Önce türev,
sonra grafik
Bir fonksiyonun grafiği rastgele çizilmez: tanım kümesi → eksen kesim noktaları → türevle ekstremum → artan-azalan aralıklar sırası izlenir. Aynı türev, “en çok kaç”, “en az ne kadar” sorularının da anahtarıdır: istenen büyüklük tek değişkene indirgenir, türevi sıfıra eşitlenir ve bulunan kök yerine yazılır.
Grafik çizimi dört maddeye bağlanır: bir fonksiyonun grafiği çizilirken tanım kümesine dikkat edilmelidir; fonksiyonun eksenleri kestiği noktalara bakılmalıdır — f(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde grafik x eksenini keserken çift katlı köklerinde x eksenine teğet olur; fonksiyonun türevi yardımıyla varsa ekstremum noktaları bulunur ve artan ile azalanlık durumları incelenmelidir. Bu üç bilgi bir araya geldiğinde grafiğin iskeleti çıkar: nereden başlıyor, nereyi kesiyor, nerede tepe yapıyor, nereye tırmanıp nereden iniyor.
Fonksiyonun hangi x değerleri için tanımlı olduğuna bakılır. Paydayı sıfır yapan ya da kök içini negatif yapan değerler grafiğe girmez.
y eksenini kestiği nokta f(0); x eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin kökleridir.
Türev alınır, f′(x) = 0 kökleri bulunur. Bu noktalarda teğet yataylaşır; grafiğin tepe ve dip noktaları buradan çıkar.
Köklerin ayırdığı aralıklarda f′(x)’in işaretine bakılır: pozitifse grafik tırmanır, negatifse iner.
En ayırt edici cümle burada: f(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde grafik x eksenini keserken çift katlı köklerinde x eksenine teğet olur. Yani bir kökün kaç kez tekrarlandığı, grafiğin o noktada eksenin öbür tarafına geçip geçmeyeceğini belirler. (x – 3) çarpanı tek başınaysa grafik 3’te karşı tarafa geçer; (x – 3)² varsa grafik eksene dokunup aynı taraftan geri döner.
(x – a), (x – a)³ gibi tek kuvvetli çarpanlarda grafik x eksenini keser: kökün solunda ve sağında işaret değişir.
(x – a)², (x – a)⁴ gibi çift kuvvetli çarpanlarda grafik x eksenine teğet olur: dokunur ama geçmez, işaret değişmez.
f(x) = (x – 1)(x – 2)² fonksiyonunun iki farklı kökü vardır ama grafik x eksenini yalnız bir kez keser; x = 2’de yalnızca teğet olur. “Kökü var” demek “kesiyor” demek değildir.
Grafik çizerken teğet doğrusu sürekli işe girdiği için doğrunun eğimi de topluca veriyor: y = mx + n biçiminde verilen doğrunun eğimi m’dir; ax + by + c = 0 biçiminde verilen bir doğrunun eğimi m = –a/b olur; grafiği verilen bir doğrunun eğimi, bu doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı α olmak üzere m = tan α olur; A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun eğimi m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) olur. Dördü de aynı sayıyı verir; hangisini kullanacağını sana verilen bilgi belirler.
İki kural şekliyle birlikte verilir: paralel iki doğrunun eğimleri birbirine eşittir; d₁ ve d₂ doğrularının eğimleri sırasıyla m₁ ve m₂ olmak üzere d₁ // d₂ ⟺ m₁ = m₂ olur. Ve birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı –1 olur; d₁ ⊥ d₂ ⟺ m₁ · m₂ = –1 olur. Bir doğruyu yazmak için ise tek bir kalıp yeter: A(x₀, y₀) noktasından geçen eğimi m olan doğrunun denklemi y – y₀ = m(x – x₀) olarak bulunur. Bir eğrinin bir noktasındaki teğetinin denklemi de tam olarak budur: eğim yerine f′(x₀) yazılır.
d₁ // d₂ ⟺ m₁ = m₂. İki doğru aynı açıyla yükselir; x ekseniyle yaptıkları α açıları eşittir, bu yüzden tanjantları da eşittir.
d₁ ⊥ d₂ ⟺ m₁ · m₂ = –1. Yani ikinci eğim, birincinin ters işaretli çarpmaya göre tersidir: m₂ = –1/m₁. Eğimi 2 olan doğruya dik olan doğrunun eğimi –1/2’dir.
Yatay doğrunun eğimi 0, düşey doğrunun eğimi tanımsızdır (α = 90°, tan 90° yok). Bu ikisi birbirine diktir ama m₁ · m₂ = –1 kuralı onlara uygulanamaz — çarpım kurulamaz çünkü eğimlerden biri sayı değildir.
Yöntem tek cümlede toplanır: maksimum veya minimum problemlerinde en büyük ya da en küçük olması istenen değeri, tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak ifade ettikten sonra bu fonksiyonun maksimum ve minimum değeri araştırılır. Ardından bu denklemin birinci türevi alınarak kökü bulunur; daha sonra bu bulunan kök değeri denklemde yerine yazıldığında parabolün minimum değerini buluruz. Ayrıca a, b, c ∈ ℝ ve a ≠ 0 için f(x) = ax² + bx + c denklemi koordinat düzleminde parabol belirtir ve parabolün kollarının baktığı yöne göre maksimum ya da minimum değerlerinden birini alır.
f(x) = ax² + bx + c için f′(x) = 2ax + b = 0 denkleminin kökü x = –b/(2a)’dır. Parabolün tepe noktasının apsisi budur; bu değer r ile gösterilir.
Bulunan kök fonksiyonda yerine yazıldığında f(–b/2a) = (4ac – b²)/(4a) = k çıkar. Ders kitabı a > 0 için bu değerin minimum değer olduğunu söylüyor; tepe noktası T(r, k)’dır.
a > 0 ise kollar yukarı bakar, parabolün yalnız minimum değeri vardır; a < 0 ise kollar aşağı bakar, yalnız maksimum değeri vardır. İkisi birden olmaz.
Türevin kullanım alanları da sıralanır: türev ekonomi ve finans gibi alanlarda önemli rol oynar; piyasa talep ve arz eğrilerini analiz etmekte kullanılır; bir malın talep fonksiyonunun türevi, o malın fiyatındaki bir değişikliğe karşılık gelen talepteki değişikliğe eşittir. Türevin temel bir uygulaması da optimizasyondur: bir fonksiyonun kritik noktalarını bulmak için türevden yararlanılır; kritik noktalar fonksiyonun maksimum, minimum veya eyer noktalarıdır. Bu, gerçek hayatta maliyeti en aza indirmek, kârı en üst düzeye çıkarmak veya yolculuk süresini optimize etmek gibi problemlerde kullanılır. Ayrıca istatistik ve veri analizinde, bir veri setindeki trendleri belirlemek için de türeve başvurulur.
“Aynı çitle en geniş bahçe”, “en kısa sürede varış”, “en yüksek puan” — hepsi aynı soruyu sorar: bir büyüklük tek değişkene bağlandığında nerede tepe yapıyor?
Elinizde 40 m tel var, dikdörtgen bir alan çevireceksiniz. Kısa kenar x ise uzun kenar 20 – x olur, alan A(x) = x(20 – x). A′(x) = 20 – 2x = 0 ⇒ x = 10: en geniş alan kare olduğunda çıkar.
Atılan topun yüksekliği zamana bağlı bir paraboldür. Tepe noktasının apsisi t = –b/(2a), yani topun en yükseğe çıktığı an; oradaki değer k ise ulaştığı en büyük yüksekliktir.
Fiyat arttıkça satış düşer; toplam gelir fiyatla satışın çarpımıdır ve genelde bir paraboldür. Gelirin en büyük olduğu fiyat, türevin sıfır olduğu yerdir.
Kenarlarında sabit boşluk bırakılan bir posterde yazı alanını en büyük yapmak, tek değişkene indirgenmiş bir alan fonksiyonunun maksimumunu aramaktır.
Kaykay rampasının dikliği m = tan α ile ölçülür. Aynı açıyla çıkan iki rampa paraleldir: m₁ = m₂.
Karakterin izlediği yol y = mx + n doğrusuysa, ona dik giden bir başka yolun eğimi –1/m’dir. Çarpımları –1 olduğu anda iki yol tam dik kesişir.
Netlerin grafiğini çizerken önce eksen kesimleri (başlangıç neti), sonra tepe ve dip noktaları işaretlenir. Bu, ders kitabının grafik çizim sırasının aynısıdır.
Gün içindeki şarj yüzdesi grafiğinde en yüksek nokta mutlak maksimum, gece yarısındaki dip mutlak minimumdur. Aradaki her tepe yerel maksimumdur.
Kareli kartondan köşeleri kesip kutu yapmak klasik bir maksimum problemidir: hacim kesilen kenar uzunluğuna bağlı tek değişkenli bir fonksiyondur, türevi sıfır yapan değer en büyük hacmi verir.
Grafik çizim sırası, kök katlılığı, eğim bağıntıları ve maksimum-minimum yöntemi üzerine 50 soruluk test.
1) Tanım kümesine dikkat edilir.
2) Eksenleri kestiği noktalara bakılır.
3) Türevle varsa ekstremum noktaları bulunur.
4) Artan ve azalanlık durumları incelenir.
f(x) = 0 denkleminin tek katlı köklerinde grafik x eksenini keser, çift katlı köklerinde x eksenine teğet olur. Teğet olunan kökte işaret değişmez.
y = mx + n → eğim m
ax + by + c = 0 → m = –a/b
Grafik ve açı → m = tan α
İki nokta → m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
d₁ // d₂ ⟺ m₁ = m₂
d₁ ⊥ d₂ ⟺ m₁ · m₂ = –1
A(x₀, y₀)’dan geçen eğimi m olan doğru:
y – y₀ = m(x – x₀)
İstenen büyüklük tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazılır, birinci türevi alınıp kökü bulunur ve bu kök denklemde yerine yazılarak en büyük ya da en küçük değer elde edilir.
f(x) = ax² + bx + c için f′(x) = 2ax + b = 0 ⇒ x = –b/(2a); yerine yazılınca f(–b/2a) = (4ac – b²)/(4a) = k bulunur. Tepe noktası T(r, k)’dır; a > 0 iken k minimum, a < 0 iken k maksimum değerdir.
“Kökü var” ≠ “kesiyor”: çift katlı kökte grafik yalnız
teğet olur.
Yatay ↔ düşey doğru: dik olmalarına rağmen
m₁ · m₂ = –1 kuralı uygulanamaz, düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
Türev; ekonomi ve finansta, talep-arz eğrilerinin analizinde, optimizasyonda (kritik noktalar: maksimum, minimum, eyer noktaları) ve istatistikte trend belirlemede kullanılır.