Eğrinin altını
dikdörtgenle doldur
Eğrinin altında kalan alanı hesaplamanın hazır bir formülü yoktur. Riemann’ın yolu şudur: aralığı ince dilimlere böl, her dilime bir dikdörtgen otur, alanlarını topla. Dilim sayısı arttıkça toplam gerçek alana yaklaşır; n sonsuza giderken elde edilen limite belirli integral denir.
Konu, alanı kimin hesapladığıyla başlar: [a, b]’nda y = f(x) eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından hesaplanmıştır. Yöntemin ilk adımı bölüntüdür: [a, b]’nda a < x₁ < x₂ < b olmak üzere a = x₀ ve b = x₃ seçilerek oluşturulan P = {x₀, x₁, x₂, x₃} kümesine [a, b]’nın bir bölüntüsü denir. Bu bölüntü eşit aralıklarla olmak zorunda değildir. Eşit dilimler seçilirse işlem kolaylaşır: eğer [a, b], n tane eşit aralığa bölünecek olursa ortak genişlik Δx = (b – a)/n olur.
Aralığın uçları dâhil seçilen noktalar kümesidir: P = {x₀, x₁, x₂, x₃}, a = x₀ ve b = x₃.
Şu özellikle vurgulanır: bu bölüntü eşit aralıklarla olmak zorunda değildir. Eşit seçmek yalnızca hesabı kolaylaştırır.
n eşit aralığa bölünürse her dilimin genişliği Δx = (b – a)/n’dir. n büyüdükçe Δx küçülür.
Kurgu şöyledir: c₁ ∈ [x₀, x₁] için f(c₁), [x₀, x₁]’nın görüntü kümesinin bir elemanı; c₂ ∈ [x₁, x₂] için f(c₂), [x₁, x₂]’nın görüntü kümesinin bir elemanı; c₃ ∈ [x₂, x₃] için f(c₃), [x₂, x₃]’nın görüntü kümesinin bir elemanı olmak üzere grafikte oluşan boyalı dikdörtgenlerin toplam alanını veren Δx·f(c₁) + Δx·f(c₂) + Δx·f(c₃) toplamına f(x) fonksiyonunun [a, b]’na ait bir Riemann toplamı denir. Buradaki her dikdörtgenin tabanı Δx, yüksekliği ise o dilimden seçilen noktadaki fonksiyon değeridir. Şu da eklenir: eğer [a, b] daha fazla alt aralığa ayrılacak olursa bulunan Riemann toplamının değeri, eğrinin altında kalan alanın değerine daha yakın olur.
n dilimde toplam A = Δx·f(c₁) + Δx·f(c₂) + … + Δx·f(cn), kısaca Σ Δx·f(ck) (k = 1’den n’e) biçiminde yazılır.
ck, o dilimden seçilen herhangi bir noktadır: sol uç, sağ uç ya da orta nokta olabilir. Seçim değişince toplam değişir ama n büyüdükçe hepsi aynı sayıya yaklaşır.
Aynı kurgu iki özel seçimle tekrarlanır. Birincisinde c₁ ∈ [x₀, x₁] için f(c₁), [x₀, x₁]’nın görüntü kümesinin en küçük elemanı (ve diğer dilimlerde de aynısı) alınır; oluşan dikdörtgenlerin toplam alanına Riemann alt toplamı denir. İkincisinde her dilimde görüntü kümesinin en büyük elemanı seçilir; bu toplama da Riemann üst toplamı denir. İkisi için de aynı cümle geçerlidir: daha fazla alt aralığa ayrılırsa bulunan değer, eğrinin altında kalan alanın değerine daha yakın olur. Sonuç şu: alt toplam ≤ gerçek alan ≤ üst toplam ve n büyüdükçe iki taraf birbirine kapanır.
Artan bir fonksiyonda dilimin en küçük değeri sol uçta, en büyüğü sağ uçtadır; azalan bir fonksiyonda tam tersi olur. Yani “sol uç her zaman alt toplam verir” demek yanlıştır — belirleyen şey fonksiyonun o dilimde artan mı azalan mı olduğudur.
Geçiş şöyle yapılır: f fonksiyonunun [a, b]’nda hesaplanan Riemann toplamı A ise y = f(x) eğrisinin altında kalan alan yaklaşık olarak A = Δx·f(c₁) + Δx·f(c₂) + … + Δx·f(cn) = Σ Δx·f(ck) olur. Buna göre Riemann toplamı n’nin sonsuza yaklaşması durumunda y = f(x) ile x ekseni arasında kalan alanı vereceğinden bu alan, lim (Σ Δx·f(ck)) limiti ile hesaplanır. Ve bu limitin adı konuyor: ayrıca bu değere y = f(x) fonksiyonunun [a, b]’ndaki belirli integrali denir ve ∫ab f(x)dx şeklinde gösterilir. Sınırlar da adlandırılır: a’ya alt sınır, b’ye üst sınır adı verilir.
Riemann 17 Eylül 1826 tarihinde Almanya’nın Hannover kentinde doğmuştur. Üniversite eğitimi için Göttingen Üniversitesi’ne gitmiş, burada Carl Friedrich Gauss ile tanışmış ve onun öğrencisi olmuştur.
1854 yılında yayımladığı geometrinin temelleri üzerine yazdığı makale, diferansiyel geometri alanında çığır açan bir eserdir; bu makalede farklı geometrik yapıları ele almış ve eğrilik kavramını geliştirmiştir. Ayrıca karmaşık analiz alanında, kompleks düzlemde analitik fonksiyonların davranışını incelemiştir.
Alanı her seferinde limitle hesaplamak gerekmiyor. Kısayol şudur: f(x), [a, b]’nda sürekli bir fonksiyon ve F′(x) = f(x) olmak üzere ∫ab f(x)dx = [F(x)]ab = F(b) – F(a) olur. Ve önemli bir ayrıntı: bu işlemde c sabitleri sadeleştiğinden belirli integralde c sabiti bulunmaz. Yani F(b) + c – (F(a) + c) yazıldığında c’ler birbirini götürür.
∫ab f(x)dx integralinde a alt sınır, b üst sınırdır. Belirsiz integralden tek farkı budur — ve sonucun sayı olmasıdır.
(F(b) + c) – (F(a) + c) = F(b) – F(a). Bu yüzden belirli integralde + c yazılmaz; hangi ters türevi seçersen seç sonuç aynıdır.
Belirsiz integralin sonucu bir fonksiyondur (ve + c taşır); belirli integralin sonucu bir sayıdır. İkisini ayıran şey yalnızca sınırların yazılmış olmasıdır.
Riemann’ın fikri aslında çok tanıdıktır: ölçemediğin bir bütünü, ölçebildiğin küçük parçalara bölüp toplamak. Parçalar inceldikçe sonuç gerçeğe yaklaşır.
Uygulama hızını saniyede bir ölçer ve “hız × süre” parçalarını toplar. Bu bir Riemann toplamıdır; ölçüm sıklığı arttıkça mesafe gerçeğe yaklaşır.
Eğri bir şeklin alanını piksel sayarak bulmak, dilimleri küçültmenin dijital hâlidir. Piksel küçüldükçe hata azalır.
Bir rampanın altını basamaklarla doldurmayı düşün: basamaklar tepeden alınırsa üst toplam, dipten alınırsa alt toplam olur. Gerçek alan hep ikisinin arasındadır.
Debi zamanla değişiyorsa toplam su miktarı, debi grafiğinin altında kalan alandır: ∫ debi dt.
Uygulamaların dakikada harcadığı yüzde değişkendir; günlük toplam tüketim bu eğrinin altındaki alandır. Sık ölçüm = ince dilim = doğru sonuç.
Bir denemede dakika başına çözdüğün soru sayısını çizersen, toplam soru grafiğin altında kalan alandır. Yavaşladığın dakikalarda dikdörtgen kısalır.
Maç boyunca dakikalık sayı üretimi toplandığında toplam skor çıkar. Her dakika bir dilim, o dakikadaki üretim dikdörtgenin yüksekliğidir.
Şarkıların süresi eşit değildir; bölüntünün eşit olmak zorunda olmaması tam da budur. Toplam süre yine parçaların toplamıdır.
Yuvarlak bir alanı düz parçalarla ölçmek her zaman biraz hatalıdır; dilim inceldikçe hata küçülür. Limit fikri burada gizlidir.
Bölüntü, Riemann toplamı, alt-üst toplam, limitle belirli integral ve F(b) – F(a) üzerine 50 soruluk test.
a = x₀, b = x₃ olmak üzere P = {x₀, x₁, x₂, x₃} kümesine [a, b]’nın bir bölüntüsü denir; eşit aralıklarla olmak zorunda değildir. n eşit aralık için Δx = (b – a)/n.
Her dilimden bir ck seçilir ve dikdörtgenlerin alanları toplanır: Δx·f(c₁) + Δx·f(c₂) + … + Δx·f(cn). Alt aralık sayısı arttıkça değer gerçek alana yaklaşır.
Her dilimde görüntü kümesinin en küçük elemanı seçilirse Riemann alt toplamı, en büyük elemanı seçilirse üst toplamı elde edilir.
Alan lim (Σ Δx·f(ck)) limitiyle hesaplanır ve bu değere fonksiyonun [a, b]’ndaki belirli integrali denir: ∫ab f(x)dx.
F′(x) = f(x) olmak üzere ∫ab f(x)dx = F(b) – F(a). a alt sınır, b üst sınırdır ve c sabitleri sadeleştiği için belirli integralde c bulunmaz.
f(x) = mx + n için yamuk alanı A = m/2·(a + b)(b – a) + n(b – a) çıkar; F(x) = mx²/2 + nx + c ile hesaplanan F(b) – F(a) tam olarak aynı sonucu verir.
17 Eylül 1826, Hannover doğumlu; Göttingen Üniversitesi’nde Gauss’un öğrencisi olmuştur. 1854 tarihli makalesi diferansiyel geometride çığır açmış, eğrilik kavramını geliştirmiştir.
Sol uç = alt toplam değildir: hangi ucun küçük değer
verdiği fonksiyonun artan mı azalan mı olduğuna bağlıdır.
Belirsiz integral fonksiyon, belirli integral sayı
verir.