Şekiller
denkleme dönüşünce
Tanım şudur: analitik geometri, diğer adıyla koordinat geometrisi, geometri ile cebri birleştiren bir matematik dalıdır. Önemi, geometrik eğriler ile cebirsel denklemler arasında bir ilişki kurmasıdır. Bu sayede geometri problemleri cebirdeki eşdeğer problemlere çevrilir: uzaklık bir karekök, doğru bir denklem, diklik bir çarpım olur.
A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık bir dik üçgen kurularak bulunur: iki noktadan eksenlere paralel çizilen doğrular C noktasında dik kesişir ve ABC üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanırsa |AB|² = |BC|² + |AC|², yani |AB|² = |x₂ – x₁|² + |y₂ – y₁|² olur. Buradan |AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) bulunur. Mutlak değerin karesi zaten pozitif olduğu için formülde mutlak değer yazılmaz — hangi noktadan hangisini çıkardığın sonucu değiştirmez.
|AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²). Dik üçgenin dik kenarları yatay ve dikey farklar, hipotenüsü aradığın uzaklıktır.
A(a, b) ve B(a, c) için formül uygulanınca √(0 + (c – b)²) çıkar, yani |AB| = |c – b|. İki nokta aynı düşey doğru üzerindedir, uzaklık ordinatların farkının mutlak değeridir.
A(a, c) ve B(b, c) için √((a – b)² + 0) çıkar, yani |AB| = |a – b|. İki nokta aynı yatay doğru üzerindedir. Burada mutlak değer yazılmak zorundadır, çünkü karekök alınmıştır.
A(x₁, y₁) ile B(x₂, y₂) noktalarını |AC|/|BC| = k olacak biçimde bölen C noktasının koordinatları benzerlikten çıkar: [AD] // [CE] olduğu için ADC ve CEB üçgenleri benzerdir ve buradan C((x₁ + k·x₂)/(1 + k), (y₁ + k·y₂)/(1 + k)) bulunur — bu içten bölen noktadır. Dıştan bölen noktada paydalar ve paylar çıkarma olur: C((x₁ – k·x₂)/(1 – k), (y₁ – k·y₂)/(1 – k)). İçten bölen formülünde k = 1 yazılırsa orta nokta çıkar: C((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
[AB] doğru parçasının orta noktası C((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)’dir. İçten bölen formülünün k = 1 hâlidir: eşit uzaklıkta bölmek, oranı 1 almaktır.
ABCD paralelkenarında köşegenler birbirini ortalar. [AC] ile [BD]’nin orta noktası aynı K noktası olduğundan x₁ + x₃ = x₂ + x₄ ve y₁ + y₃ = y₂ + y₄ bulunur.
Köşeleri A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) olan üçgenin ağırlık merkezi G((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)’tür. Koordinatların aritmetik ortalamasıdır.
İki formül yalnız bir işaretle ayrılır: içten bölende toplama, dıştan bölende çıkarma vardır. Dıştan bölen formülünde k = 1 alınamaz — payda 1 – k = 0 olurdu. Zaten geometrik anlamı da yoktur: A’ya ve B’ye eşit uzaklıkta olup doğru parçasının dışında kalan bir nokta bulunamaz. Not: dıştan bölen başlığında da “C ∈ [AB]” yazar; dıştan bölen nokta tanımı gereği [AB] doğru parçasının üzerinde değil, uzantısındadır. Bu satır dizgi hatasıdır, formül doğrudur.
Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya eğim açısı denir; bu açının ölçüsü α olmak üzere tan α değerine doğrunun eğimi denir. Dik üçgende tan α = |BC| / |AC| olduğu için, doğru üzerindeki A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları alındığında m = tan α = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) olur. Üç şey daha geçerlidir: eğim genellikle m sembolü ile gösterilir, y = mx + n biçiminde yazılan doğrunun eğimi m’dir ve ax + by + c = 0 biçiminde yazılan doğrunun eğimi –a/b’dir.
0° < α < 90° iken tan α > 0’dır; doğru soldan sağa yükselir. α = 45° ise m = 1’dir.
90° < α < 180° iken tan α < 0’dır; doğru soldan sağa alçalır. α = 135° ise m = –1’dir.
α = 0° ise m = 0’dır: doğru x eksenine paraleldir, denklemi y = b biçimindedir. α = 90° ise tan 90° tanımsızdır, yani düşey doğrunun eğimi yoktur; denklemi x = a biçimindedir. “Eğimi sıfır” ile “eğimi tanımsız” aynı şey değildir.
Doğru denklemi üç yoldan kurulur. I. Eğimi ve bir noktası bilinen doğru: doğru üzerinde herhangi bir B(x, y) alınır, tan α = m = (y – y₁)/(x – x₁) yazılır ve y – y₁ = m·(x – x₁) bulunur. II. İki noktası bilinen doğru: aynı eğim iki ayrı çiftle yazılıp (y – y₁)/(x – x₁) = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) elde edilir. III. Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru: eksenleri (a, 0) ve (0, b) noktalarında kesen doğrunun denklemi x/a + y/b = 1 biçimindedir. Ayrıca özel doğrular veriliyor: x = a (y eksenine paralel), y = b (x eksenine paralel), y = mx (orijinden geçen). Son madde de şu: bir nokta doğrunun üzerindeyse doğru denklemini sağlar.
Önce grafik kurulur: d : ax + by + c = 0 doğrusunun tam olarak çizilebilmesi için doğrunun geçtiği iki nokta bulunmalıdır. Denklemde x = 0 yazılırsa y = –c/b çıkar (doğru y eksenini (0, –c/b) noktasında keser), y = 0 yazılırsa x = –c/a çıkar (doğru x eksenini (–c/a, 0) noktasında keser). Ardından d₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0 ve d₂ : a₂x + b₂y + c₂ = 0 doğruları için üç durum veriliyor: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ise çakışık (aynı) doğrulardır; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ise paraleldirler (ve o zaman m₁ = m₂’dir); a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ise tek bir noktada kesişirler — kesim noktası iki denklemin oluşturduğu sistemin çözüm kümesidir. Diklik ayrı bir şart: d₁ ⊥ d₂ ise m₁ · m₂ = –1’dir.
Tanım şudur: kesim noktası, doğru denklemlerinin oluşturduğu denklem sisteminin çözüm kümesidir. Yani iki denklem birlikte çözülür; çıkan (x, y) ikilisi iki doğrunun da üzerindedir ve iki denklemi de sağlar.
m₁ · m₂ = –1 kuralı, iki doğrunun da eğimi varsa işler. x = 3 ile y = 5 doğruları birbirine diktir ama birincinin eğimi tanımsız olduğu için çarpım yazılamaz. Aynı şekilde m₁ = m₂ olması paralel demek için yetmez: iki doğru çakışık da olabilir — ayıran şey üçüncü oran, yani c₁/c₂’dir.
A(x₁, y₁) noktasının d : ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı h = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²) birim olur. Paralel iki doğru için de: d₁ : ax + by + c₁ = 0 ve d₂ : ax + by + c₂ = 0 doğruları arasındaki uzaklık h = |c₁ – c₂| / √(a² + b²) birim olur. İkinci formülün çalışabilmesi için x ve y’nin katsayıları iki denklemde de aynı olmalıdır; değilse önce denklemlerden biri uygun sayıyla genişletilir. Payda ortak olduğu için de aradaki fark yalnız sabit terimlerden gelir.
a·x₁ + b·y₁ + c ifadesi noktanın doğrunun hangi tarafında kaldığına göre pozitif ya da negatif çıkar. Uzaklık negatif olamayacağı için payda mutlak değer alınır.
h = 0 çıkması, a·x₁ + b·y₁ + c = 0 demektir; yani nokta doğrunun üzerindedir ve denklemi sağlar. “Nokta doğru üzerindeyse denklemi sağlar” maddesiyle aynı kapıya çıkar.
3x + 4y – 5 = 0 ile 6x + 8y + 4 = 0 paraleldir ama |c₁ – c₂| formülü doğrudan uygulanamaz. Önce ikinci denklem 2’ye bölünür: 3x + 4y + 2 = 0. Şimdi h = |–5 – 2| / √(9 + 16) = 7/5 olur.
Analitik geometri, “nerede” ve “ne kadar uzakta” sorularını sayıya çeviren dildir. Telefonundaki her harita, her oyun, her tasarım uygulaması bu formüllerle çalışır.
Konum paylaşımında iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafe Pisagor ile hesaplanır: yatay fark ile dikey farkın karelerinin toplamının karekökü.
İkinize de eşit uzaklıkta bir kafe arıyorsanız aradığınız şey orta noktadır: koordinatların ortalaması. Biri diğerinden iki kat uzakta olsun derseniz, bu k = 2 oranıyla bölen noktadır.
Bir rampanın “yüzde 8 eğimli” olması, her 100 birim yatayda 8 birim yükselmesi demektir. Bu tam olarak m = dikey/yatay oranıdır.
Karakterin duvara değip değmediği, karakterin merkezinin duvar doğrusuna uzaklığı hesaplanarak bulunur. Uzaklık formülü tam olarak bu iş içindir.
Netlerin denemeden denemeye artışı bir doğruya oturuyorsa, eğim haftalık artış hızıdır. Eğim büyüdükçe çizgi dikleşir.
Üç arkadaşın evleri bir üçgenin köşeleriyse, “ortalama olarak en adil nokta” ağırlık merkezidir: üç koordinatın ortalaması.
Yoldaki iki şerit çizgisi paraleldir ve aralarındaki mesafe her yerde aynıdır. Paralel doğrular arası uzaklık formülünün yaptığı da budur: yer seçmeden tek bir sayı verir.
Tasarım uygulamalarındaki hizalama kılavuzları, seçtiğin nesnenin bir doğruya uzaklığını ölçer; sıfıra düştüğünde nokta doğru üzerindedir ve çizgi renk değiştirir.
Bir pasın bir oyuncudan geçip geçmediği, oyuncunun pas doğrusuna uzaklığının yeterince küçük olup olmadığına bakılarak değerlendirilir.
Uzaklık, bölen noktalar, eğim, doğru denklemleri, doğruların durumları ve uzaklık formülleri üzerine 55 soruluk test.
|AB| = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
Apsisler eşitse |AB| = |c – b|, ordinatlar eşitse |AB| = |a – b|.
İçten: C((x₁ + k·x₂)/(1 + k), (y₁ + k·y₂)/(1 + k))
Dıştan: C((x₁ – k·x₂)/(1 – k), (y₁ – k·y₂)/(1 – k))
Orta nokta ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2); ağırlık merkezi ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3). Paralelkenarda x₁ + x₃ = x₂ + x₄ ve y₁ + y₃ = y₂ + y₄.
m = tan α = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
y = mx + n için eğim m, ax + by + c = 0 için eğim
–a/b.
Eğim + nokta: y – y₁ = m(x – x₁)
İki nokta: (y – y₁)/(x – x₁) = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)
Eksen kesenler: x/a + y/b = 1
Özel: x = a · y = b · y = mx
ax + by + c = 0 için x = 0 → y = –c/b, y = 0 → x = –c/a. İki nokta bulunur, birleştirilir.
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → çakışık
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → paralel (m₁ = m₂)
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → tek noktada kesişir
Diklik: m₁ · m₂ = –1
Nokta-doğru: h = |a·x₁ + b·y₁ + c| / √(a² + b²)
Paralel doğrular: h = |c₁ – c₂| / √(a² + b²)
(x ve y katsayıları eşitlenmiş olmalı).
Eğimi sıfır ≠ eğimi tanımsız: y = b yataydır, m = 0;
x = a düşeydir, eğimi yoktur (tan 90° tanımsız).
m₁ = m₂ paralel demek değildir — çakışık da olabilir;
farkı c oranı belirler.
Descartes ve Fermat, 1630’larda Viète’nin çalışmalarından yola çıkarak analitik geometrinin temellerini birbirinden bağımsız olarak kurdular. “Kartezyen” sözcüğü Descartes’ın adından türemiştir.