Aşağı
her zaman
g kadar
Hava direncinin ihmal edildiği ortamda ilk hızsız olarak bırakılan cisimler, yer çekim kuvveti etkisinde hareket ederler. Bu harekete serbest düşme hareketi denir. Düşey doğrultudaki bütün hareketlerde — bırakılan, aşağı atılan, yukarı atılan — ivme aynıdır: büyüklüğü g, yönü aşağı. Değişen tek şey ilk hızdır.
Hava direncinin olmadığı ortamda, h yüksekliğinden serbest bırakılan cisme etki eden tek kuvvet cismin ağırlığıdır. Buna göre cismin ivmesi Fnet = G bağıntısından m·a = m·g, yani a = g olarak bulunur. Kütle iki tarafta da sadeleşir; bu yüzden ivme kütleye bağlı değildir.
v = g · t
İlk hız sıfır olduğu için hız, geçen süreyle doğru orantılıdır. g = 10 m/s² alındığında cismin hızı her saniye 10 m/s kadar artar.
h = ½ · g · t²
Düşülen yükseklik sürenin karesiyle orantılıdır: süre iki katına çıkarsa yükseklik dört katına çıkar.
v² = 2 · g · h
Süre sorulmuyorsa bu kullanılır. Yükseklik dört katına çıkarsa yere çarpma hızı iki katına çıkar.
Hava direncinin olmadığı ya da ihmal edildiği serbest düşme hareketinde aynı yükseklikten serbest bırakılan bütün cisimlerin ivmeleri, yere düşme süreleri ve yere çarpma hızları eşittir. Boşlukta bırakılan çelik bilye, kâğıt ve kuş tüyü aynı anda yere ulaşır.
Dünya yüzeyinde yer çekimi ivmesi 9,81 m/s² civarında değişken bir değer olmasına karşın yer çekimi ivmesini yaklaşık olarak 10 m/s² olarak kullanıyoruz. Soruların hepsinde bu yuvarlanmış değer geçerlidir.
Serbest düşmeye bırakılan cismin herhangi bir süre aralığında aldığı yol değerleri x = vort · t bağıntısı ile bulunabilir. İvme sabit olduğu için ortalama hız, aralığın başındaki ve sonundaki hızların aritmetik ortalamasıdır.
| Aralık | Baştaki hız | Sondaki hız | Ortalama hız | Alınan yol |
|---|---|---|---|---|
| 0 – 1. s | 0 | 10 m/s | 5 m/s | 5 m |
| 1 – 2. s | 10 m/s | 20 m/s | 15 m/s | 15 m |
| 2 – 3. s | 20 m/s | 30 m/s | 25 m/s | 25 m |
Ardışık eşit sürelerde alınan yollar 5, 15, 25 yani h, 3h, 5h biçiminde tek sayılarla artar; başlangıçtan itibaren toplam yollar ise 5, 20, 45 yani h, 4h, 9h olur.
Serbest düşme hareketi ilk hızı sıfır olan düzgün bir hızlanma olayıdır. Cismin hareket yönü yere doğrudur; bu yön negatif kabul edilirse üç grafik de eksenin altında çizilir. İki kural değişmez: ivme-zaman grafiğinde alanlar cismin hızında meydana gelen değişim miktarlarını, hız-zaman grafiğinde alanlar cismin yer değiştirme miktarlarını verir.
t, 2t, 3t anlarında hızlar −v, −2v, −3v; konumlar −h, −4h, −9h; ardışık aralıklarda alınan yollar ise h, 3h, 5h olur. İvme her an −g dir.
1, 2, 3. saniyelerde hızlar −10, −20, −30 m/s; konumlar −5, −20, −45 m; ardışık aralıklarda alınan yollar 5, 15, 25 m. İvme sabit −10 m/s².
Cisimler, hava, su gibi akışkan bir ortam içinde hareket ederken ortamın tanecikleri ile temas ederler. Temas ettikleri tanecikleri iterek geçtikleri için direnç kuvveti (Fd) ile karşılaşırlar. Direnç kuvveti de sürtünme kuvveti gibi cismin hareketine zıt yönlü oluşur ve hareketi zorlaştırır. Bu nedenle hava ortamında bırakılan kuş tüyü, boşlukta bırakılana göre daha uzun süre havada kalır ve daha küçük bir hızla yere çarpar.
Fd = K · A · v²
Hava direnci kuvvetinin büyüklüğü a) ortamın direnç katsayısına (K), b) cismin en büyük kesit alanına (A), c) cismin hızına (v) bağlıdır. Hız karesiyle girdiği için hız iki katına çıktığında direnç dört katına çıkar. Hava direnç kuvveti cismin hava temasındaki en büyük kesit alanı olarak dikkate alınır; küresel bir cisim için bu alan A = π·r² dir.
Cismin hızı arttıkça, cisme etki eden direnç kuvveti de artar. Direnç kuvveti arttığı için net kuvvet azalır. Hızın artmasıyla artan direnç kuvveti bir süre sonra cismin ağırlığı kadar bir büyüklüğe ulaşır. Bu durumda cisme etki eden net kuvvet ve cismin ivmesi sıfır olur. Bu andan sonra cisim değişmeyen bir hızla hareket eder; bu hıza limit hız (vlim) denir.
Fd = G alınırsa K·A·(vlim)² = m·g olur, buradan
vlim = √(m·g / (K·A))
Yani limit hız kütle büyüdükçe artar, kesit alanı ve ortam katsayısı büyüdükçe azalır. Paraşüt tam olarak A yı büyüterek limit hızı düşürür.
Aynı hava ortamında serbest düşen r yarıçaplı küresel bir yağmur tanesi ile 2r yarıçaplı yağmur tanesinin ulaşabileceği limit hızları kıyaslayalım.
vlim(r) / vlim(2r) = 1 / √2 ≈ 0,71
Yani büyük damla daha hızlı düşer: kütle yarıçapın küpüyle, kesit alanı ise karesiyle büyüdüğü için kütle artışı alan artışını yener.
Limit hızda ivme sıfırdır, hız sıfır değildir. Cisim sabit hızla düşmeye devam eder — üstelik bu, hareketin en hızlı olduğu bölümdür. Karışan ikinci nokta: yukarı atılan cismin tepe noktasında hız sıfırdır ama ivme sıfır değildir. Yani biri hızın, öteki ivmenin sıfırlandığı yerdir; ikisi aynı şey değildir.
Hava direncinin ihmal edildiği ortamda v₀ hızıyla düşey olarak aşağı doğru atılan cisme yalnızca çekim kuvveti etki eder. Cismin ivmesi g yer çekim ivmesine eşittir ve hareket boyunca sabittir; ivme hareketle aynı yöndedir. Bu durumda cisim, ilk hızı v₀ olan düzgün hızlanan doğrusal hareket yapar.
v = v₀ + g · t
h = v₀ · t + ½ · g · t²
v² = v₀² + 2 · g · h
Aşağıya doğru düşey atış hareketine ait grafiklerin özellikleri, ilk hızı v₀ olan ve düzgün hızlanan doğrusal harekete ait grafiklerin özellikleriyle aynıdır. Aşağı yön (−) seçilirse hız-zaman grafiği −v₀ dan başlayıp daha da negatife giden eğik bir doğru, ivme-zaman grafiği −g değerinde yatay bir doğru, konum-zaman grafiği ise aşağı doğru açılan bir parabol olur. Cismin t sürede aldığı yol h = vort·t = ((v₀ + v)/2)·t ile de bulunabilir.
Cisme etki eden çekim kuvveti harekete zıt yönde olduğu için cisim, ilk hızı v₀ olan düzgün yavaşlayan doğrusal hareket yapar ve durur. Yukarıya doğru düşey olarak atılan cisim maksimum yüksekliğe ulaştıktan sonra serbest düşme hareketi yapar.
v = v₀ − g · t
h = v₀ · t − ½ · g · t²
v² = v₀² − 2 · g · h
Yerden yukarıya doğru düşey olarak atılan cismin çıkabileceği en büyük yüksekliğe maksimum yükseklik (hmax) denir. Hız-zaman grafiğinin eğiminden çıkış süresi, alanından maksimum yükseklik bulunur:
tçıkış = tiniş = v₀ / g
tuçuş = 2 · tçıkış
hmax = (v₀ · t)/2 = v₀² / (2g)
Çıkış ve iniş sürelerinin eşitliği dikkate alındığında çıkış ve inişteki hız değişim büyüklüklerinin de eşit olduğu görülür. Sonuç olarak cisim yükselirken herhangi bir noktadaki hızının büyüklüğü v ise aşağı doğru düşerken aynı noktadaki hızının büyüklüğü yine v olur.
Cismin maksimum yükseklikteki hızı bir anlık sıfır olmasına rağmen cismin ivmesi sıfır değildir. Cisim üzerinde net kuvvet her an cismin ağırlığına eşit olduğu için cismin yörüngedeki her noktada ivme hem büyüklük olarak hem de yön olarak sabit ve yer çekim ivmesine eşittir.
Yerden yukarı yönde v₀ ilk hızıyla atılan cismin hızı 2v₀ yapıldığında:
| Büyüklük | v₀ ile | 2v₀ ile | Neden |
|---|---|---|---|
| Çıkış süresi | t | 2t | t = v₀/g, ilk hızla doğru orantılı |
| Maksimum yükseklik | hmax | 4hmax | h = v₀²/2g, ilk hızın karesiyle orantılı |
| Uçuş süresi | 2t | 4t | Uçuş süresi çıkış süresinin iki katıdır |
| İvme | g | g | Hiç değişmez; ilk hızdan bağımsızdır |
Cismin maksimum yüksekliğe çıkış süresi ilk hız büyüklüğüyle doğru orantılıdır. Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik ilk hızın karesiyle orantılıdır.
Aşağıdaki dokuz sahnede ya g nin sabitliği ya hava direnci karşına çıkıyor.
Sıradan düşen silgi ile kalem aynı anda yere iner: ivmeleri eşit, süreleri eşit. Kütlenin farklı olması hiçbir şeyi değiştirmez, çünkü m·a = m·g de kütle sadeleşir.
Tek bir defter sayfası salınarak iner, silgi hemen düşer. Fark kütlede değil kesit alanında: Fd = K·A·v² de A büyük olduğu için sayfa çok küçük bir limit hızda takılır. Sayfayı buruşturup top yaparsan A küçülür, çok daha hızlı düşer.
Yukarı fırlattığın top tepede bir an durur gibi görünür — hızı sıfırdır ama ivmesi hâlâ g. Bu yüzden orada asılı kalmaz, hemen geri düşmeye başlar.
Yağmur damlaları bulutun kilometrelerce yükseğinden gelmesine rağmen seni yaralamaz: hepsi limit hıza ulaşıp sabit hızla iner. İri damlalar ince olanlardan daha hızlı düşer, çünkü kütle yarıçapın küpüyle, kesit alanı karesiyle büyür.
Platform oyunlarında zıplama tuşuna basılı tutmak ilk hızı büyütür. İlk hız iki katına çıkınca karakter dört kat yükselir ama havada iki kat uzun kalır — h ilk hızın karesiyle, süre birinci kuvvetiyle orantılı olduğu için.
1 m den atlarsan suya yaklaşık 4,5 m/s ile, 4 m den atlarsan 9 m/s ile girersin. Yükseklik dört katına çıkınca hız yalnızca iki katına çıkar; çünkü v² = 2·g·h.
Aynı yükseklikten bırakılan paraşüte bağlı bir bilye, serbest bırakılan bilyeye göre daha uzun sürede yere ulaşır ve daha küçük bir hızla yere çarpar. Paraşüt kütleyi değil kesit alanını büyütür.
Elini düz tutunca rüzgâr çok daha sert iter, yan çevirince hafifler: değişen tek şey kesit alanı A. Araç hızlandığında itilme birdenbire artar, çünkü direnç hızın karesiyle büyür.
Gerçek havada sonsuza kadar hızlanan bir düşüş yoktur: her cisim er geç limit hıza oturur ve sabit hızla iner. Hızlanmanın bitmesi için kuvvetin bitmesi gerekmez — net kuvvetin sıfırlanması yeter.
61 soruluk test · serbest düşme denklemleri, üç grafik, hava direnci ve limit hız, düşey atış hareketleri
Hava direncinin ihmal edildiği ortamda ilk hızsız olarak bırakılan cisimler yer çekim kuvveti etkisinde hareket ederler; bu harekete serbest düşme denir. Tek kuvvet ağırlık olduğu için m·a = m·g den a = g çıkar; kütle sadeleşir. Aynı yükseklikten bırakılan bütün cisimlerin ivmeleri, düşme süreleri ve çarpma hızları eşittir.
v = g · t
h = ½ · g · t²
v² = 2 · g · h
x = vort · t
Hızlar 10, 20, 30 m/s · toplam konumlar 5, 20, 45 m (h, 4h, 9h) · ardışık aralıklarda alınan yollar 5, 15, 25 m (h, 3h, 5h). İvme her an 10 m/s².
İvme-zaman grafiğinde alanlar cismin hızında meydana gelen değişim miktarlarını verir. Hız-zaman grafiğinde alanlar cismin yer değiştirme miktarlarını verir. Aşağı yön (−) seçilirse üç grafik de eksenin altında çizilir.
Fd = K · A · v² — ortamın direnç katsayısına, cismin en büyük kesit alanına ve hızına bağlıdır. Harekete zıt yönlüdür. Küre için kesit alanı A = π·r² alınır.
Hız arttıkça direnç artar, net kuvvet azalır. Direnç ağırlığa eşitlendiğinde net kuvvet ve ivme sıfır olur; cisim sabit hızla düşer. vlim = √(m·g / (K·A)). Kütle büyüdükçe artar, kesit alanı ve K büyüdükçe azalır.
v = v₀ + g · t
h = v₀ · t + ½ · g · t²
v² = v₀² + 2 · g · h
İvme hareketle aynı yönde; düzgün hızlanan doğrusal hareket.
v = v₀ − g · t
h = v₀ · t − ½ · g · t²
v² = v₀² − 2 · g · h
Çekim kuvveti harekete zıt olduğu için düzgün yavaşlar ve durur; sonra serbest düşme yapar.
tçıkış = tiniş = v₀ / g
tuçuş = 2 · v₀ / g
hmax = v₀² / (2 · g)
Çıkış süresi ilk hızla doğru, maksimum yükseklik ilk hızın karesiyle orantılıdır.
Cisim yükselirken herhangi bir noktadaki hızının büyüklüğü v ise aşağı doğru düşerken aynı noktadaki hızının büyüklüğü yine v olur. Yere dönüş hızı, atılış hızına eşittir.
Tepe noktasında hız sıfır, ivme g. Limit hızda ise ivme sıfır, hız en büyük.
Gerçekte 9,81 m/s² civarında değişken bir değerdir; sorularda 10 m/s² alınır.