serbest düşme kuralları aynen geçerlidir. Bütün atış soruları bu iki cümlenin birleşimidir.
t = 0 anında, hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda K cismi v₀ yatay hızıyla atıldığında cisim bir yörünge izleyerek yere ulaşır. Cisim hem yatay hem de düşey yer değiştirmeler yapar. Atıldıktan sonra yatay yönde cisme kuvvet etkisi olmadığı için cisim hızını (v₀) değiştirmez ve yatayda eşit zamanlarda eşit yollar alır.
İvme-zaman: yatayda kuvvet olmadığı için ivme sıfırdır, grafik zaman
ekseni üzerinde yatar.
Hız-zaman: hız v₀ değerinde sabittir, yatay bir doğrudur.
Konum-zaman: eşit sürelerde eşit yollar (x, 2x, 3x) alındığı için
eğik bir doğrudur.
x = vx · t = v₀ · t
Yatay hız hareket boyunca değişmediği için yatay yol, sabit hızlı hareketin bağıntısıyla bulunur. Cismin yere düşene kadar aldığı yatay uzaklık ise v₀ · tuçuş dur.
Yörüngenin herhangi bir P noktasında cismin hızının büyüklüğü, yatay yöndeki vx = v₀ ile o andaki düşey hızı vy = g·t hızlarının bileşkesidir. İkisi birbirine dik olduğu için büyüklük Pisagor ile bulunur: v² = vx² + vy². Zaman ilerledikçe vx aynı kalır, vy büyür; bu yüzden hız vektörü giderek dikleşir.
Cisim düşey yönde yer çekimi kuvveti etkisinde kaldığı için ivmesi (g) yer çekim ivmesine eşittir. Bu yönüyle de cisim düşey yönde serbest düşme kurallarına uygun hızlanmalar ve yer değiştirmeler yapar.
h = ½ · g · t²
vy = g · t
v² = 2 · g · h
Yer çekim ivmesi g değerinde sabit kabul edilirse düşey yönde her t sürede hız artışı vy kadar olurken, aldığı yol değerleri de (serbest düşmede de olduğu gibi) 0-t arasında h, t-2t arasında 3h, 2t-3t arasında 5h şeklinde gerçekleşir.
| Aralık | Yatayda alınan yol | Düşeyde alınan yol | g = 10 ile düşey yol | Düşey hız |
|---|---|---|---|---|
| 0 – 1. s | x | h | 5 m | 10 m/s |
| 1 – 2. s | x | 3h | 15 m | 20 m/s |
| 2 – 3. s | x | 5h | 25 m | 30 m/s |
Başlangıçtan itibaren toplam düşey konumlar ise −h, −4h, −9h (sayısal olarak −5, −20, −45 m) olur. Yatayda ise konumlar x, 2x, 3x diye düzgün artar — yörüngenin parabol görünmesinin sebebi tam olarak budur: bir eksen düzgün, öteki karesel ilerliyor.
Yatay atışta en çok sorulan iki şey, cismin ne kadar havada kaldığı ve o an hızının ne olduğudur. İkisinin de cevabı iki eksenin bağımsızlığından çıkar.
1. Cismin havada kalma süresi ilk hızına ve cismin kütle büyüklüğüne
bağlı değildir.
2. Cismin havada kalma süresi cismin yerden yüksekliğine (h) ve
yer çekim ivmesinin (g) büyüklüğüne bağlıdır.
Yani tuçuş = √(2h/g). Yatay hızı büyütmek cismi daha uzağa düşürür ama
bir saniye bile fazla havada tutmaz.
m kütleli cisim yatay v₀ ilk hızıyla atıldığında 2t sürede yere düşüyorsa, 2m kütleli cisim aynı yükseklikten 2v₀ yatay hızıyla atıldığında yine 2t sürede yere düşer, yatayda aldığı yol 2 katına çıkar. Kütle hiçbir şeyi değiştirmez; yatay hız yalnızca menzili büyütür.
Aynı masadan biri bırakılan, öteki yatay olarak fırlatılan iki silgi aynı anda yere iner. Çünkü düşey hareketi belirleyen tek şey ağırlıktır ve ikisinin de düşey ilk hızı sıfırdır. Yatay hız, cismin nereye düşeceğini değiştirir, ne zaman düşeceğini değiştirmez. Karışan ikinci nokta: yere çarpma hızları eşit değildir — fırlatılan cismin hızı vx bileşenini de taşıdığı için daha büyüktür.
Hava direncinin ihmal edildiği ortamda yukarı yönde yatayla α açısı yapacak şekilde v₀ ilk hızıyla eğik atış hareketi yapan cisme etki eden tek kuvvet yer çekimi kuvvetidir. Bu yüzden cisim düşeyde sabit (g) yer çekim ivmesi ile hareket, yatayda ise sabit hızlı hareket yapar. Düşeydeki hareket, aşağıdan yukarıya düşey atılan bir cismin hareket özelliklerini gösterir.
v0x = v₀ · cosα
v0y = v₀ · sinα
Açı büyüdükçe düşey bileşen büyür (daha yükseğe çıkar), yatay bileşen küçülür (yatayda daha yavaş ilerler). Menzil bu ikisinin çarpımına bağlı olduğu için ortada bir yerde en büyük olur.
Eğik atış hareketi yatay yönde sabit hızlı hareketlinin özelliklerine sahiptir. Yatay yönde cismin ivmesi sıfırdır. Yatay yol x = v0x·t, menzil ise xmenzil = v0x · tuçuş dur. Cismin tepe noktasındaki hızı sıfır olmayıp, yörünge boyunca değişmeyen v0x kadardır.
h = v0y · t − ½ · g · t²
vy = v0y − g · t
vy² = (v0y)² − 2 · g · h
Cismin tçıkış süresinde aldığı en büyük düşey yola maksimum yükseklik (hmax) denir. Cisim aynı düzleme düşerse çıkış süresi iniş süresine eşit olur.
tçıkış = tiniş = v0y / g
xmenzil = v0x · 2·v0y / g
Havada kalma süresi v0y düşey hız büyüklüğü ile doğru, g yer çekim ivmesiyle ters orantılıdır. Menzil ise hem düşey hem de yatay hız büyüklüğüne bağlıdır.
Bir cisim yatayla yukarı yönde α kadar açıyla ve v₀ ilk hızıyla atılırsa cismin menzili
x = v₀² · sin2α / g
bağıntısıyla hesaplanabilir. Bu formülden iki önemli sonuca ulaşılır:
1. Cisim yatayla yukarı yönde 45° açı
yapacak şekilde atıldığında maksimum menzile sahip olur. Hız büyüklüğü değiştirilmeden atış açısı
0° den 45° ye kadar büyüdükçe atış uzaklığı da büyür, 45° den 90° ye kadar ise küçülür.
2. Cisim, aynı büyüklükteki hızlarla
birbirini 90° ye tamamlayan açılarla atılırsa yatayda aynı menzil
uzaklığına sahip olur (30° ile 60°, 20° ile 70° gibi).
Yörüngenin herhangi bir noktasında cismin hızı, yatay yöndeki vx = v0x ile o andaki düşey hızı vy hızlarının bileşkesidir.
| Bölge | vx | vy | Toplam hız |
|---|---|---|---|
| a) Çıkış bölgesi | v0x | Yukarı, azalıyor | v² = vx² + vy² |
| b) Tepe noktası | v0x | Sıfır | v = vx = v0x |
| c) İniş bölgesi | v0x | Aşağı, artıyor | v² = vx² + vy² |
Eğik atış yapan cisim, maksimum yüksekliğe çıktıktan sonra yatay atış hareketi yapar. Cismin yere çarpma hızının büyüklüğü (vson), harekete başlarken sahip olduğu ilk hızın (v₀) büyüklüğüne eşittir.
Hava direncinin ihmal edildiği ortamda yatayla α açısı yapacak şekilde aşağı yönde eğik olarak atılan cisim, hem yatay hem de düşey doğrultuda ilerler. Cisim atıldığı andan itibaren yalnızca çekim kuvveti etkisinde kalır. Cismin düşey doğrultuda ilk hızı v0y büyüklüğünde olan düşey atış hareketi ile aynı hareketi yapar. Hareket süresince yatay doğrultuda cisme etki eden herhangi bir kuvvet yoktur; bu nedenle cisim yatay doğrultuda v0x büyüklüğünde hızla sabit hızlı hareket yapar.
vy = v0y + g · t
h = v0y · t + ½ · g · t²
vy² = (v0y)² + 2 · g · h
Bütün işaretler artıdır: düşey ilk hız da ivme de aşağı yönlüdür. Yukarı yönde eğik atışın denklemleriyle tek farkı budur.
x = v0x · t — ivme-zaman grafiği zaman ekseni üzerinde, hız-zaman grafiği v0x değerinde yatay doğru, konum-zaman grafiği eğik doğrudur. Yani pike atışta da yatay eksen hiç değişmez; değişen tek şey düşey eksene bir ilk hız eklenmiş olmasıdır.
| Özellik | Yatay atış | Yukarı eğik atış | Aşağı eğik atış (pike) |
|---|---|---|---|
| Düşey ilk hız | 0 | v₀·sinα (yukarı) | v₀·sinα (aşağı) |
| Yatay hız | v₀, sabit | v₀·cosα, sabit | v₀·cosα, sabit |
| Yatay ivme | 0 | 0 | 0 |
| Düşey ivme | g, aşağı | g, aşağı | g, aşağı |
| Düşey hız denklemi | vy = g·t | vy = v0y − g·t | vy = v0y + g·t |
| Yörünge | Yarım parabol | Tam parabol | Dikleşen parabol parçası |
Üç sütunun ortak satırı, bu ünitenin bütün cevabıdır: yatay ivme her zaman sıfır, düşey ivme her zaman g.
Aşağıdaki dokuz sahnenin hepsinde iki eksen aynı anda çalışıyor.
Sıranın kenarından yuvarlanıp düşen kalem ile aynı anda bıraktığın silgi aynı anda yere iner. Kalemin yatay hızı olması düşey hareketi hiç etkilemez; yalnız daha uzağa düşer.
Top eğik atış yapar. Tepe noktasında hızı sıfır değildir, yatay bileşeni v₀·cosα kadar sürer. Çok dik atarsan top yükselir ama potaya varmaz; çok yatık atarsan erken düşer. Aradaki denge menzil formülündeki sin2α dır.
Kaleciden gelen uzun vuruşta topun havada kalma süresini belirleyen tek şey düşey bileşendir. Aynı kuvvetle daha dik vurulan top daha uzun havada kalır ama daha yakına düşer.
Bahçe hortumunu yukarı eğdikçe su daha uzağa gider — ama 45° den sonra yeniden yakınlaşmaya başlar. 30° ile 60° aynı uzaklığa düşer; ikisi birbirini 90° ye tamamlar.
Açı ve güç ayarlanan nişan oyunlarında aynı hedefi iki farklı açıyla vurabilirsin: biri düşük ve hızlı varan, öteki yüksek ve geç varan. İkisinin açıları toplamı 90° dir.
Rampadan yatay çıkarsan yatay atış, yukarı eğimli çıkarsan eğik atış yaparsın. Havadayken ivmen her iki durumda da g dir; değişen tek şey ilk hızının düşey bileşenidir.
Uzaktan çöp kutusuna atarken elini yukarı kaldırırsın: yatay atışta süre çok kısa olur, top yetişemez. Eğik atış hem havada kalma süresini hem yatay yolu birlikte büyütür.
Balkondan bırakılan balon 20 m yi 2 saniyede iner. Aynı balonu ileri doğru fırlatırsan yine 2 saniyede iner, ama yere çarpma hızı daha büyüktür: hıza bir de yatay bileşen eklenmiştir.
Zıplayan bir topu yavaş çekimde izlersen kareler arasındaki yatay mesafenin hep eşit, düşey mesafenin ise giderek büyüdüğünü görürsün. Parabolün sebebi tam olarak budur.
60 soruluk test · yatay atış, iki eksenin bağımsızlığı, hız bileşkesi, eğik atış ve menzil, pike atış
İki boyuttaki hareket yatay ve düşey eksenler üzerinde ve birbirinden bağımsız olarak ele alınıp incelenir. Yatayda kuvvet yoktur → hız sabit, ivme sıfır. Düşeyde tek kuvvet ağırlıktır → ivme g.
x = v₀ · t
Yatay yönde cisme kuvvet etkisi olmadığı için cisim hızını değiştirmez ve yatayda eşit zamanlarda eşit yollar alır. Konumlar x, 2x, 3x diye ilerler.
h = ½·g·t² · vy = g·t · v² = 2·g·h
Düşeyde serbest düşme kuralları aynen geçerlidir: ardışık aralıklarda h, 3h, 5h (5, 15, 25 m); toplam konumlar h, 4h, 9h (5, 20, 45 m).
Cismin havada kalma süresi ilk hızına ve kütle büyüklüğüne bağlı değildir; yerden yüksekliğine (h) ve yer çekim ivmesine (g) bağlıdır. t = √(2h/g).
Herhangi bir noktada hız, vx ile vy nin bileşkesidir: v² = vx² + vy². Yatay bileşen hiç değişmez, düşey bileşen büyür.
v0x = v₀·cosα v0y = v₀·sinα
Yatayda sabit hızlı hareket, düşeyde yukarı düşey atış. Tepe noktasında hız sıfır değil, v0x kadardır.
tçıkış = tiniş = v0y/g
xmenzil = v0x · 2·v0y/g
x = v₀² · sin2α / g
Havada kalma süresi v0y ile doğru, g ile ters orantılıdır.
45° de menzil en büyüktür. 0° → 45° arasında atış uzaklığı büyür, 45° → 90° arasında küçülür. Birbirini 90° ye tamamlayan açılar aynı menzili verir (30° ↔ 60°).
Eğik atış yapan cisim, maksimum yüksekliğe çıktıktan sonra yatay atış hareketi yapar. Cismin yere çarpma hızının büyüklüğü, harekete başlarken sahip olduğu ilk hızın büyüklüğüne eşittir.
vy = v0y + g·t
h = v0y·t + ½·g·t²
vy² = (v0y)² + 2·g·h
Aşağı yönde eğik atışta düşey ilk hız da ivme de aşağı yönlüdür; bütün işaretler artıdır.
Yatay hızı büyütmek süreyi değil menzili büyütür. Bırakılan ve yatay atılan cisim aynı anda yere iner ama çarpma hızları eşit değildir.
Yatay ivme her zaman sıfır, düşey ivme her zaman g ve aşağı yönlü. Kütle hiçbirinde işe karışmaz.