İki sayı,
tek nokta
Bir düzlemde yer belirtmek için iki sayı yeter: apsis ve ordinat. İki sayı doğrusunun sıfır noktalarında dik kesişmesiyle kurulan sisteme dik koordinat sistemi, bu sistemin bulunduğu düzleme analitik düzlem denir. Geometri ile cebirin buluştuğu yer burasıdır — bundan sonraki bütün analitik geometri konularının zemini.
Tanım şöyle: iki sayı doğrusunun 0 (sıfır) sayısına karşılık gelen O noktasında biri yatay diğeri dikey doğruların dik kesişmesiyle oluşan sisteme dik koordinat sistemi denir. Bu dik koordinat sisteminin bulunduğu düzleme ise analitik düzlem denir. Eksenler de adlandırılıyor: yatay olarak alınan eksene x ekseni (apsis ekseni) denir, dikey olarak verilen eksene y ekseni (ordinat ekseni) denir ve yatay ve dikey eksenlerin kesim noktasına O(0, 0) başlangıç noktası (orijin) denir.
Yatay eksendir, adı apsis eksenidir. Bir noktanın bu eksen yönündeki değeri o noktanın apsisidir.
Dikey eksendir, adı ordinat eksenidir. Bir noktanın bu eksen yönündeki değeri o noktanın ordinatıdır.
İki eksenin kesiştiği noktadır: O(0, 0). Buna başlangıç noktası (orijin) diyor; iki sayı doğrusunun da sıfır noktasıdır.
Noktanın koordinatları şöyle tanımlanır: koordinat sistemi üzerinde alınan herhangi bir A(a, b) için x = a ve y = b doğrularının kesiştiği noktaya A noktasının koordinatları denir. Eksen üzerindeki noktalar için de iki kural veriliyor: koordinat sisteminde x ekseni üzerinde bulunan bir noktanın koordinatları (x, 0) biçimindedir ve koordinat sisteminde y ekseni üzerinde bulunan bir noktanın koordinatları (0, y) biçimindedir. Yani bir nokta hangi eksenin üzerindeyse öteki koordinatı sıfırdır.
Koordinatları (x, 0) biçimindedir. Ordinatı sıfır olan her nokta x ekseni üzerindedir: (5, 0), (–3, 0) gibi.
Koordinatları (0, y) biçimindedir. Apsisi sıfır olan her nokta y ekseni üzerindedir: (0, 4), (0, –2) gibi.
Koordinatlar sıralı bir ikilidir: önce apsis, sonra ordinat yazılır. (3, 5) ile (5, 3) aynı düzlemde iki ayrı noktadır; ancak a = b olduğunda çakışırlar.
Koordinat sistemini oluşturan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Kurallar da veriliyor: x > 0 ve y > 0 ise A noktası I. bölgededir; x < 0 ve y > 0 ise A noktası II. bölgededir; x < 0 ve y < 0 ise A noktası III. bölgededir; x > 0 ve y < 0 ise A noktası IV. bölgededir. Bölgeler I’den başlayarak saat yönünün tersine numaralanır. Dikkat edilecek nokta şu: tanımların hepsinde eşitsizlikler kesindir (x ≠ 0, y ≠ 0), yani eksen üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir.
Dört kuralın hepsinde eşitsizlikler kesin (> ve <) yazılmıştır; eşitlik hiçbirinde yoktur. Bu yüzden (5, 0), (0, –2) ve O(0, 0) noktaları hiçbir bölgede değildir — eksenlerin üzerindedirler. Bir soruda “A(a, b) noktası II. bölgededir” deniyorsa a ve b’nin sıfırdan farklı olduğu da söylenmiş olur.
Son madde şudur: koordinat düzleminde bulunan herhangi bir A(a, b) noktasının x eksenine uzaklığı |b| dir, y eksenine uzaklığı |a| dır. Sıranın ters görünmesi şaşırtıcı gelebilir ama sebebi basittir: x eksenine olan uzaklık dikey bir mesafedir, onu da ordinat belirler. Mutlak değer kullanılmasının sebebi ise uzaklığın negatif olamamasıdır: (3, –5) noktası da (3, 5) noktası da x ekseninden 5 birim uzaktadır.
A(a, b) noktasının x eksenine uzaklığı |b|’dir. Noktadan x eksenine indirilen dikmenin uzunluğudur.
A(a, b) noktasının y eksenine uzaklığı |a|’dır. Noktadan y eksenine indirilen dikmenin uzunluğudur.
İki dikme ile eksenler bir dik üçgen oluşturur; dik kenarları |a| ve |b|’dir. Pisagor bağıntısından noktanın orijine uzaklığı √(a² + b²) çıkar. (Bu bağıntı bu başlıkta verilmiyor; iki uzaklıktan doğrudan türetiliyor.)
Ekrandaki her dokunuş, haritadaki her konum, oyundaki her karakter iki sayıyla saklanır. Analitik düzlem, “nerede?” sorusunun sayıyla verilen cevabıdır.
“Üçüncü sıra, ikinci sütun” demek bir sıralı ikili söylemektir. Sırayla sütunun yeri değişirse başka bir öğrenciyi göstermiş olursun.
Konum iki sayıyla saklanır. Sıfır noktası (orijin) seçilmeden hiçbir koordinat anlam taşımaz — başlangıç noktası her sistemin şartıdır.
Karakterin yeri (x, y) çiftidir. Ekranın kenarına değdiğinde koordinatlardan biri eksen değerine eşitlenir; işte o an karakter hiçbir bölgede değildir, sınırdadır.
Her kare bir harf ve bir sayıyla anılır. Bu da bir koordinat sistemidir; yalnız eksenlerin adları farklıdır.
Tasarım uygulamalarında bir nesneyi hareket ettirdiğinde x ve y değerleri değişir. Uzaklıklar mutlak değerle ölçülür; “–20 piksel uzak” diye bir şey yoktur.
Basketbol sahasında atış konumlarını analiz etmek için saha bir koordinat düzlemi gibi düşünülür: potanın altı orijin seçilir.
Kırpma çerçevesinin köşeleri koordinatlarla verilir. Köşelerin kenarlara uzaklığı apsis ve ordinatın mutlak değerinden hesaplanır.
Zemin katı sıfır alırsan bodrum katlar negatif olur. Üçüncü kat ile üçüncü bodrum katın zemine uzaklığı aynıdır: |3| = |–3|.
Yatay eksende deneme numarası, dikey eksende net sayısı. Her sonuç bir (x, y) noktasıdır; grafik bu noktaların birleşimidir.
Dik koordinat sistemi, koordinat okuma, dört bölge ve eksenlere uzaklık üzerine 49 soruluk test.
İki sayı doğrusunun sıfıra karşılık gelen O noktasında dik kesişmesiyle oluşan sisteme dik koordinat sistemi, bu sistemin bulunduğu düzleme analitik düzlem denir.
Yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), dikey eksen y ekseni (ordinat ekseni), kesim noktaları O(0, 0) başlangıç noktası (orijin).
A(a, b) için x = a ve y = b doğrularının kesiştiği nokta A’nın koordinatlarını verir. a apsis, b ordinattır ve sıra değiştirilemez.
x ekseni üzerindeki noktaların koordinatları (x, 0), y ekseni üzerindekilerin (0, y) biçimindedir.
I. bölge: x > 0, y > 0 ·
II. bölge: x < 0, y > 0
III. bölge: x < 0, y < 0 ·
IV. bölge: x > 0, y < 0
A(a, b) noktasının x eksenine uzaklığı |b|, y eksenine uzaklığı |a|’dır. Uzaklık negatif olamaz, bu yüzden mutlak değer kullanılır.
Eksen üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye ait değildir;
bölge tanımlarında eşitsizlikler kesindir.
(3, 5) ile (5, 3) farklı noktalardır: koordinatlar
sıralı ikilidir.
İki dikme ile eksenlerin oluşturduğu dik üçgende Pisagor uygulanırsa A(a, b) noktasının orijine uzaklığı √(a² + b²) bulunur. Bu başlıkta yalnız eksenlere uzaklık veriliyor.