İntegral işaretli,
alan işaretsiz
Belirli integralin beş özelliği hesabı kolaylaştırır: sınırlar eşitse sıfır, yer değiştirirse işaret döner, aradan bir nokta seçilirse ikiye ayrılır, sabit dışarı çıkar, toplam terim terim ayrılır. Alan hesabında ise tek bir kural her şeyi belirler: x ekseninin altında kalan bölgenin integrali negatif çıkar, alanı ise pozitiftir.
[a, b]’nda integrallenebilir f(x) ve g(x) fonksiyonları için beş özellik sıralıyor: I. Belirli integralde alt ve üst sınırlar eşit ise belirli integralin değeri sıfırdır. II. Belirli integralde alt ve üst sınırlar yer değiştirirse belirli integral işaret değiştirir. III. a < c < b olmak üzere ∫ab = ∫ac + ∫cb olur. IV. Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının belirli integrali, fonksiyonun belirli integralinin sabitle çarpımına eşittir. V. İki fonksiyonun toplamının ya da farkının belirli integrali, belirli integrallerin toplamına ya da farkına eşit olur.
Fonksiyonun kuralı ya da işareti bir noktada değişiyorsa integral o noktadan ikiye ayrılır. Parçalı fonksiyonlarda ve alan hesabında en çok kullanılan özellik budur.
k yerine –1 konursa ∫(–f)dx = –∫f dx olur: fonksiyonun işaretini çevirmek integralin işaretini çevirir. Alan hesabında x ekseninin altındaki bölgeler için tam olarak bu kullanılır.
Kural şudur: g(x) ve h(x) gerçek sayılar kümesinde integrallenebilir iki fonksiyon ve a ≤ c ≤ b olmak üzere f(x) = g(x) (x ≤ c ise), h(x) (x > c ise) biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonunun [a, b]’ndaki integralini bulmak için integral, fonksiyonun kuralının değiştiği c noktasına göre ∫ab f(x)dx = ∫ac g(x)dx + ∫cb h(x)dx biçiminde iki integralin toplamı olarak yazılabilir. Bu, üçüncü özelliğin doğrudan uygulanmasıdır: her aralıkta o aralığın kendi kuralı kullanılır.
1) Kuralın değiştiği nokta bulunur.
2) İntegral o noktadan ikiye ayrılır.
3) Her parçada o parçanın kendi kuralı ile integral
alınır.
4) İki sonuç toplanır.
Parçalı fonksiyonun integralini tek bir kuralla baştan sona almak yanlıştır; hangi kuralı seçersen seç aralığın bir kısmında geçersiz olur. Mutlak değerli fonksiyonlar da parçalıdır: içi sıfır yapan nokta kritik noktadır.
Genel kural tek satırda toplanır: f : [a, b] → ℝ, y = f(x) fonksiyonu integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere y = f(x) fonksiyonunun grafiği, x = a ve x = b doğruları ile x ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı A olmak üzere A = ∫ab |f(x)|dx ile hesaplanır. Ardından üç durum ayrı ayrı açılıyor: fonksiyon [a, b]’nda pozitif değerli ise |f(x)| = f(x) olacağından A = ∫ab f(x)dx; negatif değerli ise |f(x)| = –f(x) olacağından A = –∫ab f(x)dx; pozitif ve negatif değerlerin her ikisini birden alıyor ise alan A = A₁ + A₂ = ∫ac f(x)dx – ∫cb f(x)dx ile hesaplanır.
Grafik x ekseninin üzerindeyse |f(x)| = f(x) olur ve A = ∫ab f(x)dx. İntegral ile alan burada aynı sayıdır.
Grafik x ekseninin altındaysa |f(x)| = –f(x) olur ve A = –∫ab f(x)dx. İntegral negatif çıkar, başına eksi konarak alan pozitif yapılır.
Grafik ekseni c noktasında kesiyorsa integral ikiye ayrılır: A = ∫ac f(x)dx – ∫cb f(x)dx. İkinci parçanın önündeki eksi, o bölgenin altta olmasındandır.
Bu ayrım bir şekil üzerinde net biçimde görülür. y = f(x) grafiğinin eksenlerle arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları A₁ ve A₂ olmak üzere: I. ∫ac f(x)dx = –A₁ + A₂ olur. II. [a, c]’nda y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ∫ac |f(x)|dx = A₁ + A₂ olur. Yani integral hesabında x ekseninin altındaki bölge eksi işaretle girer, alan hesabında ise bütün parçalar artı işaretle toplanır. Bir soruda “integralin değeri” isteniyorsa işaretli toplam, “alan” isteniyorsa mutlak değerli toplam bulunur.
“∫ integralinin değeri kaçtır” → işaretli toplam
(–A₁ + A₂).
“Taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir” → A₁ + A₂.
İki soru aynı şekil üzerinde farklı cevap verir.
Üstteki ve alttaki bölgeler eşit büyüklükteyse integral sıfır çıkar, ama alan sıfır değildir; iki bölgenin toplamıdır. Alan hiçbir zaman negatif olamaz.
Bu formül de bir çıkarma ile kurulur: f(x) ve g(x) grafikleri ile x = a ve x = b doğruları arasında kalan bölgenin alanı A, g(x)’in grafiği ile x ekseni arasında kalan alan A₁ olmak üzere ∫ab f(x)dx = A + A₁ ve ∫ab g(x)dx = A₁ olduğundan A = ∫ab f(x)dx – ∫ab g(x)dx, yani A = ∫ab [f(x) – g(x)]dx bulunur. Eğriler kesişiyorsa: boyalı bölgelerin toplam alanı, A₁ ile A₂ alanlarının ayrı ayrı hesaplanarak toplanması ile bulunur: A = A₁ + A₂ = ∫ab[f(x) – g(x)]dx + ∫bc[g(x) – f(x)]dx. Kısacası her parçada üstte kalan fonksiyondan alttaki çıkarılır.
Soruda sınır verilmemişse iki eğrinin kesim noktaları f(x) = g(x) denklemi çözülerek bulunur; bu kökler integralin alt ve üst sınırları olur.
A = ∫ab [f(x) – g(x)]dx — burada f üstteki, g alttaki fonksiyondur. Sonuç her zaman pozitif çıkmalıdır.
Eğriler aralığın içinde kesişiyorsa tek bir integral yetmez: kesim noktasından sonra üstteki fonksiyon değişir. Her parçada çıkarma yönü yeniden belirlenir ve sonuçlar toplanır.
03. bölümdeki alan kuralı, bu formülün özel hâlidir: g(x) = 0 alındığında A = ∫[f(x) – 0]dx = ∫f(x)dx çıkar. Yani “eğri ile x ekseni arasındaki alan”, “eğri ile y = 0 doğrusu arasındaki alan” demektir. (Ders kitabı bu bağı ayrıca yazmıyor; iki formülün karşılaştırılmasından doğrudan çıkıyor.)
Bir şeyin “net değişimi” ile “toplam hareketi” çoğu zaman farklıdır. İntegral ile alan arasındaki fark tam olarak budur.
Bir ay boyunca para eklediğin günler pozitif, harcadığın günler negatiftir. İntegral net değişimi, alan ise toplam para hareketini verir.
Hız grafiğinde geri gitmek negatif hızdır. İntegral yer değiştirmeyi, alan yürünen toplam yolu verir. Başladığın yere dönersen integral sıfır, yol sıfır değildir.
Beş kat çıkıp beş kat inen asansörün net kat değişimi sıfırdır ama toplam on kat hareket etmiştir.
Denemeler arası artışlar pozitif, düşüşler negatiftir. Dönem sonundaki fark integrale, toplam iniş çıkış miktarı alana benzer.
Can kazanma pozitif, kaybetme negatiftir. Bölüm sonundaki can integrale karşılık gelir; toplam hasar + toplam iyileşme ise alana.
İki büyüme grafiği arasındaki fark, iki eğri arasında kalan alandır. Grafikler kesişirse hangisinin önde olduğu değişir — çıkarma yönü de değişir.
Belirli bir saate kadar bir hız, sonra başka bir hız uygulanıyorsa toplam veri parçalı fonksiyonun integralidir: kuralın değiştiği saatten ikiye bölünür.
Yokuş yukarı ve aşağı bölümler işaretçe zıttır. Bitişteki yükseklik farkı integrale, toplam tırmanış + iniş ise alana karşılık gelir.
Ses dalgası eksenin bir üstüne bir altına geçer; tam bir tur boyunca işaretli toplam sıfırlanabilir ama dalganın kapladığı alan sıfır değildir.
Beş özellik, parçalı fonksiyon, mutlak değerli alan kuralı ve iki eğri arasındaki alan üzerine 50 soruluk test.
∫aa f(x)dx = 0 — sınırlar eşitse
değer sıfırdır.
∫ab f(x)dx =
–∫ba f(x)dx — sınırlar yer değiştirirse işaret döner.
a < c < b olmak üzere ∫ab = ∫ac + ∫cb. Aralık istenen noktadan ikiye bölünebilir.
∫ k·f(x)dx = k·∫ f(x)dx
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Sabit dışarı çıkar, toplam ve fark terim terim ayrılır.
f(x) = g(x) (x ≤ c), h(x) (x > c) ise ∫ab f(x)dx = ∫ac g(x)dx + ∫cb h(x)dx. Kuralın değiştiği noktadan bölünür.
Genel kural A = ∫ab |f(x)|dx.
Pozitif bölgede A = ∫f dx · negatif bölgede A = –∫f dx ·
ikisi birdense A = ∫ac f dx –
∫cb f dx.
∫ac f(x)dx = –A₁ + A₂ (işaretli
toplam)
Alan = ∫ac |f(x)|dx = A₁ + A₂
(mutlak değerli toplam)
A = ∫ab [f(x) – g(x)]dx; eğriler kesişiyorsa parçalara ayrılır: A = ∫ab[f – g]dx + ∫bc[g – f]dx. Her parçada üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılır.
İntegral negatif olabilir, alan olamaz.
Üst ve alt bölgeler eşitse integral sıfır çıkar ama alan sıfır değildir.
Kesişen eğrilerde tek integral yetmez; kesim
noktasından bölünür.