Üssü bilinmeyen
bir denklem
3ˣ = 9 ise x = 2’dir. Peki 3ˣ = 10 ise x kaçtır? Bu eşitliği sağlayan hiçbir tam sayı yoktur; o gerçek sayıyı yazabilmek için logaritma fonksiyonuna ihtiyaç duyulmuştur. Logaritma, üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur: biri “üs verilince sonucu”, öteki “sonuç verilince üssü” söyler.
a ∈ ℝ⁺ – {1} ve x ∈ ℝ olmak üzere f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = aˣ biçiminde tanımlanan fonksiyonlara üstel fonksiyon adı verilir. a ∈ ℝ⁻ için f(x) = aˣ gerçek sayılar kümesinde bir fonksiyon belirtmez; bu yüzden üstel fonksiyonda taban negatif olmamalı, 0 veya 1 de olmamalıdır. Her üstel fonksiyonda f(0) = 1 olduğu için grafikler y eksenini (0, 1) noktasında keser. f: ℝ → ℝ⁺ tanımlı üstel fonksiyonlar birebir ve örtendir; bu yüzden ters fonksiyonları tanımlıdır ve o ters fonksiyon logaritma fonksiyonudur.
a > 1 için f(x) = aˣ fonksiyonu artandır. Ayrıca a değeri arttıkça fonksiyonun grafiği y eksenine yaklaşır: 5ˣ, 2ˣ’ten daha dik yükselir.
0 < a < 1 için f(x) = aˣ fonksiyonu azalandır. Bu aralıkta a değeri arttıkça grafik y ekseninden uzaklaşır — yani daha yayvan iner.
a = 1 olsaydı f(x) = 1ˣ = 1 çıkardı; bu sabit fonksiyondur, birebir değildir ve tersi yoktur. Logaritmanın tabanının 1’den farklı olmasının sebebi tam olarak budur.
a ∈ ℝ⁺ – {1} olmak üzere f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = aˣ biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun tersi olan f⁻¹ fonksiyonuna, a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir ve f⁻¹: ℝ⁺ → ℝ, f⁻¹(x) = logₐx biçiminde ifade edilir. a ∈ ℝ⁺ – {1} için y = aˣ ise x = logₐy biçiminde yazılır. Logaritma fonksiyonuna neden ihtiyaç duyuldu? 3ˣ = 9 ise x = 2, 2ˣ = 16 ise x = 4’tür; ama 3ˣ = 10 eşitliğini sağlayan bir tam sayı yoktur. O gerçek sayıyı ifade edebilmek için 3ˣ = 10 ⇒ x = log₃10 yazılır.
f(x) = log_{g(x)}h(x) fonksiyonunun tanımlı olması için üç
koşul birlikte sağlanmalıdır:
• g(x) > 0
• g(x) ≠ 1
• h(x) > 0
Logaritmanın tersi olan üstel fonksiyonlar birebir ve örten olduğundan logaritma fonksiyonu da birebir ve örtendir. Bu yüzden logₐf(x) = logₐg(x) ise doğrudan f(x) = g(x) yazılabilir.
a > 1 ise y = logₐx artandır; 0 < a < 1 ise azalandır. a > 1 iken taban büyüdükçe grafiğin kolu x eksenine yaklaşır; 0 < a < 1 iken taban büyüdükçe kol x ekseninden uzaklaşır. y = logₐ(x – b) grafiği de aynı yönü korur.
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu veya bayağı logaritma fonksiyonu denir ve f(x) = log₁₀x yerine kısaca f(x) = log x yazılır. Uyarı: log₁₀10 = 1 ve log 1 = 0’dır. Euler’in sayısı (e), aslında sonsuz bir dizi olan bir matematiksel sabittir. Matematikçi Leonhard Euler tarafından keşfedilmiş, yaklaşık değerinin 2,7182… biçiminde bir irrasyonel sayı olduğu gösterilmiş ve e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … olarak ifade edilmiştir. Tabanı e irrasyonel sayısı olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve f(x) = logₑx yerine f(x) = ln x yazılır. y = ln x ise x = e^y’dir; ayrıca ln e = 1 ve ln 1 = 0’dır.
Kullanım alanları: matematik ve ekonomide bileşik faiz hesaplamalarında, tıpta ilaçların etki süresinin hesaplanmasında, kimyada buhar basıncı ve tepkime hızları hesaplamalarında, fizikte elektromotor kuvvetin hesaplanmasında.
log x = log₁₀x (taban yazılmazsa 10’dur)
ln x = logₑx
log 1 = 0 · log 10 = 1 · ln 1 = 0 · ln e = 1
John Napier (1550-1617) logaritmayı bulan İskoçyalı matematikçidir; 1614’te yazdığı eserinde aritmetik dizi ile geometrik diziyi karşılaştırarak logaritma kavramını kazandırmıştır. Adı, orantıların sayısı anlamındaki logos ile aritmos sözcüklerinden gelir. Gelenbevi İsmail Efendi (1730-1790) ise “Logaritma Şerhi” adıyla da tanınan eserinde logaritma cetvellerinin nasıl oluştuğunu ve dayandıkları esasları açıklamıştır.
Logaritmanın bütün özellikleri üslü sayıların özelliklerinden gelir. logₐx = n demek x = aⁿ demektir; çarpmada üsler toplandığı için logaritmada çarpım toplama, bölüm farka dönüşür. Aşağıdaki gezginde yedi özelliğin her biri hem kural hem de sayısal doğrulamasıyla veriliyor.
logₐa = 1 · logₐ1 = 0
logₐ(x · y) = logₐx + logₐy
logₐ(x / y) = logₐx – logₐy
logₐxⁿ = n · logₐx
logₐb = log_c b / log_c a
Buradan iki sonuç daha çıkar:
logₐb = 1 / log_b a ve zincir çarpımı
logₐb · log_b c · log_c d · … · log_m n = logₐn.
logₐ(x + y) ile logₐx + logₐy aynı şey değildir. Toplama dönüşen şey çarpımdır. Örnek: log₂(4 + 4) = 3 iken log₂4 + log₂4 = 4’tür. Bu uyarı ders kitabında ayrıca yazmıyor; özelliklerin en sık karıştırılan yeri burasıdır.
Tabanı 1’den farklı pozitif gerçek sayı olan ve bilinmeyenin üs olarak bulunduğu denklemlere üstel denklemler denir; çözümlerinde üslü sayıların veya logaritmik fonksiyonların özellikleri kullanılır. İçinde bilinmeyenin logaritmasını bulunduran denklemlere logaritmik denklemler denir. Logaritmik denklemlerde logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şartının yanı sıra taban x’e bağlı bir fonksiyon ise tabanın da pozitif ve 1’den farklı olması şartı aranır.
a ∈ ℝ⁺ – {1} ve b ∈ ℝ olmak üzere:
• f(x) > 0 için logₐf(x) = b ⟺ f(x) = a^b
• f(x) > 0, g(x) > 0, f(x) ≠ 1 için log_{f(x)}g(x) = b ⇒ g(x) = f(x)^b
• f(x) > 0, g(x) > 0 için logₐf(x) = logₐg(x) ⇒ f(x) = g(x)
1. Logaritmik fonksiyon yalnız bırakılır.
2. Logaritmanın tabanı karşıya atılarak üstel denkleme
dönüştürülür.
3. Denklem çözülür ve çözüm kümesindeki f(x) > 0
şartını sağlayan değerler alınır.
4. Taban x’e bağlı bir fonksiyon ise g(x) > 0 ve
g(x) ≠ 1 şartı aranır.
Tabanı 1’den farklı pozitif gerçel sayı, üssü ise bilinmeyen bulunduran üslü ifadelerin bulunduğu eşitsizliklere üstel eşitsizlikler denir. a^f(x) ≥ a^g(x) için a > 1 ise f(x) ≥ g(x), 0 < a < 1 ise f(x) ≤ g(x) olur. Tabanı 1’den farklı pozitif gerçel sayı, içi ise pozitif olan fonksiyon bulunduran logaritmaların eşitsizliğine logaritmik eşitsizlikler denir. logₐf(x) ≤ logₐg(x) için a > 1 ise f(x) ≤ g(x) — logaritma fonksiyonu artandır, eşitsizlik yön değiştirmez —; 0 < a < 1 ise f(x) ≥ g(x) — fonksiyon azalandır, eşitsizlik yön değiştirir. Ayrıca logaritmanın tanımı gereği f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.
a^f(x) ≥ a^g(x) için
a > 1 ⇒ f(x) ≥ g(x)
0 < a < 1 ⇒ f(x) ≤ g(x)
Örnek: 2^x > 8 ⇒ x > 3, ama (1/2)^x > 8 ⇒ x < –3.
logₐf(x) ≤ logₐg(x) için
a > 1 ⇒ f(x) ≤ g(x)
0 < a < 1 ⇒ f(x) ≥ g(x)
Her durumda f(x) > 0 ve g(x) > 0 şartı ayrıca
denetlenir.
log₂(x – 3) < log₂(2x) eşitsizliğinde a > 1 olduğu için x – 3 < 2x, yani x > –3 çıkar. Ama x – 3 > 0 şartı da gerekir; gerçek çözüm x > 3’tür. Tanım koşulu denetlenmezse cevap her zaman geniş çıkar.
Üstel fonksiyon “her adımda aynı oranda çoğalma”, logaritma ise “kaç adımda oraya ulaşıldı” demektir. İkisi de günlük hayatta düşündüğünden çok daha fazla karşına çıkar.
Paylaştığın video her gün izlenmesini iki katına çıkarıyorsa 10. günde izlenme 2¹⁰ = 1024 kat olur. “Kaç günde 1 milyona ulaşır?” sorusunun cevabı ise bir logaritmadır: log₂1000000 ≈ 20.
Tekrar etmediğin bilgi her gün belirli bir oranda azalır; kalan miktar 0 < a < 1 tabanlı azalan bir üstel fonksiyondur. Grafiğin hızla düşüp sonra yayvanlaşması, ilk tekrarın en değerli tekrar olmasının sebebidir.
Ses düzeyinin birimi desibel logaritmik bir ölçektir. Sesi “iki kat” açtığını sandığın anda şiddet çok daha fazla artmış olabilir; kulak için tehlikeli olan da budur.
Şarj yüzde 80’den sonra yavaşlar; kalan boşluk her dakika aynı oranda kapanır. Bu, azalan üstel bir modeldir ve son yüzde 20’nin neden bu kadar uzun sürdüğünü açıklar.
Çoğu oyunda bir sonraki seviye için gereken deneyim puanı sabit oranda artar. Puan üstel büyürken senin seviyen logaritmik artar — ilk seviyeler hızlı, sonrakiler giderek yavaş gelir.
Hasta sayısı her gün aynı oranla çoğalıyorsa artış üsteldir. “Kaç gün sonra sınıfın yarısı hasta olur?” sorusu üssü bilinmeyen bir denklemdir ve logaritma ile çözülür.
Her katlamada kalınlık iki katına çıkar: n katlamada 2ⁿ kat. 42 katlamada kalınlığın Ay’a ulaşması, üstel büyümenin sezgiye ne kadar ters geldiğinin klasik örneğidir.
Bir oktav yukarı çıkmak frekansı iki katına çıkarır. Kulağın perdeleri eşit aralıklı duymasının sebebi, frekansın üstel, algının ise logaritmik olmasıdır.
Telefonun kamerasında “bir durak” ışığı iki katına çıkarır. Ayarların ölçeği eşit aralıklı görünse de arkasındaki sayılar 2’nin kuvvetleridir.
58 soruluk test · üstel fonksiyonun tanımı ve grafiği, logaritmanın ters fonksiyon oluşu, onluk ve doğal logaritma, yedi logaritma özelliği, üstel ve logaritmik denklem ile eşitsizliklerin çözümü
a ∈ ℝ⁺ – {1} olmak üzere f: ℝ → ℝ⁺, f(x) = aˣ. Taban negatif, 0 ya da 1 olamaz. f(0) = 1 olduğu için grafik y eksenini (0, 1)’de keser. a > 1 iken artan, 0 < a < 1 iken azalandır. Birebir ve örtendir.
f⁻¹: ℝ⁺ → ℝ, f⁻¹(x) = logₐx. y = aˣ ise x = logₐy’dir. Grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. log_{g(x)}h(x) için g(x) > 0, g(x) ≠ 1 ve h(x) > 0 koşulları birlikte aranır.
log x = log₁₀x onluk (bayağı) logaritmadır;
log 10 = 1, log 1 = 0.
ln x = logₑx doğal logaritmadır;
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + … ≈ 2,7182 · ln e = 1, ln 1 = 0.
logₐa = 1 · logₐ1 = 0
logₐ(x·y) = logₐx + logₐy · logₐ(x/y) = logₐx – logₐy
logₐxⁿ = n·logₐx · log_{aⁿ}x^m = (m/n)·logₐx
logₐb = log_c b / log_c a · logₐb = 1 / log_b a
a^{log_b c} = c^{log_b a}
logₐf(x) = b ⟺ f(x) = a^b
log_{f(x)}g(x) = b ⇒ g(x) = f(x)^b
logₐf(x) = logₐg(x) ⇒ f(x) = g(x)
Bulunan kökler tanım koşullarına göre denetlenir.
a > 1 ise yön korunur, 0 < a < 1 ise yön
değişir. Logaritmik eşitsizlikte f(x) > 0 ve g(x) > 0 ayrıca aranır.
Uyarı: logₐ(x + y) ≠ logₐx + logₐy. Toplama dönüşen şey çarpımdır.