Bütün ağırlık
tek bir
noktadan
Bir cismin her molekülüne ayrı ayrı yer çekimi kuvveti etki eder. Bu binlerce paralel kuvvetin yerine tek bir bileşke koyabiliriz; işte o bileşkenin uygulama noktası ağırlık merkezidir. Bir cismin dengede kalıp kalmayacağı çoğu zaman yalnız bu noktanın nerede olduğuna bakılarak söylenir.
Ağırlık, bir cisme etki eden yer çekimi kuvvetidir. Yerin çekim kuvvetinden dolayı cisimdeki bütün moleküllere bir kuvvet etki eder. Bu kuvvetler birbirine paralel olup yönü yerin merkezine yöneliktir. Ağırlık merkezi ise bu kuvvetlerin bileşkesinin tatbik (uygulama) noktasının bulunduğu yerdir. Ağırlığın birimi kuvvet birimi olan Newton’dır; yönü düşey doğrultuda yerin merkezine doğrudur.
Bir cismin kütle merkezi ile ağırlık merkezi küçük boyutlu cisimlerde hemen hemen aynı yerdir.
Ancak yerden yüksekliği fazla olan (gökdelen gibi çok yüksek binalarda) ağırlık merkezi kütle merkezinin biraz aşağısında olur. Bunun nedeni yer çekim ivmesinin dünya yüzeyinden uzaklaşıldıkça azalması ve cismin yere yakın kısımlarında yer çekim ivmesinin (dolayısıyla ağırlık vektörlerinin) cismin üst kısımlarına göre daha büyük olmasıdır.
Bir halkanın, bir at nalının ya da bumerangın kütle merkezi boşluktadır. Merkez, maddenin bulunduğu yer değil, ağırlık vektörlerinin bileşkesinin uygulama noktasıdır. Bu yüzden “merkezden tut” dendiğinde bazen tutacak bir şey bulunmaz.
Bir cisim ağırlık merkezinden ya da ağırlık vektörünün doğrultusu üzerindeki bir noktadan geçecek biçimde düşey doğrultuda asılırsa dengede kalır. Türdeş çubuklar ağırlık merkezinden asılarak ya da ağırlık merkezinin altına gelecek şekilde bir destek üzerine bırakılarak yatay dengede kalmaları sağlanabilir.
Bir iple tavana asılarak serbestçe dönebilen cisimlerde cisimlerin kütle merkezi, ipin düşey çizgisi üzerine gelecek şekilde dengelenirler. Cismi iki farklı noktadan asıp iki düşey çizgi çizersen, kesişimleri kütle merkezini verir — pratikte ağırlık merkezini bulmanın en kolay yolu budur.
Türdeş X ve Y çubukları birbirine eklenip destek üzerinde yatay dengede kalıyorsa, ortak kütle merkezinin destek noktasında olduğu ve kısa kola düşen çubuğun daha ağır olduğu anlaşılır. Üzeri eşit bölmelendirilmiş bir çubuk ortasından değil de başka bir K noktasından desteklendiğinde dengede kalıyorsa, çubuğun kütle merkezi K dedir ve çubuk homojen (türdeş) değildir.
İki ya da daha fazla birleştirilmiş türdeş cismin ağırlık merkezi, her bir cisme etki eden ağırlık vektörlerinin bileşkesinin uygulama noktasıdır. Bulmak için dört adım izlenir.
a) Birleştirilmiş her bir parçanın ağırlık merkezlerinden ağırlık
vektörleri çizilir.
b) Ağırlıklar verilmiyorsa ağırlık yerine, aynı türden çubuk için
uzunluk, levha için yüzey alanları,
küre ve silindirler için hacimler arasındaki oranlar kullanılır.
c) Bir cisimden çıkarılan parça olursa çıkarılan parçaların ağırlık
vektörleri yukarı yönlü, var olanlar ve eklenen parçalar aşağı doğru
gösterilir.
d) Paralel kuvvetler arasındaki bileşkenin uygulama noktası
bulunarak sistemin ağırlık merkezi bulunmuş olur.
Şekil hep aynı, değişen tek şey cisimlerin neden yapıldığı. Tel çerçevede çevre uzunlukları, levhada alanlar, iki kat kalınlıkta levhada alan × kalınlık ağırlığın yerini tutar. Bu yüzden aynı çizim, dört ayrı ağırlık merkezi verebilir — soruda hangi bilginin verildiğini okumadan başlamak en sık yapılan hatadır.
Birleştirilmiş ya da ayrı ayrı konumlandırılmış cisimlerin ortak kütle ya da ağırlık merkezinin bulunabilmesi için bir yöntem de cisimlerin kütle merkezlerini x-y koordinat düzleminde göstererek bir bağıntı yardımıyla sonuca ulaşmaktır.
x = (m₁·x₁ + m₂·x₂ + …) / (m₁ + m₂ + …)
y = (m₁·y₁ + m₂·y₂ + …) / (m₁ + m₂ + …)
Bu, sıradan bir ortalama değil kütlelerle ağırlıklandırılmış bir ortalamadır: büyük kütle sonucu kendine doğru çeker. Levhalar söz konusuysa her levhanın kendi kütle merkezinin koordinatları kullanılır.
K (3m) → (0, 3) · L (2m) → (1, 1) · P (m) → (4, 1)
x = (3m·0 + 2m·1 + m·4) / (3m + 2m + m) = 6m / 6m = 1
y = (3m·3 + 2m·1 + m·1) / 6m = 12m / 6m = 2
Bu koordinat değerleri, sistemdeki üç kütlenin ortak kütle merkezinin km(1; 2) şeklinde olduğunu gösterir. Merkezin en büyük kütleye (K) doğru çekildiğine dikkat et.
Homojen kare bir levhadan K ve L parçaları kesilip atıldığında levhanın kütle merkezi yerinden kayar. Merkezi eski yerinde tutmanın yolu, çıkarılanların simetriğini de çıkarmaktır.
Bir levhadan parça çıkarılırsa sistemin kütle merkezi, çıkarılan parçanın kütle merkezinin ilk kütle merkezine göre simetriği olan bölgeye doğru kayar. Yani merkez, çıkarılan parçadan kaçar.
Türdeş bir levha ipe bağlanarak tavana asıldığında dengededir. K ve L kare bölümleri kesilip atıldığında dengenin korunması için numaralandırılmış parçalardan hangilerinin çıkarılabileceği tork dengesiyle bulunur:
Sol tarafta eksilen tork: 2 · 1 = 2
Sağ tarafta: (1, 2, 3 veya 4 ten biri) 1 · 0,5 = 0,5
+ (5, 6, 7 veya 8 den biri) 1 · 1,5 = 1,5
Toplam eksilen tork: 0,5 + 1,5 = 2
Bu, T noktasına göre ters yönlerde iki eşit tork eksilmesi oluşturacağı için toplam tork sıfır olur ve denge bozulmaz. Yani “1, 2, 3, 4 numaralı parçalardan herhangi biri ile 5, 6, 7, 8 numaralı parçalardan herhangi birinin çıkarılması gerekir”.
Dokuz sahnede tek bir soru var: ağırlık merkezinin düşey çizgisi destek alanının içinde mi, dışında mı?
Sandalyeyi iki ayağı üzerinde geriye yatırdığında bir yere kadar durursun; ağırlık merkezinin düşey çizgisi arka ayakların dışına çıktığı anda devrilirsin.
Ağır çanta ortak ağırlık merkezini geriye kaydırır; dengede kalmak için farkında olmadan öne eğilirsin. Çantayı sırtına yapıştırmak bu eğilmeyi azaltır.
Ayaklarını açtığında destek alanı genişler, merkezin düşey çizgisinin dışarı çıkması zorlaşır. Ayakları bitişik tutup ayakta durmak bu yüzden zordur.
Virajda içeri yatarsın: böylece ağırlık merkezi dönüşün merkezine doğru kayar ve devrilme torku dengelenir.
Alt sıradan blok çekmek kulenin ağırlık merkezini yana kaydırır; merkez taban alanının dışına çıktığı anda kule devrilir. Oyunun bütün mantığı budur.
Sırtüstü geçiş tekniğinde vücut çubuğun üstünden geçerken ağırlık merkezi çubuğun altından geçebilir — merkezin cismin içinde olmak zorunda olmadığının en net örneği.
Telefon ancak parmağın ağırlık merkezinin tam altında olduğunda durur. Kılıf takınca merkez biraz kayar ve denge noktası değişir.
Lambanın tabanı neden ağır ve geniş? Ağırlık merkezini aşağı ve ortaya çekmek için. Kolu uzattığında lamba devrilmeye yaklaşır.
Yarısı dolu şişe, boş ya da tam dolu şişeden daha kolay ayakta durur: su aşağıda toplandığı için ağırlık merkezi alçalır.
52 soruluk test · ağırlık ve kütle merkezi, asma ve destekleme yöntemi, koordinat bağıntısı, parça çıkarma
Bir cisme etki eden yer çekimi kuvvetidir; cisimdeki bütün moleküllere etki eden bu kuvvetler birbirine paraleldir ve yerin merkezine yöneliktir. Birimi Newton’dır.
R = Σ m·g
Bu paralel kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktasının bulunduğu yerdir.
Küçük boyutlu cisimlerde hemen hemen aynı yerdedir; çok yüksek cisimlerde ağırlık merkezi kütle merkezinin biraz aşağısındadır, çünkü yer çekim ivmesi yükseldikçe azalır.
Bir cisim ağırlık merkezinden ya da ağırlık vektörünün doğrultusu üzerindeki bir noktadan düşey olarak asılırsa dengede kalır. İki farklı noktadan asıp düşey çizgileri kesiştirmek merkezi verir.
Destek üzerinde yatay dengede kalan çubuğun kütle merkezi destek noktasındadır. Eşit bölmeli bir çubuk ortasından başka bir noktada dengede kalıyorsa çubuk türdeş değildir.
Çubuk için uzunluk, levha için yüzey alanı, küre ve silindir için hacim oranları kullanılır. Kalınlık farklıysa alan × kalınlık alınır.
Çıkarılan parçaların ağırlık vektörleri yukarı yönlü, var olanlar ve eklenenler aşağı yönlü gösterilir. Hesapta eksi işaretle yer alır.
x = Σm·x / Σm · y = Σm·y / Σm
Kütlelerle ağırlıklandırılmış ortalamadır; büyük kütle merkezi kendine çeker.
3m(0,3) · 2m(1,1) · m(4,1) → km(1 ; 2)
x = 6m/6m = 1 ve y = 12m/6m = 2 bulunur.
Bir levhadan parça çıkarılırsa kütle merkezi, çıkarılan parçanın merkezinin ilk merkeze göre simetriği olan bölgeye doğru kayar. Merkezi yerinde tutmak için simetrik konumdan eşdeğer parça çıkarılır.
Sol taraftan eksilen 2 birimlik torka karşılık sağdan 0,5 + 1,5 = 2 birimlik tork eksiltilirse denge korunur: 1-4 ten biri ile 5-8 den biri çıkarılmalıdır.
Bir cisim, ağırlık merkezinin düşey çizgisi destek alanının içinde kaldığı sürece devrilmez; dışına çıktığı anda devrilir. Geniş taban ve alçak merkez dengeyi artırır.