Birinde eklenir,
ötekinde çarpılır
Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. Geometrik dizide ise sabit olan fark değil orandır: her terim bir öncekinin r katıdır. Bu tek cümlelik ayrım, iki dizinin bütün özelliklerini belirler — biri toplama, öteki çarpma üzerine kurulur.
Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir. (aₙ) bir aritmetik dizi ise (aₙ) = (a₁, a₂, a₃, …, aₙ, aₙ₊₁, …) için a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = … = aₙ₊₁ – aₙ = … = d olur. aₙ₊₁ – aₙ = d eşitliğindeki d sayısına aritmetik dizinin ortak farkı denir. İlk terimden başlayarak her adımda d eklendiği için n. terime ulaşana kadar d tam (n – 1) kez eklenmiş olur; buradan genel terim aₙ = a₁ + (n – 1) · d biçiminde bulunur.
Ortak fark pozitifse terimler sürekli büyür: (2, 5, 8, 11, …). Grafik, eğimi d olan bir doğru üzerindeki ayrık noktalardır.
Ortak fark negatifse terimler küçülür: (20, 17, 14, …). d = 0 ise bütün terimler aynı kalır ve dizi sabit dizi olur — sabit dizi aynı zamanda bir aritmetik dizidir.
Genel terimde a₁ + n·d değil, a₁ + (n – 1)·d yazılır. Sebebi basit: birinci terime ulaşmak için hiç d eklenmemiştir. Denetlemek için n = 1 koy — sonuç a₁ çıkmalıdır.
(aₙ) = (a₁, a₂, a₃, …, aₙ₋₁, aₙ) sonlu aritmetik dizisinde a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = … olur. Bunun sebebi açıktır: a₁ + aₙ = 2a₁ + (n – 1)·d, a₂ + aₙ₋₁ = a₁ + d + a₁ + (n – 2)·d = 2a₁ + (n – 1)·d. Sonuç olarak x, y, z, t ∈ ℤ⁺ için x + y = z + t ise aₓ + a_y = a_z + a_t olur. Ayrıca: k. terimi a_k, p. terimi a_p olan bir aritmetik dizide d = (a_p – a_k) / (p – k) olur. a ve b gibi iki gerçek sayı arasına aritmetik dizi oluşturacak biçimde p tane terim yerleştirilirse ortak fark d = (b – a) / (p + 1) olur. (aₙ) aritmetik dizisinde 1 < k < n olmak üzere aₙ₋ₖ ve aₙ₊ₖ terimlerinin ortasındaki terim aₙ olmak üzere aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2 olur.
d = (a_p – a_k) / (p – k)
a₃ = 7 ve a₉ = 25 ise d = (25 – 7)/(9 – 3) = 3’tür. İki terim verilen her soruda ilk
iş budur.
a ile b arasına p tane terim konursa d = (b – a) / (p + 1)’dir. Payda p değil p + 1’dir; çünkü araya p terim girince toplam adım sayısı bir fazladır.
aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2
Eşit uzaklıktaki iki terimin tam ortasındaki terim, onların
aritmetik ortalamasıdır. Geometrik dizide bunun
karşılığı geometrik ortalama olacaktır.
Bir (aₙ) dizisinde her n ∈ ℤ⁺ ve r ∈ ℝ için aₙ₊₁ / aₙ = r ise (aₙ) dizisine geometrik dizi, r sayısına da geometrik dizinin ortak çarpanı adı verilir. (aₙ) bir geometrik dizi ise a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = … = aₙ₊₁/aₙ = r olur. Geometrik bir dizide ilk terimden itibaren diğer terimler, bir önceki terimin r katı kadardır; aₙ₊₁ = r · aₙ indirgeme bağıntısı ile yazılabilir. İlk terim a₁ ve ortak çarpan r olmak üzere her adımda bir kez r ile çarpıldığı için genel terim aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ biçiminde bulunur. Ayrıca 1 ≤ k ≤ n ve k ∈ ℤ⁺ olmak üzere aₙ = a_k · rⁿ⁻ᵏ yazılır.
(2, 6, 18, 54, …) dizisinde r = 3’tür. Terimler çarpımsal olarak büyüdüğü için aritmetik diziden çok daha hızlı yükselir.
(16, 8, 4, 2, …) dizisinde r = 1/2’dir. Terimler sıfıra yaklaşır ama hiçbiri sıfır olmaz — sıfır terim geometrik dizide bulunamaz, çünkü bölme tanımsız olurdu.
r = –2 için dizi (3, –6, 12, –24, …) olur: terimler sırayla artı ve eksi işaret alır. Böyle bir dizide “artan mı azalan mı” sorusunun cevabı yoktur; dizi salınır.
Herhangi bir sonlu (aₙ) geometrik dizisinde baştan ve sondan eşit uzaklıklarda bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir: a₁ · aₙ = a₂ · aₙ₋₁ = a₃ · aₙ₋₂ = … olur. Bir geometrik dizide herhangi iki terimin ortasında bir terim varsa bu terim, diğer iki terimin geometrik ortalamasıdır; 1 < k < n olmak üzere aₙ = √(aₙ₋ₖ · aₙ₊ₖ)’dır. Dizinin herhangi bir terimi bir önceki ve bir sonraki terimin geometrik ortasıdır. Bir geometrik dizide k > p için k. terim a_k, p. terim a_p olmak üzere dizinin ortak çarpanı r = (a_k / a_p) üssü 1/(k – p) biçiminde bulunur. b ve c gibi iki gerçek sayı arasına k tane terim yerleştirilerek oluşan k + 2 terimli geometrik dizinin ortak çarpanı r = (c / b) üssü 1/(k + 1) olur.
Aritmetik dizide her adımda aynı miktar eklenir, geometrik dizide her adımda aynı sayıyla çarpılır. İkisi aynı terimden başlasa bile birkaç adım sonra araları kapanmayacak kadar açılır. Bu bölümdeki tezgâh iki diziyi yan yana koyuyor; ikinci sekme ise aritmetik ortalama ile geometrik ortalamayı aynı sayı çifti üzerinde karşılaştırıyor.
Ardışık terimleri çıkar: fark hep aynıysa aritmetiktir. Ardışık terimleri böl: oran hep aynıysa geometriktir. (2, 6, 18, 54) dizisinde farklar 4, 12, 36 ama oranlar 3, 3, 3’tür.
Sıfırdan farklı sabit dizi hem aritmetiktir (d = 0) hem geometriktir (r = 1): (5, 5, 5, …). Bu ayrıntı ders kitabında ayrıca yazmıyor, iki tanımın doğrudan sonucudur.
4 ile 16 sayılarının aritmetik ortalaması 10, geometrik ortalaması √64 = 8’dir. Aritmetik dizinin orta terimi ilkini, geometrik dizinin orta terimi ikincisini kullanır — hangi dizide olduğunu şaşırmak doğrudan yanlış sonuç verir.
Aritmetik dizi “her seferinde şu kadar daha”, geometrik dizi “her seferinde şu kadar katı” demektir. Aradaki farkı görmek, günlük kararlarda da işe yarar.
İlk gün 10, her gün 5 soru fazla çözersen 20. günde 10 + 19·5 = 105 soru çözersin. Bu düpedüz bir aritmetik dizidir: aₙ = a₁ + (n – 1)·d.
Bir sonraki seviye için gereken puan hep 1,5 katıysa bu geometrik dizidir: aₙ = a₁ · 1,5ⁿ⁻¹. 10. seviyede gereken puan ilkinin 38 katını geçer.
Her basamağın yüksekliği aynıdır; 12. basamağın yerden yüksekliği a₁ + 11·d’dir. Merdiven, aritmetik dizinin en somut hâlidir.
Her katlamada kalınlık iki katına çıkar: r = 2 olan geometrik dizi. Aynı sayıda adımda aritmetik dizi hâlâ küçük sayılardayken bu dizi binleri geçer.
“Her hafta 500 m ekle” aritmetiktir, “her hafta %10 artır” geometriktir. İkincisi başta yavaş görünür ama birkaç ay sonra öne geçer.
Gitarda her perde frekansı sabit bir oranla çarpar; frekanslar geometrik dizi oluşturur. Kulağın eşit aralıklı duymasının sebebi budur.
En ön sırada 6, her arka sırada 2 kişi fazla varsa kişi sayıları aritmetik dizidir: 6, 8, 10, 12… Beşinci sırada 14 kişi olur.
Top her seferinde bir önceki yüksekliğin belirli bir oranına çıkar: 0 < r < 1 olan geometrik dizi. Yükseklik sıfıra yaklaşır ama teorik olarak sıfır olmaz.
Her kişi mesajı 3 kişiye iletirse ulaşan kişi sayısı r = 3 olan geometrik dizidir. 7. adımda 729 kişiye ulaşır; aynı adımda aritmetik artış 20’yi bile bulmaz.
46 soruluk test · ortak fark ve ortak çarpan, aₙ = a₁ + (n – 1)·d ile aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹, baştan-sondan eşit uzaklık kuralları, aritmetik ve geometrik ortalama ile araya terim yerleştirme
Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizidir.
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = … = aₙ₊₁ – aₙ = d · d ortak farktır.
aₙ = a₁ + (n – 1)·d
a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = …
x + y = z + t ise aₓ + a_y = a_z + a_t
d = (a_p – a_k)/(p – k)
a ile b arasına p terim: d = (b – a)/(p + 1)
aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ)/2
aₙ₊₁ / aₙ = r ise dizi geometriktir; r ortak çarpandır.
Her terim bir öncekinin r katıdır: aₙ₊₁ = r · aₙ
aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ ve aₙ = a_k · rⁿ⁻ᵏ
a₁ · aₙ = a₂ · aₙ₋₁ = a₃ · aₙ₋₂ = …
aₙ = √(aₙ₋ₖ · aₙ₊ₖ) · orta terim geometrik ortalamadır.
k > p için r = (a_k / a_p) üssü 1/(k – p)
b ile c arasına k terim: r = (c / b) üssü 1/(k + 1)
Aritmetikte toplama olan her yerde geometrikte çarpma vardır: fark ↔ oran, toplamları eşit ↔ çarpımları eşit, aritmetik ortalama ↔ geometrik ortalama.
Genel terimde n değil (n – 1) yazılır.
Araya p terim yerleştirmede payda p + 1’dir.
Geometrik dizide hiçbir terim sıfır olamaz;
r < 0 ise terimlerin işareti sırayla değişir.