Yüz terimi
tek satırda topla
Bir dizinin ilk n terim toplamı Sₙ ile gösterilir. Aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı hep aynı olduğu için toplam n/2 · (a₁ + aₙ) çıkar; geometrik dizide toplamı r ile çarpıp çıkarma numarası a₁·(1 – rⁿ)/(1 – r) verir. İkisi de tek tek toplamayı gereksiz kılar.
Σ simgesi olup sigma biçiminde okunur. Bu simge, çok terimli toplamları kısaca yazmaya yarar. n ∈ ℤ⁺ olmak üzere a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ toplamı, Σ simgesi kullanılarak kısaca Σ (k = 1’den n’ye) aₖ biçiminde yazılır ve “k = 1’den n’ye kadar aₖ sayılarının toplamı” biçiminde okunur. Bu ifadede k’ye indis ya da değişken, 1’e alt sınır, n’ye ise üst sınır adı verilir. Dizinin ilk n terim toplamı Sₙ ile gösterilir ve Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ = Σ aₖ formülüyle yazılır.
Sigmanın altındaki k = 1 alt sınır, üstündeki n üst sınır, yanındaki aₖ ise toplanacak terimin kuralıdır. k bir sayaçtır; alt sınırdan üst sınıra kadar birer birer artar ve her değeri kurala yazılıp sonuçlar toplanır.
Alt sınır p, üst sınır n ise toplamda n – p + 1 terim vardır. k = 1’den n’ye n terim, k = 3’ten 9’a ise 7 terim toplanır. Ders kitabında verilmeyen bu sayma kuralı, terim sayısını gerektiren her formülde ilk adımdır.
aₙ tek bir terimdir, Sₙ ilk n terimin toplamıdır. (2, 5, 8, 11) dizisinde a₄ = 11 ama S₄ = 26’dır. Soruda “dördüncü terim” mi “ilk dört terimin toplamı” mı istendiğine bak.
Bir (aₙ) aritmetik dizisinin ilk n terim toplamı Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) biçiminde hesaplanır. Bir aritmetik dizide aₙ = a₁ + (n – 1)·d genel terim ifadesi kullanılarak dizinin ilk n teriminin toplamı Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n – 1)·d) olarak bulunur. İkinci biçim birincisinden çıkar: aₙ yerine a₁ + (n – 1)·d yazılırsa a₁ + aₙ toplamı 2a₁ + (n – 1)·d olur. Son terim biliniyorsa birinci, ortak fark biliniyorsa ikinci formül kullanılır.
Toplamı bir kez düz, bir kez ters yazıp alt alta topla: her sütun a₁ + aₙ verir ve n sütun vardır. Yani 2·Sₙ = n·(a₁ + aₙ), buradan Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ). Aynı sonuç uzun açılımla da elde edilir.
a₁ = 1, d = 1 olan aritmetik dizidir: Sₙ = n·(n + 1)/2. İlk 100 doğal sayının toplamı 100·101/2 = 5050’dir. Bu, aritmetik toplam formülünün en çok kullanılan özel hâlidir (ders kitabında ayrıca verilmiyor, genel formülden çıkar).
a₁ ve aₙ verilmişse n/2·(a₁ + aₙ), a₁ ve d verilmişse n/2·(2a₁ + (n – 1)d) kullan. İkisi aynı sayıyı verir; yanlış olan, aₙ yerine yanlışlıkla d yazmaktır.
(aₙ) geometrik dizisinin ilk terimi a₁ ise bu durumda ilk n teriminin toplamı Sₙ = a₁ · (1 – rⁿ) / (1 – r) olarak bulunur. Türetim şudur: Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ yazılır, iki taraf r ile çarpılır (r·Sₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ), sonra alt alta çıkarılır. Ortadaki bütün terimler birbirini götürür ve geriye Sₙ – r·Sₙ = a₁ – a₁rⁿ kalır; ortak çarpan parantezine alınıp bölününce formül çıkar.
Formülün paydası 1 – r olduğu için r = 1 iken formül kullanılamaz. O durumda bütün terimler a₁’e eşittir ve toplam doğrudan Sₙ = n · a₁ olur. Bu ayrım ders kitabında ayrıca yazılmıyor; formülün paydasından çıkıyor.
a₁(1 – rⁿ)/(1 – r) ile a₁(rⁿ – 1)/(r – 1) aynı sayıdır: pay ve payda birlikte –1 ile çarpılmıştır. r > 1 iken ikincisi pozitif sayılarla çalışıldığı için daha kullanışlıdır.
Genel terimde rⁿ⁻¹, toplam formülünde rⁿ vardır. Sebebi: toplamda n tane terim vardır ve son terimin üssü n – 1’dir; r ile çarpıp çıkarınca üs bir artar.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … biçiminde devam eden diziye Fibonacci sayı dizisi adı verilir. Fibonacci dizisi; ilk iki terimi 1 ve diğer terimleri önceki iki terimin toplamından oluşan bir dizi olduğundan indirgemeli bir dizidir. Bu dizinin indirgeme bağıntısı a₁ = 1, a₂ = 1 ve aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (n > 2) olarak tanımlanır. Dizinin genel terimi ise aₙ = (1/√5)·[((1 + √5)/2)ⁿ – ((1 – √5)/2)ⁿ] biçimindedir — terimlerin hepsi tam sayı olmasına rağmen genel terimde köklü sayılar bulunması bu dizinin en şaşırtıcı yanıdır.
İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin problemine göre tavşanlar doğdukları ilk iki ay yavru yapmaz, üçüncü aydan itibaren her çift her ay bir çift yavru yapar. İlk ay bir çift varsa ikinci ay hâlâ bir çift, üçüncü ay iki çift, dördüncü ay üç çift olur.
Bir aydaki çift sayısı, bir önceki aydakilerin hepsi (kimse kaybolmuyor) artı iki ay önce var olanların yavruları kadardır. İki ay önceki her çift artık üretkendir; bu yüzden aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ çıkar.
İndirgeme bağıntısı a₁₀’u doğrudan vermez; önceki bütün terimleri sırayla hesaplamak gerekir. Aritmetik ve geometrik dizide böyle bir zorunluluk yoktur, çünkü onların kapalı genel terimi vardır.
Dizi problemlerinde çözüm hep aynı üç adımdan geçer: metindeki durum bir diziye çevrilir, dizinin türü belirlenir (fark mı sabit, oran mı sabit, yoksa önceki terimlere mi bağlı), sonra sorulan şeyin bir terim (aₙ) mi yoksa bir toplam (Sₙ) mi olduğuna karar verilir. Aşağıdaki panel dizi kavramlarını gerçek durumlar üzerinde adım adım işletiyor.
“12. ayda ne kadar biriktirir” aₙ sorusudur; “bir yılda toplam ne kadar biriktirir” Sₙ sorusudur. Problemlerin çoğunda hata burada yapılır.
“Başlangıçta 200 TL vardı, her ay 50 TL eklendi” cümlesinde birinci ayın sonu 250 mi 200 mü sorusu cevaplanmadan formül kurulmaz. Diziyi yazmadan formüle geçme.
Dizinin tanım kümesi ℤ⁺’tır. Bir denklemden n = 7,5 çıkıyorsa ya kurulum yanlıştır ya da o değere hiç ulaşılmaz. Sonucu her zaman diziye geri koyup denetle.
Sₙ formülleri “hepsini topla” işini tek satıra indirir. Aşağıdaki sahnelerin hepsi bir dizi toplamıdır.
İlk gün 10, her gün 4 soru fazla çözersen 20 günde toplam kaç soru? S₂₀ = 20/2·(2·10 + 19·4) = 960. Tek tek toplamaya gerek yok.
Her hafta 25 TL biriktiriyorsan 30 haftada 30·25 = 750 TL olur. Sabit dizide toplam n·a₁’dir — geometrik toplam formülünün r = 1 hâliyle aynı sonuç.
İlk hafta 3 km, her hafta 500 m artırıyorsan 10 haftada koştuğun toplam mesafe 10/2·(3 + 7,5) = 52,5 km eder.
Sen 2 kişiye, onlar 2’şer kişiye… 6 adım sonunda mesajı gören toplam kişi 1·(2⁶ – 1)/(2 – 1) = 63 olur. Geometrik toplamın en tanıdık hâli.
Ön sırada 6, her arka sırada 2 kişi fazla, 5 sıra varsa toplam 5/2·(6 + 14) = 50 kişi vardır.
Birinci gün 20, her gün 10 fazla altın veren bir oyunda bir haftada toplanan altın 7/2·(20 + 80) = 350’dir.
Her sıçrayışta yüksekliğin yarısına çıkan top için yükseklikler r = 1/2 olan geometrik dizidir; ilk beş sıçrayışın toplamı a₁·(1 – (1/2)⁵)/(1 – 1/2) ile bulunur.
Sıra sayıları 12, 15, 18, … diye giden bir salonda 20. sıraya kadar toplam koltuk 20/2·(2·12 + 19·3) = 810’dur.
Ayçiçeğinin çekirdek spiralleri ve kozalak pullarının sayıları çoğu zaman Fibonacci sayılarıdır: 21, 34, 55. Doğadaki bu örüntü, dizinin en bilinen görünümüdür.
50 soruluk test · sigma gösterimi ve sınırlar, aritmetik toplamın iki biçimi, geometrik toplamın türetimi ve r = 1 istisnası, Fibonacci dizisi ile indirgeme bağıntısı, terim mi toplam mı ayrımı
Σ simgesi çok terimli toplamları kısaca yazmaya yarar.
a₁ + a₂ + … + aₙ toplamı Σ (k = 1’den n’ye) aₖ diye yazılır.
k: indis/değişken · 1: alt sınır · n: üst sınır
Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ · alt sınır p ise terim sayısı n – p + 1.
Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n – 1)·d)
Son terim biliniyorsa birinci, ortak fark biliniyorsa ikinci formül.
Özel hâl: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Sₙ = a₁ · (1 – rⁿ) / (1 – r) · (r ≠ 1)
Eşdeğer yazım: a₁·(rⁿ – 1)/(r – 1).
r = 1 ise Sₙ = n · a₁ — formülün paydası sıfır olurdu.
Türetim: Sₙ’i r ile çarpıp çıkar, ortadaki terimler götürür.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (n > 2) —
indirgemeli bir dizidir.
Genel terim: (1/√5)·[((1+√5)/2)ⁿ – ((1–√5)/2)ⁿ].
1) Durumu diziye çevir, ilk üç terimi yaz.
2) Türü belirle: fark mı sabit, oran mı sabit, önceki terimlere mi bağlı.
3) Terim mi (aₙ) toplam mı (Sₙ) soruluyor, karar ver.
4) Sonucu diziye geri koyup denetle; n tam sayı çıkmalı.
aₙ tek terim, Sₙ toplamdır — karıştırma.
Genel terimde rⁿ⁻¹, toplamda rⁿ vardır.
Geometrik toplamda r = 1 durumu ayrı ele alınır.