Kuvvet
çarpı
süre
Kuvvetler etki ettikleri cisimlere, etki ettikleri süre boyunca itme uygularlar ve bu cisimlerde “itme”lerin etkisinde hız değişimleri meydana gelir. Newton’ın 2. hareket yasası zaman ile yazıldığında ortaya tek bir eşitlik çıkar: I = F·Δt = m·Δv = ΔP. Bu ünitenin tamamı bu eşitliğin ve onun sonucu olan korunum yasasının uygulamalarıdır.
Çocuk F kuvveti ile arabayı iterken, sıkıştırılmış bir yay önüne bırakılan araba yay tarafından itilirken, futbolcu yerde duran topa vururken, yerden h kadar yüksekteki bilye yer çekim kuvveti etkisinde hızlanırken her bir örnekte kuvvetler etki ettikleri cisimlere etki ettikleri süre boyunca itme uygularlar. Hareket yönündeki itme cismin hızını artıran, hareket yönüne ters yönlü itme ise cismin hızını azaltan etki yapar.
Fnet = m · a = m · (Δv / Δt)
F · Δt = m · Δv
I = F · Δt = m · Δv = ΔP
F · Δt terimine itme denir. I ile gösterilir. Vektörel bir büyüklüktür. Birimi “Newton · saniye” dir. Yani itme, kuvvetin “ne kadar büyük” olduğunu değil, ne kadar süre etki ettiğini de hesaba katar.
F kuvveti m ve 2m kütleli cisimlere eşit süre etki ettiğinde iki kuvvetin verdiği hem itme (F·t) değerleri hem de momentum değişimleri (ΔP) eşit olur. İki cismin t süre sonundaki momentum değişimleri eşit olurken hızları, ivmeleri ve t sürede aldıkları yollar farklı olur. Kütlesi iki kat olan cisim aynı momentumu yarı hızla taşır.
Bir hareketlinin çizgisel momentumu P = m · v bağıntısı ile hesaplanır. Momentum vektörel bir büyüklüktür. Bir cismin sahip olduğu momentum, cismin kütlesi ve cismin hız büyüklüğü ile doğru orantılıdır.
Küçük kütleli otomobilin hızı büyük, büyük kütleli kamyonun hızı küçük olsun. vo > vk olduğu hâlde m·vo = M·vk olabilir; yani otomobil ve kamyonun momentumları eşit de olabilir. Momentum tek başına hız ya da kütle demek değildir; ikisinin çarpımıdır.
Hızı değişen bir otomobilin momentumu da değişir. İlk momentum P₁ = m·v₁, son momentum P₂ = m·v₂ ise
ΔP = P₂ − P₁
Not: Momentum değişimi vektörel işlemlerle yapılmalıdır. Bu yüzden yön değiştiren cisimlerde ΔP, iki momentumun toplamı kadar büyük çıkabilir.
Duvara v hızıyla çarpıp aynı büyüklükte hızla geri dönen top için hızın büyüklüğü değişmemiştir ama yönü değişmiştir; momentum vektörel olduğu için ΔP = mv − (−mv) = 2mv olur. Aynı şekilde eğik atış yapan cismin yatay momentumu hiç değişmez (yatay yönde kuvvet yoktur), tüm değişim düşey yöndedir.
Kuvvet-zaman grafiğinde alanlar itme ve momentum değişim büyüklüğünü gösterir. Grafiğin eksen üstündeki alanı pozitif itme, eksen altındaki alanı negatif itme verir; ikisi işaretleriyle toplanır.
Durgun hâlden harekete geçen bir cisim için:
• (0-t) arasında alan itmedir: I = F·t = ΔP
• (t-2t) arasında kuvvet ve itme sıfırdır (alan yok) — cisim sabit
hızla gider, momentumu değişmez
• (2t-3t) arasında negatif bir kuvvet ve negatif bir itme vardır:
I = −F·t = −ΔP
Durgun hâldeki K ve L cisimlerine değişken iki kuvvet t süresince uygulanırken cisimlerin üzerindeki
itme ya da momentum değişimi grafikteki alanlarla belirlenir:
K için I = F·t/2 = ΔP (üçgenin alanı)
L için I = 3F·t/2 = 3ΔP
Yani tepe değeri üç kat olan kuvvet, aynı sürede üç kat momentum değişimi yaratır.
Sabit kuvvet etkisinde hareketin olduğu bölgelerde hız zamanla düzgün artar veya azalır. Hız-zaman grafiği ile momentum-zaman grafiği benzerdir. Sebebi P = m·v bağıntısında kütlenin sabit olmasıdır: momentum grafiği, hız grafiğinin m katıdır.
m kütleli bir cisim yerden h kadar yükseklikten serbest düşmeye bırakıldığında ya da yatay bir ilk hızla atıldığında iki olayda da itme ve momentum değişimleri birbirine eşittir. Çünkü hareket süresince etki eden hem kuvvet (mg) hem de hareket süreleri (t) eşittir.
Net bir dış kuvvetin uygulanmadığı sistemlerde, sistem içindeki cisimlerin birbiriyle etkileşmesi ile sistemin çizgisel momentumu değişmez. Sistemde Pilk = Pson olmalıdır. Bu, itme bağıntısının doğrudan sonucudur: I = F·Δt = ΔP eşitliğinde F = 0 ise Pson − Pilk = 0 olur.
Araç ve köpek durgunken sistemin toplam momentumu sıfırdır. Köpek +x yönünde yere göre v hızıyla atladığında, 2m kütleli araç ters yönde v/2 hızıyla hareket eder; çünkü toplam momentumun yine sıfır olması gerekir: m·v + 2m·(−v/2) = 0. Çizgisel momentum tüm çarpışmalarda ve iç patlamalarda korunur.
Kamyon v hızıyla hareket ederken önünde durmakta olan otomobille esnek olmayan çarpışma yaparsa çarpışma sonrası yapışarak (kenetlenerek) mk + mo kütlesiyle ortak bir hızla hareket ederler.
Pilk = Pson
mk·v = (mk + mo) · vortak
Çarpışmada araçlara dışarıdan bir kuvvet etki etmediği sürece sistemde toplam momentum korunur. Bu tür çarpışmada bir miktar mekanik enerji ısı, ses vb. enerjilere dönüşür.
Eısı = Eilk − Eson
Eilk = ½·mk·v²
Eson = ½·(mk + mo)·(vortak)²
Yani momentum korunur ama kinetik enerji korunmaz. Bu ünitenin en çok karıştırılan noktası budur: esnek olmayan çarpışmada yalnız momentum korunumu yazılabilir.
m₁ ve m₂ zıt yönlerde çarpışıp kenetlenirse iki ihtimal vardır:
Vektörel eşitlik her zaman m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂)·vortak biçiminde yazılır; işaretler yönlerden gelir.
Aynı doğrultuda iki kütle birbirine yapışmadan çarpışıyorsa bu tür çarpışmalar bir boyutta merkezi, esnek çarpışmalar olarak adlandırılır. Çarpışmada enerji korunumu ve momentum korunumu geçerlidir.
m₁·v₁ = m₁·v₁′ + m₂·v₂′
E₁ + E₂ = E₁′ + E₂′
½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁(v₁′)² + ½m₂(v₂′)²
Çarpışmadan önce m₁ ve m₂ kütleli cisimlerin toplam kinetik enerjisi, çarpışmadan sonraki toplam kinetik enerjilerine eşittir.
Enerji ve çizgisel momentum korunumu denklemleri düzenlenirse
v₁ + v₁′ = v₂ + v₂′
bulunur. Buna göre m₁ kütleli cismin çarpışmadan önceki ve sonraki hızlarının vektörel toplamı, m₂ kütleli cismin çarpışmadan önceki ve sonraki hızlarının vektörel toplamına eşittir. Bu bağıntı, iki bilinmeyenli esnek çarpışma sorularını tek adımda çözer.
Cisimlerin kütleleri eşitse çarpışma sonrası hızlarını değiştirirler (takas ederler). Duran bir cisme çarpan eşit kütleli cisim durur, öteki onun hızıyla yoluna devam eder.
İki cisim momentumları eşit büyüklükte ve zıt yönde esnek çarpışma yaparlarsa cisimler kendi hızları ile geri dönerler. Pilk = Pson = 0 dır; m₁·v₁ − m₂·v₂ = m₁·v₁ − m₂·v₂ eşitliği kendiliğinden sağlanır.
Durgun M kütleli bir cisim iç patlama ile m₁ ve m₂ parçalarına ayrılırsa:
Pilk = Pson = 0
Pson = m₁·v₁ + m₂·v₂ = 0
m₁·v₁ = −m₂·v₂
m₁ = m₂ ise v₁ = v₂ olur. m₁ > m₂ ise v₁ < v₂ olur. Yani büyük parça daha yavaş gider; ikisinin momentum büyüklükleri her zaman eşittir. İç patlamada kinetik enerji artar (patlayıcının kimyasal enerjisi eklenir) ama momentum yine korunur.
| Ölçüt | Esnek olmayan çarpışma | Esnek çarpışma | İç patlama |
|---|---|---|---|
| Çarpışma sonrası | Kenetlenip birlikte gider | Ayrı ayrı hareket eder | Parçalara ayrılır |
| Momentum | Korunur | Korunur | Korunur |
| Kinetik enerji | Korunmaz (azalır) | Korunur | Korunmaz (artar) |
| Kullanılacak denklem | Yalnız momentum | Momentum + enerji (v₁ + v₁′ = v₂ + v₂′) | Yalnız momentum |
Orta satır her sütunda aynı: momentum her durumda korunur. Değişen tek şey kinetik enerjinin ne olduğudur.
Dokuz sahnede ya süreyi uzatarak kuvveti küçültüyoruz ya da korunumu kullanıyoruz.
Voleybolda gelen topu ellerini geri çekerek karşılarsın. Momentum değişimi aynıdır ama süreyi uzattığın için kuvvet küçülür: F = ΔP/Δt.
Beden dersinde yere inerken dizini kırarsın: duruş süresi uzar, aynı ΔP daha küçük bir kuvvetle karşılanır. Dimdik inmek, aynı itmeyi çok kısa sürede almak demektir.
Silikon kılıf çarpışma süresini milisaniyeler kadar uzatır. Momentum değişimi değişmez ama telefona etki eden en büyük kuvvet ciddi biçimde düşer.
Eşit kütleli iki misketten hareketli olan durana çarpınca durur, öteki onun hızıyla gider: esnek çarpışmada eşit kütleler hızlarını takas eder.
Kaykay üstünde dururken çantanı ileri fırlatırsan geri kayarsın. Toplam momentum sıfırdan başladığı için sıfırda kalmak zorundadır — tıpkı araçtan atlayan köpek örneğindeki gibi.
Gelen topu geri göndermek, onu durdurmaktan daha büyük bir itme ister: ΔP = mv − (−mv) = 2mv. Bu yüzden geri gönderirken darbe daha sert hissedilir.
İkisi de aynı işi yapar: durma süresini uzatmak. Momentum değişimi sabittir, süre uzayınca vücuda gelen kuvvet küçülür.
Nişan oyunlarındaki “geri tepme” iç patlamanın ta kendisidir: ileri giden hafif parça hızlı, geri giden ağır parça yavaş hareket eder; momentum büyüklükleri eşittir.
Ani fren, kısa sürede büyük momentum değişimi demektir; bu yüzden öne savrulursun. Yavaş yavaş yavaşlayan bir araçta aynı hız değişimi çok daha uzun sürede olur ve hissetmezsin bile.
56 soruluk test · itme, çizgisel momentum ve momentum değişimi, kuvvet-zaman grafikleri, çarpışmalar ve iç patlama
I = F · Δt = m · Δv = ΔP
Vektörel bir büyüklüktür, birimi Newton · saniyedir. Hareket yönündeki itme hızı artırır, ters yönlü itme azaltır.
P = m · v
Vektörel bir büyüklüktür; kütle ve hız büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Hızlı hafif bir cisim ile yavaş ağır bir cismin momentumları eşit olabilir.
ΔP = P₂ − P₁
Momentum değişimi vektörel işlemlerle yapılmalıdır. Duvara esnek çarpıp geri dönen cisimde ΔP = 2mv olur.
Duvardan esnek dönüş: 2mv · yukarı atılan cismin tepeye çıkışı: mv · eğik atışta tüm uçuş: 2m·v0y (yalnız düşey yönde).
F kuvveti m ve 2m kütleli cisimlere eşit süre etki ettiğinde itme ve momentum değişimleri eşit olur; hızları, ivmeleri ve aldıkları yollar farklı olur.
Alanlar itme ve momentum değişim büyüklüğünü gösterir. Eksen altındaki alan negatif itmedir. Üçgen alanı için I = F·t/2 kullanılır.
Hız-zaman grafiği ile momentum-zaman grafiği benzerdir, çünkü P = m·v de kütle sabittir.
Net bir dış kuvvetin uygulanmadığı sistemlerde sistemin çizgisel momentumu değişmez: Pilk = Pson. F = 0 ise ΔP = 0 dır.
m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂)·vortak
Eısı = Eilk − Eson
Cisimler kenetlenir; bir miktar mekanik enerji ısı, ses vb. enerjilere dönüşür.
m₁·v₁ = m₁·v₁′ + m₂·v₂′
v₁ + v₁′ = v₂ + v₂′
Bütün esnek çarpışmalarda enerji korunumu ve momentum korunumu geçerlidir.
Kütleler eşitse hızlarını takas ederler. Momentumları eşit büyüklükte ve zıt yönde ise kendi hızlarıyla geri dönerler.
Pilk = Pson = 0 · m₁·v₁ = −m₂·v₂ · m₁ = m₂ ise v₁ = v₂; m₁ > m₂ ise v₁ < v₂ olur. Momentum korunur, kinetik enerji artar.