Türevin
geri dönüş yolu
Türev, bir fonksiyonu değişim hızına çevirir. İntegral tam tersini yapar: türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu geri bulur. Geri dönerken tek bir bilgi kaybolmuştur — sabit terim. Bu yüzden sonuca hep + c eklenir ve bulunan şey tek bir eğri değil, birbirinin aynısı olan bir eğri ailesidir.
Tanım şöyle: F(x) fonksiyonunun türevi f(x) olsun. f(x) fonksiyonunun türevi alınmadan önceki hâli olan F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun ters türevi veya belirsiz integrali denir. Bir fonksiyonun ters türevini bulma işlemine integral alma işlemi denir. Bir f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali ∫f(x)dx biçiminde ifade edilir. Bu integralin bulunması için F′(x) = f(x) olacak şekilde bir F(x) fonksiyonu araştırılır ve c sabit sayısı bu fonksiyona eklenerek f(x) belirsiz integrali F(x) + c olarak elde edilir. Buradaki c sabit sayısına integral sabiti denir. Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında ise d/dx ∫f(x)dx = f(x) olur — yani integral ile türev birbirini götürür.
F′(x) = f(x) ise F(x), f(x)’in ters türevidir. İntegral alırken aslında “türevi bu olan fonksiyon neydi?” sorusu sorulur.
Sabitin türevi sıfır olduğu için x² + 1, x² – 7 ve x²’nin türevi aynıdır. Bu yüzden sonuca + c yazılır: ∫2x dx = x² + c.
Belirsiz integralin sonucu tek bir fonksiyon değil, bir fonksiyon ailesidir. + c yazılmadığında cevap eksiktir. (Sonraki ünitede göreceğin belirli integralde ise c sadeleşir ve hiç görünmez.)
Temel kural şu: n ≠ –1 ve n ∈ ℚ olmak üzere F(x) = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c ⇒ F′(x) = xⁿ olduğundan ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c olur. Türevde üs öne iner ve bir azalır; integralde tam tersi olur: üs bir artar ve yeni üsse bölünür. Bulduğun sonucun türevini alarak her seferinde kendini denetleyebilirsin — integralin en kolay kontrol yolu budur.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c (n ≠ –1, n ∈ ℚ).
Örnek: ∫x³ dx = x⁴/4 + c · ∫x dx = x²/2 + c.
x⁰ = 1 olduğu için ∫dx = x + c olur. Bu, kuralın n = 0 için yazılmış hâlidir; kural genel verildiği için bu durum da kapsanır.
n = –1 olsaydı payda n + 1 = 0 olurdu ve ifade tanımsızlaşırdı. Kural bu tek değeri bu yüzden dışarıda bırakır; ders kitabı da n ≠ –1 koşulunu şartın içine koyuyor.
İki kural da türev alarak ispatlanır. Birincisi: a ∈ ℝ olmak üzere ∫a·f(x)dx = a·∫f(x)dx olur. İspatı, iki tarafın da türevinin a·f(x) çıkmasına dayanır. İkincisi: f(x) ve g(x) sürekli fonksiyonlar olmak üzere ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx ve ∫[f(x) – g(x)]dx = ∫f(x)dx – ∫g(x)dx olur. Yani sabit çarpan integralin dışına çıkarılabilir, toplama ve çıkarma terim terim yapılabilir. Çarpma ve bölme için böyle bir kural yoktur — çarpımın integrali, integrallerin çarpımı değildir.
∫(6x² – 4x + 5)dx = 6·x³/3 – 4·x²/2 + 5x + c =
2x³ – 2x² + 5x + c
Denetim: türevi alınırsa 6x² – 4x + 5 çıkar.
∫x · x dx ≠ (∫x dx)·(∫x dx). Sol taraf ∫x² dx = x³/3 + c’dir; sağ taraf x⁴/4 verirdi. Çarpımda önce ifade sadeleştirilir, sonra integral alınır.
Diferansiyel şöyle tanımlanır: türevlenebilir bir f(x) fonksiyonunun türevi d(f(x))/dx = f′(x) olmak üzere d(f(x)) ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir ve d(f(x)) = f′(x)dx olur. Yani türev bir oran, diferansiyel ise o oranın payıdır: x’teki küçük bir dx değişimine karşılık, teğet doğrusu üzerinde ne kadar çıkıldığını söyler. Değişken değiştirme yönteminin can damarı budur — u = f(x) dendiğinde hemen ardından du = f′(x)dx yazılabilmesini sağlar.
d(f(x)) = f′(x)dx. Örnek: f(x) = x² için d(x²) = 2x dx; f(x) = 3x + 1 için d(3x + 1) = 3dx.
Diferansiyel kavramı ilk olarak Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından birbirinden bağımsız olarak geliştirilmiştir.
Diferansiyel, bir fonksiyonun bir noktadaki eğiminin ve değişim oranının hesaplanmasını sağladığını, fizik, mühendislik ve ekonomide — özellikle hareketli cisimlerin hızı ve ivmesi gibi problemlerde — sıkça kullanıldığını söylüyor.
Mühendislikte: elektrik mühendisliğinde devre analizi, mekanik mühendisliğinde hareketli sistemlerin modellenmesi, inşaat mühendisliğinde yapıların davranışının analizi. Fizikte: hareket problemleri, termodinamik problemleri, elektriksel alan problemleri. Ekonomi ve finansta: optimizasyon problemleri. Tıp ve biyolojide: bir ilacın vücuttaki etkisini modellemek, genetik popülasyon dinamiklerini analiz etmek. Bu dalın temel yöntemleri türev alma, integral hesaplama, limitsiz işlemler, Taylor serisi ve nümerik yöntemlerdir.
Kural şu: integral alma kuralları ile alınması zor olan bazı integraller değişken değiştirme yöntemi kullanılarak daha basit integraller hâline getirildikten sonra kolayca integrali alınır. Yöntem hep aynı üç adımdır: içerideki ifadeye u denir → iki tarafın diferansiyeli alınır (du = f′(x)dx) → integral u cinsinden çözülüp sonunda u yerine eşiti yazılır. Bu yöntem üç kalıpta örnekliyor; üçünde de integralin içinde, u dediğin ifadenin türevi hazır durur.
n ≠ 0, n ≠ –1 olmak üzere ∫[f(x)]ⁿ · f′(x)dx.
f(x) = u, f′(x)dx = du ⇒ ∫uⁿ du = uⁿ⁺¹/(n + 1) + c ⇒
[f(x)]ⁿ⁺¹/(n + 1) + c.
f(x) ≠ 0, n ≠ 0, n ≠ 1, n ∈ ℚ olmak üzere
∫f′(x)/[f(x)]ⁿ dx.
f(x) = u ⇒ ∫u–n du = u1–n/(1 – n) + c ⇒
–1/((n – 1)·[f(x)]n–1) + c.
∫f′(g(x))·g′(x)dx biçimindeki integrallerde g(x) = u dönüşümü yapılır: g′(x)dx = du ⇒ ∫f′(u)du = f(u) + c ⇒ f(g(x)) + c. Bu, zincir kuralının tersidir.
∫(x² + 1)³ · 2x dx → u = x² + 1, du = 2x dx
= ∫u³ du = u⁴/4 + c =
(x² + 1)⁴/4 + c
Denetim: türevini al, zincir kuralıyla (x² + 1)³ · 2x çıkar.
∫(x² + 1)³ dx integralinde 2x çarpanı yoktur; ikame doğrudan uygulanamaz. Eksik çarpan sabitse dışarıdan sabit çarpanla düzeltilebilir (∫(x² + 1)³·x dx için 1/2 gibi), ama x’li bir çarpan integralin dışına çıkarılamaz.
Türev “ne kadar hızlı değişiyor” sorusunu cevaplar; integral ise elindeki değişim hızından toplam birikimi geri kurar. Aradaki tek belirsizlik, nereden başladığındır — yani c.
Telefonun hızını her an ölçüyor. Hızdan yolu geri hesaplamak integral almaktır; başlangıç noktası bilinmezse nerede olduğun değil, yalnız ne kadar gittiğin bulunur — işte o eksik bilgi c’dir.
Şarjın dakikada kaç puan arttığını biliyorsan, bir saat sonunda kaç puan eklendiğini integralle bulursun. Ama başlangıç yüzdesini bilmeden son yüzdeyi söyleyemezsin.
Her gün eklediğin miktarı biliyorsan toplam birikim integraldir. Kumbarada zaten duran para integral sabitidir: hiçbir günün eklemesini değiştirmez ama sonucu yukarı kaydırır.
Asansörün hız-zaman verisinden kaç kat çıktığı bulunur; hangi kattan başladığı ise ayrı bir bilgidir. Aynı hız verisi, farklı katlardan başlayan sonsuz yolculuğa uyar — eğri ailesi tam olarak budur.
Dakikada kazanılan puanın toplamı integraldir. Karakterin şu anki seviyesi c gibidir: kazanç hızını değil, çizginin nereden başladığını belirler.
Ses düğmesini çevirme hızını bilmek, sesin kaça geldiğini tek başına söylemez; bunun için bir başlangıç değeri gerekir. Bu, integral sabitinin somut hâlidir.
Dakikadaki debiyi biliyorsan kovadaki su miktarı integraldir. Kovada başlangıçta bulunan su ise c’dir: debiden okunamaz, ayrıca bilinmelidir.
İçeriye u demek, karmaşık bir görüntüyü tek bir kutuya alıp öyle işlem yapmaya benzer. İşlem bitince u yerine eşiti geri yazılır — hiçbir bilgi kaybolmaz.
İntegralin doğruluğu türevi alınarak kontrol edilir. Matematikte kendi cevabını bu kadar kolay denetleyebildiğin başka çok az konu vardır.
Ters türev, integral sabiti, kuvvet kuralı, diferansiyel ve üç ikame kalıbı üzerine 50 soruluk test.
F(x)’in türevi f(x) ise F(x)’e f(x)’in ters türevi veya belirsiz integrali denir. Gösterim ∫f(x)dx = F(x) + c; c’ye integral sabiti denir.
Eşitliğin iki tarafının türevi alınırsa d/dx ∫f(x)dx = f(x) bulunur. İntegral alma işlemi, ters türev bulma işlemidir.
n ≠ –1 ve n ∈ ℚ olmak üzere
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c.
Üs bir artar, yeni üsse bölünür. n = –1’de payda sıfır olacağı için kural geçersizdir.
∫a·f(x)dx = a·∫f(x)dx
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫[f(x) – g(x)]dx = ∫f(x)dx – ∫g(x)dx
İkisi de iki tarafın türevi alınarak ispatlanır.
d(f(x)) = f′(x)dx. Newton ve Leibniz tarafından birbirinden bağımsız olarak geliştirilmiştir; bir noktadaki eğimin ve değişim oranının hesaplanmasını sağlar.
∫[f(x)]ⁿ·f′(x)dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/(n + 1) + c
∫f′(x)/[f(x)]ⁿ dx = –1/((n – 1)[f(x)]n–1) + c
∫f′(g(x))·g′(x)dx = f(g(x)) + c
Üçünde de u = içerideki ifade, du = türevi · dx.
+ c unutulmaz — belirsiz integralin sonucu bir
fonksiyon ailesidir.
Çarpımın integrali, integrallerin çarpımı değildir.
İkamede türev hazır olmalı: integralin içinde u’nun
türevi yoksa yöntem doğrudan uygulanamaz.
Bulduğun sonucun türevini al: başlangıçtaki fonksiyon çıkıyorsa integral doğrudur. Bu, ispatların da yöntemidir.