Momentum
her eksende
ayrı korunur
Bir önceki ünitede çarpışmalar tek doğru üzerindeydi. Şimdi cisimler bir düzlemde çarpışıyor, kenetleniyor ya da patlayıp saçılıyor. Değişen tek şey hesap yöntemi: momentum vektörel olduğu için x ve y bileşenleri ayrı ayrı korunur. Yasa aynı yasa, denklem sayısı iki oldu.
Momentum vektörel bir büyüklüktür. Bu yüzden bir düzlemde gerçekleşen olaylarda korunum, vektörlerin bileşenleri üzerinden yazılır: yatayda toplam momentum ne ise olaydan sonra da odur, düşeyde toplam momentum ne ise olaydan sonra da odur. Bir eksende toplam momentum sıfırsa, olaydan sonra da o eksende toplam sıfır kalmak zorundadır.
Pilk = Pson (vektörel)
x ekseninde: ΣPx(ilk) = ΣPx(son)
y ekseninde: ΣPy(ilk) = ΣPy(son)
Bir momentum vektörünün bileşenleri Px = P · cos α ve Py = P · sin α ile bulunur (α, vektörün yatayla yaptığı açı). Bileşenler ayrı ayrı toplanır; iki eksen birbirine karışmaz.
Biri yatayda 3 kg·m/s, öteki düşeyde 4 kg·m/s momentumla giden iki cismin toplam momentumu 7 değil 5 kg·m/s dir. Vektörler dik olduğu için bileşke √(3² + 4²) ile bulunur. Momentum korunumunda sayıları değil, aynı eksendeki bileşenleri toplarız.
Aynı düzlemdeki m₁ ve m₂ kütleli cisimler v₁ ve v₂ hızları ile hareket edip O noktasında esnek olmayan çarpışma yaparak kenetlenirler; çarpışma sonrası ortak bir vortak hızıyla harekete devam ederler. Çarpışma öncesi momentumların bileşkesi ne ise, kenetlenmiş cismin momentumu da odur.
P₁ = m₁ · v₁ · P₂ = m₂ · v₂
Pilk = P₁ + P₂ (vektörel toplam)
Pson = (m₁ + m₂) · vortak
Pilk = Pson
Esnek olmayan çarpışmalarda momentum korunumu varken enerji korunumu yoktur. Kinetik enerjinin bir kısmı ısı, ses ve şekil değiştirme enerjisine dönüşür.
Kenetlenen cismin gittiği doğrultu, iki momentum vektörünün bileşkesinin doğrultusudur. Yatay momentum büyükse sonuç yatayına yakın, düşey momentum büyükse düşeyine yakın çıkar. Kütlelerin hangisinin büyük olduğu tek başına belirleyici değildir; belirleyici olan m·v çarpımlarıdır.
1 numaralı bilardo topu v₁ hızı ile hareket ederek özdeş, durgun 2 ve 3 numaralı toplara çarpmaktadır. Çarpışma sonrası 1 numaralı top durgun hâle geçerken 2 ve 3 numaralı toplar v₂ ve v₃ hızları ile saçılır. Bu klasik olayda iki denklem birden çalışır.
P₁ = P2x + P3x
1 numaralı topun ilk momentumu yatay yöndedir. Çarpışma sonrası 2. ve 3. topların momentumlarının yatay bileşenlerinin toplamı P₁ e eşit olmalıdır.
P2y = −P3y
Düşey yönde bir ilk momentum olmadığı için son durumda iki düşey momentum bileşeni birbirine eşit büyüklükte ve zıt yönlü olmalıdır ki düşeyde toplam momentum da sıfır olsun.
M kütleli tank, m kütleli mermisi ile hareketsiz durmaktadır. Tank mermiyi yatayla 37° yapacak şekilde vm hızıyla fırlattığında kendi de yatayda vT hızı kazanır. Sistemde ilk momentum sıfır olduğu için son momentum da sıfır olmalıdır.
PT = −Pmx → M · vT = Pm · cos 37°
Tankın hareketi yatayda olduğu için tanka yatay yönde itmeyi veren, merminin momentumunun yatay bileşenidir. Merminin düşey bileşeninin karşılığı olan PTy momentumu ise yerin tepkisi ile dengelendiği için bu yönde hareket gözlenmez.
Yatay bir zeminde durgun duran M kütleli bir cisim iç patlama sonucu aynı düzlemde üç parçaya ayrılsın. İç patlama öncesi durgun olan cismin momentumu sıfırdır. İç patlama sonrası üç parçaya ayrılan parçaların son momentum vektörlerinin toplamı da sıfır olmalıdır.
P₁ = m₁ · v₁ · P₂ = m₂ · v₂ · P₃ = m₃ · v₃
Pson = P₁ + P₂ + P₃ = 0
x ekseninde: P₃ = −(P1x + P2x) ·
y ekseninde: P2y = −P1y
Yani üç vektör uç uca eklendiğinde kapalı bir şekil oluşturur. İki parçanın momentumu biliniyorsa üçüncüsü tek bir vektördür: ötekilerin bileşkesinin tam tersi.
Aşağıdan yukarıya doğru atılan 3m kütleli bir cisim çıkabileceği maksimum yükseklikte iç patlamaya uğrayıp m ve 2m lik iki parçaya ayrılsın. Patlama en tepede olduğu için parçalanma öncesi hız ve momentum sıfırdır. Bu yüzden m · vm = −2m · v2m, yani vm = −2·v2m olur: hafif parça iki kat hızla ters yöne gider.
h yüksekliğinden serbest bırakılan M kütleli cisim K noktasında iki parçaya ayrılsın. Patlama anında momentum aşağı yönlüdür. Parçalardan biri (m₁) yatay atış yapıyorsa, m₂ nin momentum vektörü, P₁ ile bileşkesi PM yi verecek şekilde oluşur; yani m₂ kütleli parça aşağı yönde eğik atış hareketi yapar.
v₀ hızıyla eğik atış hareketine başlatılan 2m kütleli bir cisim maksimum yüksekliğe ulaştığı anda iç patlamaya uğrayıp iki eşit parçaya ayrılsın. Parçalardan m kütleli olan serbest düşme yaparsa diğerinin hızı ve yörüngesi nedir?
Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığı anda düşey yönde hızı sıfır olurken yatay yönde v0x hızı vardır. Bu andaki momentumu da yatay yönde Pilk = 2m · v0x kadardır. Momentum korunumuna göre iç patlama sonucu oluşan parçaların momentumlarının bileşkesi de 2m · v0x olmalıdır. Parçalardan biri serbest düştüğüne göre (yatay momentumu sıfır) diğer parça 2v0x hızıyla yatay atış hareketi yapar.
Patlamada dışarıdan enerji eklenir, bu yüzden kinetik enerji artar. Ama patlayıcının iç kuvvetleri sisteme net bir dış kuvvet uygulamaz; parçalar birbirini eşit ve zıt kuvvetlerle iter. Bu yüzden toplam momentum hiç değişmez. Enerji artar, momentum artmaz — ikisi ayrı defterdir.
Dokuz sahnede vektörel korunum karşına çıkıyor; hepsinde soru aynı: hangi eksende ne kadar momentum vardı?
Beyaz topu tam ortadan değil de yandan vurursan iki top simetrik biçimde ayrılır: düşeyde ilk momentum sıfırdı, sıfır kalmak zorunda.
Sana yandan gelen topa ileri doğru vurursan top ne senin vuruş yönüne ne de geldiği yöne gider; iki momentumun bileşkesi yönüne gider.
Koridorun köşesinde arkadaşınla çarpışıp birbirinize tutunursanız, ikiniz de kendi geldiğiniz yöne değil arada bir yöne savrulursunuz. Hangi tarafa daha yakın savrulacağınızı m·v çarpımları belirler.
Durgun hâlde birbirinizi iterseniz toplam momentum sıfırdan başlar ve sıfır kalır: ikiniz de zıt yönlere gidersiniz, ağır olan daha yavaş.
Fişek en tepede patlar ve kıvılcımlar simetrik bir küre gibi yayılır. Patlama anındaki momentum küçüktür, bu yüzden desen neredeyse tam simetrik görünür.
İyi yapılmış oyunlarda patlayan bir kutunun parçaları rastgele değil, toplamı sıfır olacak biçimde saçılır. Bir parça sağa hızlı giderse ötekiler sola doğru dengeler.
Şişeyi masaya çarptığında yatay hızı da vardı, düşey hızı da. Sekme sonrası düşey bileşen ters döner, yatay bileşen aynı yönde devam eder; bu yüzden şişe geri gelmez, ileri doğru zıplar.
Kaykay üstünde giderken çantanı yana doğru atarsan kaykay hem yavaşlamaz hem de yan tarafa doğru bir itme alır: attığın yönün yatay bileşeni ne kadarsa, sen o kadar ters yöne kayarsın.
Havada patlayan bir su balonunun damlaları farklı yönlere gider ama hepsinin momentumunun toplamı, balonun patlamadan önceki momentumuna eşittir. Grup hâlinde bakınca yörünge hiç değişmemiş gibidir.
52 soruluk test · iki boyutta momentum korunumu, düzlemde esnek olmayan çarpışma, saçılma, iç patlamalar
ΣPx(ilk) = ΣPx(son)
ΣPy(ilk) = ΣPy(son)
Momentum vektörel olduğu için düzlemde korunum her eksende ayrı ayrı yazılır. Bileşenler: Px = P·cos α, Py = P·sin α.
Pilk = P₁ + P₂ = (m₁ + m₂)·vortak
Esnek olmayan çarpışmalarda momentum korunumu varken enerji korunumu yoktur. Ortak hızın yönü, iki momentumun bileşkesinin yönüdür.
P₁ = P2x + P3x · P2y = −P3y
Yatayda ilk momentum korunur; düşeyde ilk momentum olmadığı için iki düşey bileşen eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.
M · vT = Pm · cos 37°
Tanka yatay itmeyi veren, merminin momentumunun yatay bileşenidir. Düşey bileşen yerin tepkisi ile dengelendiği için o yönde hareket gözlenmez.
P₁ + P₂ + P₃ = 0
İç patlama öncesi durgun olan cismin momentumu sıfırdır; sonrasında parçaların momentum vektörlerinin toplamı da sıfır olmalıdır. Vektörler uç uca eklenince kapalı şekil verir.
m · vm = −2m · v2m
Maksimum yükseklikte hız ve momentum sıfır olduğu için parçalar zıt yönlerde gider; hafif parçanın hızı iki katıdır.
Patlama anında momentum aşağı yönlüdür. Bir parça yatay atış yapıyorsa, öteki parça bileşkeyi tamamlamak için aşağı yönde eğik atış yapar.
Tepede momentum yatay yönde 2m·v0x tir. Parçalardan biri serbest düşerse diğeri 2v0x hızıyla yatay atış yapar ve patlamasaydı düşeceği K noktasından daha ileride, L noktasında yere iner.
Kenetlenmede kinetik enerji azalır, patlamada artar, esnek saçılmada korunur. Momentum ise üçünde de korunur.
1) Eksenleri seç · 2) Olay öncesi bileşenleri yaz · 3) Olay sonrası bileşenleri yaz · 4) İki denklemi ayrı ayrı kur · 5) Gerekiyorsa bileşke ile büyüklük ve açıyı bul.