Net Kuvvet
Bölü
Kütle
Bir önceki ünitede net kuvveti bulmayı öğrendik. Şimdi o net kuvvetin cismi ne kadar hızlandırdığını hesaplıyoruz. Tek bağıntı var: Fnet = m · a. Yatay düzlemden eğik düzleme, iple bağlı cisimlerden makaralı sistemlere kadar bütün sorular bu bağıntının aynı cisme ya da aynı sisteme uygulanmasından ibarettir.
Cisim üzerindeki net kuvvet ile kütlesi ve ivmesi arasındaki bağ tek satırdır: Fnet = m · a, yani a = Fnet / m. Buradan iki sonuç çıkar: aynı kütleye iki katı kuvvet uygularsan ivme iki katına çıkar, aynı kuvveti iki katı kütleye uygularsan ivme yarıya iner.
Yüzeyin cinsine bağlı olarak değişen sürtünme katsayısı k ve yüzeyin cisme uyguladığı normal kuvvet (ya da tepki kuvveti) N ise sürtünme kuvvetinin büyüklüğü Fs = k · N bağıntısıyla bulunur. Yani sürtünme kuvveti cismin hızına ya da uyguladığın kuvvete değil, yüzeye ne kadar bastırdığına bağlıdır.
Sürtünmeli yatay düzlem üzerinde hareketsiz duran cismi hareket ettirebilmek için uygulanması gereken F kuvvetinin, Fs(statik) statik sürtünme kuvvetinin maksimum değerinden daha büyük olması gerekir. Cisim harekete geçtikten sonra cisme Fs(kinetik) sürtünme kuvveti etki eder. Genellikle kstatik > kkinetik olduğu için Fs(statik) > Fs(kinetik) olur. Cisimleri durgun hâlden harekete geçirmenin zorluğu da bu nedenledir.
| Durum | Normal (tepki) kuvveti N | Sürtünme Fs = k · N |
|---|---|---|
| Yatay zemin, yalnız ağırlık | N = mg | k · mg |
| Yatay zemin, üstten F ile bastırılıyor | N = F + mg | k · (F + mg) — artar |
| Yatay zemin, eğik F ile yukarı çekiliyor (Fy = F·sinα) | N = mg − Fy | k · (mg − Fy) — azalır |
| Düşey duvara F ile bastırılan cisim | N = F | k · F |
| Eğik düzlem (eğim açısı α) | N = mg · cosα | k · mg · cosα |
Eğik kuvvetin bileşenleri Fx = F·cosα ve Fy = F·sinα olarak verilir (α, kuvvetin yatayla yaptığı açıdır). Eğik düzlemde ise ağırlığın bileşenleri Gx = mg·sinα ve Gy = mg·cosα olur.
Cisim daha hareket etmiyorken sürtünme kuvveti senin uyguladığın kuvvete eşittir ve zıttır (Fs(statik) = −F); yani sen kuvveti artırdıkça sürtünme de artar ve net kuvvet sıfır kalır. Ama bu sonsuza kadar sürmez: sürtünmenin bir maksimum değeri vardır, onu geçtiğin anda cisim fırlar gibi harekete geçer. Cisim hareket ettikten sonra ise sürtünme artık senin kuvvetine bağlı değildir; kkinetik · N kadar sabit kalır.
Yatay düzlemde düşey yönde N ve G birbirini götürür, iş yatay yönde biter. Aşağıdaki gezginde her senaryoda serbest cisim diyagramı çizilir, net kuvvetin işareti (hareket yönüyle aynı mı, zıt mı) ayrı renkte gösterilir ve ivme hesaplanır.
v0 ilk hızı verilerek yatay zemine atılan m kütleli cisim
üzerinde ağırlık G ve zemin tepkisi N olmak üzere iki kuvvet zıt yönde eşit büyüklükte olduğu için
bileşke kuvvet sıfır olur, cisim sabit hızlı hareket yapar.
İlk hızı v0 = 0 olan cisim sürtünmesiz yatay düzlemde dış
bir F kuvveti etkisi altında kalırsa cisim bu F net kuvveti etkisi altında harekete geçerek hızını
düzgün bir şekilde artırır. Kazanacağı ivme a = F / m.
Cisimle zemin arasında Fs sürtünme kuvveti varsa hareket
yönüne ters yönde oluşan bu kuvvet cisim üzerinde net kuvvet oluşturur ve cisim yatay zeminde sabit
ivmeli hareket yaparak yavaşlar ve durur. Yavaşlama ivmesi
Fs = m · a denkleminden bulunur.
F kuvveti de varsa: cisim harekete geçmezse Fnet = 0;
F > Fs(statik) ise cisim harekete geçer ve hızlanır,
ivmesi a = (F − Fs(kinetik)) / m olur.
Yavaşlayan cismin ivmesi a = Fs/m = k·mg/m = k·g olarak sadeleşir — yani kütle sadeleşir. Aynı zeminde atılan ağır ve hafif iki cisim, aynı ilk hızla atıldıklarında aynı ivmeyle yavaşlar ve aynı mesafede durur. Bu sadeleşme, ivmenin kütleden bağımsız çıktığı ikinci durumdur; birincisi sürtünmesiz eğik düzlemdir (04. bölüm).
İple bağlı ya da birbirine değen iki cisimde yöntem hep aynıdır: ivmeyi sistemin tamamına bakarak bul (çünkü iç kuvvetler sadeleşir), ip gerilmesini tek bir cisme bakarak bul. Cisimler arasındaki ipte oluşan gerilme kuvveti, cisimlerden yalnız birinin incelenmesiyle bulunabilir.
Sürtünmesizde: Fnet = F = (m₁ + m₂) · a, buradan
a = F / (m₁ + m₂). Serbest cisim diyagramına bakılırsa net
kuvvetin sadece F kuvveti olduğu görülür.
Sürtünmelide: Fnet = F − (Fs1 +
Fs2) = (m₁ + m₂) · a, yani
a = [F − (Fs1 + Fs2)] / (m₁ + m₂).
Sürtünme kuvvetleri Fs1 = k·m₁·g ve
Fs2 = k·m₂·g.
m₁ için: Fnet = T − Fs1 = m₁ · a
m₂ için: Fnet = F − (T + Fs2) = m₂ · a
Sürtünme yoksa aynı denklemler T = m₁ · a ve
F − T = m₂ · a hâline gelir. İki denklemi topladığında T
sadeleşir ve sistem denklemine geri dönersin — bu, hesabının doğru olduğunun kontrolüdür.
İple değil doğrudan temasla itilen iki cisimde ipin yerini etkileşme kuvvetleri alır: m₁’den m₂’ye etki eden F₂ ve m₂’den m₁’e etki eden tepki F₁. Sistemin ivmesi yine a = F / (m₁ + m₂); kuvvetler kısmi incelemelerle bulunur. F₁ ve F₂ etki-tepki çifti olduğu için büyüklükleri eşittir.
K cismi L cismi üzerinden düşmeden birlikte hareket ederse
sistemin ivmesi a = F / (mK + mL) olur.
Kısmi incelemede:
L için: F − fsL = mL · a
K için: fsK = mK · a
Yani üstteki K cismini hızlandıran tek kuvvet sürtünmedir; birlikte
hareket edebilmelerinin şartı da sürtünmenin mK·a değerini karşılayabilmesidir.
İp gerilmesi bir cisim için ileri, diğeri için geri yönlü olduğundan sisteme bir bütün olarak bakıldığında sadeleşir; sistem denkleminde T hiç görünmez. Bu yüzden “ivmeyi bul” denince sisteme, “ipteki gerilmeyi bul” denince yalnız bir cisme bakılır. Aynı sebeple temaslı cisimlerde F₁ ve F₂ de sistem denkleminde yer almaz.
Eğik düzlemde net kuvvet mg·sinα olduğu için ivme a = g·sinα çıkar: kütle sadeleşir. Sürtünme girdiğinde de aynı sadeleşme sürer, çünkü sürtünme k·mg·cosα kadardır ve içinde yine m vardır.
Sürtünmesiz eğik düzleme bırakılan cisim üzerinde net kuvvet
mg·sinα olup bu kuvvet etkisinde hızlanırken cismin kazanacağı ivme a = g·sinα olur.
Sürtünmesiz eğik düzleme bırakılan ya da eğik düzleme paralel bir ilk
hız verilerek atılan cismin ivmesi, kütle miktarına, ilk hızın yön ve büyüklüğüne bağlı
değildir. Yani aynı eğik düzlemdeki bütün cisimlerin ivmesi eşit ve
a = g·sinα kadardır.
Sürtünme kuvveti Fs = k · N = k · mg · cosα.
Aşağı yönde hızlanırken: mg·sinα − Fs = m·a →
a = g · (sinα − k · cosα)
Yukarı yönde ilk hızla atıldığında: mg·sinα + Fs = m·a →
a = g · (sinα + k · cosα)
Sistem durgun kalırsa Fnet = 0 olur.
Cisim eğik düzlemde yukarı ilk hız verilerek atılırsa:
Sebebi tek cümledir: yukarı çıkarken hem ağırlığın bileşeni hem sürtünme aynı yöne (aşağı) bakar, inerken ise sürtünme yön değiştirip ağırlık bileşenine karşı durur.
| Cismin hâli | Net kuvvet | İvme |
|---|---|---|
| Durgun | Fnet = 0 | a = 0 |
| Aşağı doğru hızlanıyor | Fnet = mg·sinα − F | a = (mg·sinα − F) / m |
| Yukarı doğru hızlanıyor | Fnet = F − mg·sinα | a = (F − mg·sinα) / m |
Bağıntılardaki α, eğik düzlemin yatayla yaptığı açıdır. Bir soruda düzlemin düşeyle yaptığı açı verilirse önce 90°’den çıkarman gerekir; yoksa sinüs ile kosinüs yer değiştirir. Kontrol yolu uç durumlardır: α = 0° iken düzlem yataydır ve a = g·sin0° = 0; α = 90° iken düzlem dikeydir, cisim serbest düşer ve a = g·sin90° = g olur.
Birden çok cismin aynı iple bağlandığı sistemlerde hepsinin ivmesi aynı büyüklüktedir — yönleri farklı olabilir. Bu yüzden ivme, sistemin toplam kütlesi ile hesaplanır: a = Fnet / mtoplam. Aşağıdaki gezginde beş klasik düzenek var; her birinde önce sistem denklemi, sonra kısmi incelemeler yazılıyor.
M ve L masada, K asılı. Sistem serbest bırakıldığında K cismi aşağı,
L ve M cisimleri yatay yönde aynı ivme ile hızlanırlar.
Sürtünmesiz: Fnet = GK,
a = GK / (mK + mL + mM).
Kısmi inceleme: M: T₂ = mM·a ·
L: T₁ − T₂ = mL·a ·
K: GK − T₁ = mK·a.
Fnet = GK − (fsM + fsL),
a = [GK − (fsM + fsL)] / (mK + mL +
mM).
Kısmi inceleme: M: T₂ − fsM = mM·a ·
L: T₁ − (T₂ + fsL) = mL·a ·
K: GK − T₁ = mK·a.
Asılı cismin denklemi değişmez, çünkü sürtünme masadadır.
Sistem serbest bırakılınca L cismi eğik düzlemde aşağı, K cismi ise
yukarı yönde harekete geçip hızlanıyorsa (sürtünme yalnız eğik düzlemde):
Fnet = mL·g·sinα − (Fs +
mK·g), a = bu değer / (mK + mL).
Kısmi inceleme: L: mL·g·sinα − (Fs + T) =
mL·a · K: T − mK·g = mK·a.
m₁ cismi F ile çekiliyor, üstündeki m₂ cismi bir iple duvara bağlı ve sürtünme yalnız cisimler
arasında. m₁ kütleli cisim F kuvveti etkisinde yatay yönde hızlanıyor
ise Fnet = F − Fs ve
a = (F − Fs) / m₁ olur.
Cisimler arasındaki sürtünme kuvveti m₂ kütleli cismin yatay yönde
hareketini sağlamaya çalışırken m₂ kütleli cisim ipteki gerilme nedeniyle durgun kalır:
m₂ üzerinde Fnet = 0 ve T = Fs2 büyüklüğündedir.
Yatay düzlemdeki durgun M kütleli vagona F dış kuvveti uygulandığında sistem üzerindeki net kuvvet F’dir ve vagonun ivmesi a = F / (M + m) olur. Tavana iple asılı m kütleli cisim, ipin düşeyle bir α açısı yapacağı bir denge konumuna gelir. Cisme yatay yönde m·a kadar net kuvvet gerektiği için:
tanα = Fnet / mg = m·a / m·g = a / g
Vagonun tavanına bağlı cisimlerin düşeyle yaptığı açı cismin kütlesine bağlı olmayıp, sadece vagonun ivme büyüklüğüne ve ortamdaki yer çekimi ivmesine bağlıdır. Bu yüzden aynı vagonun tavanına asılı m ve 2m kütleli iki cisim aynı açıyla savrulur.
Aynı iple bağlı cisimlerin ivmesi eşittir ama üzerlerindeki net kuvvetler eşit değildir: her cismin net kuvveti kendi kütlesiyle orantılıdır (Fnet = m·a). Üç cisimli sistemde T₁ hep T₂’den büyüktür, çünkü T₁ hem M’yi hem L’yi hızlandırmak zorundadır. Aynı sebeple asılı K cismi için T₁ < GK’dir; T ancak sistem durgunsa ya da sabit hızla gidiyorsa GK’ye eşit olur.
Aşağıdaki dokuz sahnede aynı bağıntı çalışıyor: net kuvveti bul, kütleye böl, ivmeyi gör.
Boş sırt çantasını koridorda aynı kuvvetle ittiğinde hemen fırlar, kitapla doluyken zar zor kayar. Kuvvet aynı, kütle büyük: a = F/m küçülür. İvme kütleyle ters orantılıdır.
Silgiyi masada fiskeyle ittiğinde elin ayrıldıktan sonra tek yatay kuvvet sürtünmedir; Fs = m·a ile yavaşlar ve durur. Kayma mesafesi silginin ağırlığına değil, yüzeyin cinsine ve ilk hıza bağlıdır.
Sıra önce hiç kımıldamaz: uyguladığın kuvvet statik sürtünmenin maksimumunu geçmemiştir, net kuvvet sıfırdır. Geçtiğin anda birden hızlanır, çünkü artık kinetik sürtünme devrededir ve daha küçüktür.
Çantayı yere paralel değil de yukarı doğru eğik çekersen kayması kolaylaşır: kuvvetin düşey bileşeni Fy zemine binen yükü azaltır, N = mg − Fy küçülür, sürtünme de küçülür.
Aynı rampada arkadaşınla yan yana bıraksanız, kilonuz farklı olsa bile aynı ivmeyle inersiniz: a = g·sinα içinde kütle yoktur. Rampa dikleştikçe sinα büyür ve iniş sertleşir.
Servis kalkarken dikiz aynasındaki kolye geriye eğilir. Eğilme açısı tanα = a/g ile verilir: kolyenin ağırlığına değil, servisin ivmesine bağlıdır. Yani o kolye aslında bir ivmeölçerdir.
Asansör yukarı doğru hızlanırken ayaklarına daha çok bastırırsın: zemin tepkisi N = m(g + a) olur. Aşağı hızlanırken hafiflersin, N = m(g − a). Kütlen hiç değişmez, değişen zeminin sana uyguladığı kuvvettir.
Beden dersinde halat çekerken kazanan taraf “daha çok çeken” değil, yere daha iyi tutunan taraftır: halattaki gerilme iki tarafta da aynıdır, farkı yaratan ayakkabı ile zemin arasındaki sürtünmedir.
Kitabı yavaşça ileri taşırsan üstündeki telefon da gelir; telefonu hızlandıran tek kuvvet sürtünmedir ve fs = m·a olması gerekir. Aniden hızlandırırsan gereken sürtünme yetmez ve telefon geride kalır.
62 soruluk test · a = F/m, sürtünme, bağlı ve temaslı cisimler, eğik düzlem, makaralı sistemler ve vagon
Fnet = m · a ⇒
a = Fnet / m.
Sürtünme kuvveti Fs = k · N.
kstatik > kkinetik olduğu için
Fs(statik) > Fs(kinetik); cisimleri durgun hâlden harekete geçirmek daha
zordur.
Yatay zemin: N = mg · üstten bastırma:
N = F + mg · eğik çekme:
N = mg − Fy · düşey duvar:
N = F · eğik düzlem:
N = mg·cosα.
Eğik kuvvetin bileşenleri: Fx = F·cosα, Fy = F·sinα.
Sürtünmesiz + ilk hız: Fnet = 0, sabit hızlı hareket.
Sürtünmesiz + F: a = F / m.
Sürtünmeli + ilk hız: Fs = m·a, yavaşlar ve durur.
Sürtünmeli + F: hareket yoksa Fnet = 0; F > Fs(statik) ise
a = (F − Fs(kinetik)) / m.
Sürtünmesiz: a = F / (m₁ + m₂).
Sürtünmeli: a = [F − (Fs1 + Fs2)] / (m₁ + m₂),
Fs1 = k·m₁·g, Fs2 = k·m₂·g.
Kısmi inceleme: m₁: T − Fs1 = m₁·a ·
m₂: F − (T + Fs2) = m₂·a.
Temaslı: a = F / (m₁ + m₂); etkileşme kuvvetleri F₁ ve F₂ kısmi incelemeyle bulunur, eşit
büyüklüktedir.
Üst üste (yalnız cisimler arası sürtünme): a = F / (mK +
mL); L: F − fsL = mL·a ·
K: fsK = mK·a.
Sürtünmesiz: a = g·sinα; kütleye, ilk hızın yön ve büyüklüğüne
bağlı değildir.
Sürtünmeli, aşağı: a = g·(sinα − k·cosα).
Sürtünmeli, yukarı atılmış: a = g·(sinα + k·cosα).
F kuvveti varsa (sürtünmesiz): aşağı (mg·sinα − F)/m, yukarı
(F − mg·sinα)/m.
Sürtünmesizde çıkış ve iniş ivmesi aynıdır, süreler eşittir.
Sürtünmelide yukarı çıkarken ivme büyük, inerken küçüktür;
çıkış süresi küçük, iniş süresi büyük olur.
Üç cisim (sürtünmesiz): a = GK / (mK +
mL + mM); M: T₂ = mM·a, L: T₁ − T₂ = mL·a,
K: GK − T₁ = mK·a.
Sürtünmeli: a = [GK − (fsM +
fsL)] / mtoplam.
L eğik düzlemde aşağı, K yukarı gidiyorsa:
Fnet = mL·g·sinα − (Fs +
mK·g), a = bu değer / (mK + mL).
Kısmi: L: mL·g·sinα − (Fs + T) =
mL·a · K: T − mK·g = mK·a.
a = F / (M + m) ve ipin düşeyle yaptığı açı için
tanα = a / g.
Açı cismin kütlesine bağlı değildir; yalnız vagonun ivmesine ve
yer çekimi ivmesine bağlıdır.
İpe bağlı üst cisim duvara bağlıysa: m₁ için a = (F − Fs)/m₁, m₂ için
Fnet = 0 ve T = Fs2.