Sayı çok büyükse
logaritma konuşur
İnsan kulağının zarar görmeden duyabileceği en yüksek ses şiddeti 1 watt/m² iken duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti 10⁻¹² watt/m²’dir. Aradaki fark bir trilyon kattır — bu kadar geniş bir aralığı düz bir cetvelde göstermek imkânsızdır. Bu ünitede sesin, depremin ve fosil yaşının neden logaritma ile ölçüldüğünü göreceğiz.
İnsan kulağının zarar görmeden duyabileceği en yüksek ses şiddeti 1 watt/m² iken duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti 10⁻¹² watt/m²’dir. Bu yüzden insanlar karıncanın ayak seslerini, uzaydaki gezegenlerin veya yıldızların hareketlerinin seslerini duyamazlar. dB (desibel) türünden ses düzeyi L = 10 · log(I / I₀) bağıntısıyla hesaplanır. Burada I kaynağın ses şiddeti, I₀ = 10⁻¹² watt/m² ve L ses düzeyidir.
I = I₀ olduğunda L = 10 · log 1 = 0 dB çıkar. Yani 0 desibel “ses yok” demek değil, duyma eşiği demektir.
I = 1 watt/m² için L = 10 · log(10¹²) = 120 dB’dir. Bir trilyon katlık aralık, 0 ile 120 arasında bir sayıya sıkıştırılmış olur.
Desibel iki katına çıkmakla şiddet iki katına çıkmaz. Şiddet 10 katına çıktığında desibel yalnızca 10 birim artar; 60 dB’den 70 dB’ye geçmek, şiddetin 10 katına çıkması demektir. Bu yorum yukarıdaki bağıntıdan çıkarılmıştır.
Genlik, bir dalganın normal konumundan yükselme ve alçalma mesafesidir; uzanımın en büyük ve en küçük olduğu konumlar diye tarif edilebilir. Genlik, dalgayı ortaya çıkaran enerjinin miktarına bağlıdır: dalganın enerjisi artarken genlik de artar. Depremin büyüklüğü artarsa, meydana gelen dalga nedeniyle genlik de artar. Depremin büyüklüğü, deprem merkez üssünden 100 km uzaklıktaki sismograf tarafından kaydedilen dalgaların maksimum genliklerinden yararlanılarak hesaplanır. Mikron cinsinden ölçülen maksimum genlik d, depremin Richter ölçeğine göre büyüklüğü R olmak üzere R = log d’dir.
R = log d bağıntısı genlikten büyüklüğü verir; ters yönde d = 10^R yazılarak büyüklükten genlik bulunur. İkisi birbirinin tersidir.
Genlik merkez üssünden 100 km uzaklıktaki sismograf kaydından ve mikron biriminden alınır. Birim ya da uzaklık değişirse sayı da değişir; bağıntı bu koşullara bağlıdır.
Büyüklüğü 8 olan bir depremin genliği, 6 olanın iki katı değil, 10² = 100 katıdır: d = 10⁸ ile d = 10⁶ karşılaştırılır. Ölçek logaritmik olduğu için küçük görünen fark çok büyük bir fark demektir.
Canlı iken kemikte bulunan Carbon 14 adıyla anılan atomlar, canlının ölümünden sonra düzenli bozunarak Carbon 12 atomu hâline dönüşürler. 5730 yılda bozunmayan Carbon 14 atomlarının sayısı yarıya iner; diğer yarısı Carbon 12 atomu hâline dönüşür. Bu süreye yarılanma süresi denir. Kemik fosilindeki bu iki cins atomun miktarları ölçülerek canlının yaklaşık kaç yıl önce öldüğü anlaşılabilmektedir. x zamanı (yıl) ve y de Carbon 14 miktarının toplam Carbon miktarına oranı olmak üzere y = (1/2)^(x/5730) yazılır; buradan zaman çekildiğinde x = –5730 · (log y / log 2) bulunur.
y = (1/2)^(x/5730) fonksiyonunda taban 1/2, yani 0 < a < 1 olduğu için fonksiyon azalandır. Miktar hiçbir zaman tam sıfır olmaz, sıfıra yaklaşır.
y = (1/2)^(x/5730) eşitliğinin iki tarafının logaritması alınır:
log y = (x/5730) · log(1/2) = –(x/5730) · log 2
Buradan x = –5730 · log y / log 2 bulunur.
İki yarılanma süresi geçince miktar sıfırlanmaz; 1/2 · 1/2 = 1/4’e iner. Üç yarılanmada 1/8, dört yarılanmada 1/16 kalır. Azalma toplama değil çarpma ile işler.
Ses düzeyi, deprem büyüklüğü ve fosil yaşı bambaşka konulardır ama üçünde de aynı sorun vardır: ölçülen büyüklük çok geniş bir aralıkta değişiyor. Sesin şiddeti 10⁻¹² ile 1 arasında, deprem genliği mikronlarla milyonlarca mikron arasında, kalan karbon miktarı ise binlerce yıl boyunca sürekli yarılanarak değişir. Logaritma, bu geniş aralıkları okunabilir küçük sayılara çevirir; üstel fonksiyon ise aynı olayı ters yönden, “her adımda aynı oranda değişme” olarak anlatır.
Bu tür sorularda bağıntı zaten verilir; iş, hangi harfin bilindiğini ve hangisinin arandığını doğru yerleştirmektir. Aranan harf üste yerleşmişse logaritma alınır; logaritmanın içinde kalmışsa taban karşıya atılır. Aşağıdaki panelde verilen üç bağıntı üzerinden dört çözüm adım adım işleniyor.
y = (1/2)^(x/5730) gibi bir bağıntıda x üstte olduğu için iki tarafın logaritması alınır ve üs, çarpan olarak aşağı iner.
R = log d gibi bir bağıntıda aranan d logaritmanın içindeyse taban karşıya atılır: d = 10^R. Onluk logaritmada taban 10’dur.
Ses düzeyinde şiddet watt/m², depremde genlik mikron, karbon modelinde süre yıl cinsindendir. Birimi değiştirmek sayıyı değiştirir; bağıntılar bu birimlere göre yazılmıştır.
Ses, deprem ve fosil yaşı okulda üç ayrı derste anlatılır ama matematiği aynıdır. Aşağıdaki dokuz sahnede bunu göreceksin.
Telefonun “sesi kıstın mı?” uyarısı desibel ölçer. Ses seviyesini birkaç çentik açmak şiddeti kat kat artırır; uyarının sebebi kulağın duyduğu değil, aldığı enerjidir.
Haberde “5,8 büyüklüğünde” dendiğinde bu sayı doğrudan log d’dir. 6,8 duyduğunda genliğin 10 kat büyük olduğunu bilirsin.
“Bu kemik yaklaşık 11.500 yıllık” yazısı bir hesaptır: kalan karbon oranı ölçülmüş ve x = –5730 · log y / log 2 bağıntısına konmuştur. 11.460 yıl tam iki yarılanmadır.
Hoparlöre yaklaştıkça şiddet hızla artar ama duyduğun yükseklik yavaş artıyormuş gibi gelir. Kulağın logaritmik çalışması, tehlikeyi fark etmeyi zorlaştırır.
Bir kişi konuşurken ikinci kişi de konuşursa şiddet iki katına çıkar; ses düzeyi ise yalnız 10 · log 2 ≈ 3 dB artar. Gürültünün neden bir anda değil yavaş yavaş dayanılmaz olduğunu bu açıklar.
Uygulama mikrofondan gelen şiddeti ölçüp ekrana dB yazar; yaptığı tek işlem 10 · log(I / I₀) hesabıdır.
Kalemin kâğıda çizdiği zikzağın en yüksek tepesi ile en derin çukuru arasındaki mesafe genliktir; büyüklüğü belirleyen odur.
İlaç prospektüsündeki “yarılanma ömrü” ifadesi de aynı modeldir: her yarılanma süresinde miktar yarıya iner, sıfırlanmaz.
Bazı oyunlarda hasar ya da güç göstergesi logaritmik ölçeklidir; çünkü ilk seviyedeki 10 ile son seviyedeki 10 milyonu aynı çubukta göstermenin başka yolu yoktur.
45 soruluk test · L = 10·log(I/I₀) ile ses düzeyi, R = log d ile deprem büyüklüğü, y = (1/2)^(x/5730) ile karbon 14 yarılanması ve bu bağıntıların iki yönlü kullanımı
L = 10 · log(I / I₀)
I: kaynağın ses şiddeti · I₀ = 10⁻¹² watt/m² · L: dB türünden ses düzeyi.
Zarar görmeden duyulabilen en yüksek şiddet 1 watt/m²’dir; bu da 120 dB’ye karşılık
gelir.
R = log d
d: mikron cinsinden ölçülen maksimum genlik · R: Richter ölçeğine göre büyüklük.
Genlik, merkez üssünden 100 km uzaklıktaki sismograf kaydından alınır.
y = (1/2)^(x/5730) ve
x = –5730 · log y / log 2
x: zaman (yıl) · y: Carbon 14 miktarının toplam Carbon miktarına oranı.
Yarılanma süresi 5730 yıldır.
Genlik, bir dalganın normal konumundan yükselme ve alçalma mesafesidir ve dalgayı ortaya çıkaran enerjinin miktarına bağlıdır. Dalganın enerjisi artarken genlik de artar.
Aranan harf üsteyse iki tarafın logaritması alınır; logaritmanın içindeyse taban karşıya atılır. Onluk logaritmada taban 10’dur.
Şiddet 10 katına çıkınca ses düzeyi yalnız 10 dB artar.
Büyüklüğü 1 birim fazla olan depremin genliği 10 kat fazladır.
İki yarılanmada miktar sıfırlanmaz, 1/4’e iner.