Bir kök değil,
sonsuz kök
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere trigonometrik denklem denir. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için bu denklemlerin çözüm kümesi genellikle tek bir sayı değil, k ∈ ℤ ile yazılan sonsuz elemanlı bir kümedir. Bu ünitede o kümenin nasıl kurulduğunu göreceğiz.
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerlere denklemin kökleri, köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Buradaki “bazı değerleri için doğru” ifadesi önemlidir: sin²x + cos²x = 1 her x için doğrudur, o bir özdeşliktir; sin x = 1/2 ise yalnız belirli x değerleri için doğrudur, o bir denklemdir.
Denklemi sağlayan her x değerine kök denir. sin x = 1/2 denkleminin köklerinden biri π/6’dır; ama tek kök o değildir.
Köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir ve Ç ile gösterilir. Periyodiklik yüzünden bu küme k ∈ ℤ parametresiyle yazılır.
Özdeşlik her değer için doğrudur, denklem yalnız bazı değerler için. sin 2x = 2·sin x·cos x bir özdeşliktir; sin 2x = 1 bir denklemdir. Denklemi çözerken özdeşlikleri araç olarak kullanırız.
a ∈ [–1, 1] olmak üzere sin x = a denkleminin [0, 2π) aralığında bir kökü θ ise çözüm kümesi Ç = {x | x = θ + k · 2π v x = π – θ + k · 2π, k ∈ ℤ} biçimindedir. Yine a ∈ [–1, 1] olmak üzere cos x = a denkleminin [0, 2π) aralığında bir kökü θ ise çözüm kümesi Ç = {x | x = θ + k · 2π v x = – θ + k · 2π, k ∈ ℤ} biçimindedir. İkisinde de iki kök ailesi vardır ama ikinci aile farklı yerden gelir: sinüs değeri ordinat olduğu için ikinci kök y eksenine göre simetrik olan π – θ, kosinüs değeri apsis olduğu için ikinci kök x eksenine göre simetrik olan –θ’dır.
x = θ + k·2π veya x = π – θ + k·2π
Aynı ordinatı veren ikinci nokta, birim çemberde y eksenine göre simetriktir.
Örnek: sin x = 1/2 için θ = π/6 ve ikinci kök 5π/6’dır.
x = θ + k·2π veya x = –θ + k·2π
Aynı apsisi veren ikinci nokta, x eksenine göre simetriktir.
Örnek: cos x = 1/2 için θ = π/3 ve ikinci kök –π/3 (yani 5π/3) olur.
Sinüs ve kosinüsün değer kümesi [–1, 1] olduğu için sin x = 2 ya da cos x = –1,5 denklemlerinin çözümü yoktur; çözüm kümesi boş kümedir. Bu yüzden çözüme başlamadan önce a’nın [–1, 1] aralığında olup olmadığına bakılır.
a ∈ ℝ olmak üzere tan x = a denkleminin bir kökü θ ise çözüm kümesi Ç = {x | x = θ + k · π, k ∈ ℤ} biçimindedir. Aynı biçimde a ∈ ℝ olmak üzere cot x = a denkleminin bir kökü θ ise çözüm kümesi Ç = {x | x = θ + k · π, k ∈ ℤ} biçimindedir. Buradaki iki fark dikkat ister: a herhangi bir gerçek sayı olabilir (tanjant ve kotanjantın değer kümesi ℝ’dir) ve tek bir kök ailesi vardır, çünkü bu iki fonksiyonun periyodu 2π değil π’dir.
tan x = 100 denkleminin de çözümü vardır. Tanjant ve kotanjantta “çözüm yok” durumu, sağ taraftaki sayı yüzünden oluşmaz.
tan x için x ≠ π/2 + k·π, cot x için x ≠ k·π olmalıdır. Bulunan kökler bu yasak noktalara düşmemelidir — bileşik denklemlerde (örneğin tan 2x) bu şart mutlaka denetlenir.
Sinüs ve kosinüste adım 2π, tanjant ve kotanjantta π’dir. Bunu karıştırmak, doğru kökü bulup çözüm kümesini yanlış yazmaya yol açar — sınavda en sık kaybedilen puan buradadır.
a, b, c ∈ ℝ – {0} olmak üzere a · sin x + b · cos x = c biçimindeki denklemlere sin x ve cos x’e göre lineer (doğrusal) denklem adı verilir. Çözüm için eşitliğin her iki tarafı a ile bölünür, tan α = b/a olacak biçimde bir α açısı seçilir ve sol taraf sinüs toplam formülünün açılımına dönüştürülerek sin(x + α) = (c/a) · cos α elde edilir. Sinüsün değer kümesi [–1, 1] olduğundan bu eşitliğin sağ tarafı da bu aralıkta olmalıdır; düzenlendiğinde denklemin çözülebilmesi için c² ≤ a² + b² şartı çıkar. Bu eşitsizlik sağlanmıyorsa çözüm kümesi Ø’dir.
1. Her iki taraf a ile bölünür:
sin x + (b/a)·cos x = c/a
2. tan α = b/a olacak biçimde α seçilir; b/a yerine
sin α / cos α yazılır.
3. Her iki taraf cos α ile çarpılır:
sin x·cos α + cos x·sin α = (c/a)·cos α
4. Sol taraf sinüs toplam formülüdür:
sin(x + α) = (c/a)·cos α
5. Artık elde bilinen bir sin(…) = sayı denklemi vardır.
3·sin x + 4·cos x = 7 denklemine bakalım: a² + b² = 25 ama c² = 49’dur. Şart sağlanmadığı için çözüm kümesi boştur; hesap yapmaya hiç gerek yoktur. Aynı denklemin sağ tarafı 5 olsaydı c² = 25 = a² + b² olur ve sınır durum sağlanırdı.
a, b ∈ ℝ – {0} olmak üzere a · sin x + b · cos x = 0 biçimindeki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklem adı verilir. Çözüm için cos x ≠ 0 olmak üzere eşitliğin her iki tarafı cos x ile bölünür ve gerekli sadeleştirmeler yapılır: a · tan x + b = 0 elde edilir. Buradan tan x = – b/a bulunur. Yani homojen denklem, bir önceki bölümdeki tan x = a denklemine dönüşür ve çözüm kümesi tek aileyle, x = θ + k·π biçiminde yazılır.
Lineer denklemde sağ taraf c ≠ 0’dır ve toplam formülüne dönüştürülür. Homojen denklemde sağ taraf 0 olduğu için cos x’e bölmek yeter; çözülebilirlik şartı aramaya gerek kalmaz.
Denklem tan x = –b/a hâline geldiği için sağ taraf hangi gerçek sayı olursa olsun çözüm kümesi boş çıkmaz. Homojen denklemde “çözüm yok” cevabı gelmez.
Bölme yapılırken cos x ≠ 0 kabul edilir. Peki cos x = 0 bir kök olabilir mi? Olsaydı denklemde a·sin x = 0 kalırdı ve sin x = 0 gerekirdi; ama sinüs ile kosinüs aynı anda sıfır olamaz. Bu gerekçe ders kitabında yazmıyor, bölmenin neden kök kaybettirmediğini açıklar.
Trigonometrik denklemler, “bu olay tam olarak ne zaman tekrar tekrar oluyor?” sorusunun matematik hâlidir. Sonsuz çözüm çıkmasının sebebi de budur: olay bir kez değil, düzenli aralıklarla oluyor.
Salıncağın açısı zamanla sin biçiminde değişir. “Ne zaman en yüksek noktada?” sorusu sin(…) = 1 denklemidir ve cevabı tek bir an değil, düzenli aralıklarla tekrarlayan anlardır.
Bir sesin dalgası s(t) = A·sin(2πft) ile modellenir. “Dalga ne zaman sıfır çizgisini kesiyor?” sorusu sin(2πft) = 0 denklemidir; kökler k·π/(2πf) adımlarıyla gelir.
Sepetin yerden yüksekliği h = r + r·sin θ’dır. “Yüksekliğim 10 m olduğunda hangi açıdayım?” sorusu sin θ = a denklemidir ve iki kök ailesi verir: biri yukarı çıkarken, biri inerken.
Güneşin ufuktaki açısı gün boyunca sinüs gibi değişir. “Saat kaçta gölgem boyumun iki katı olur?” sorusu tan θ = 1/2 denklemine iner ve adımı π olan tek aile verir.
Bir platform sabit hızla dönüyorsa, üstüne atlayabileceğin anlar cos(ωt) = a denkleminin kökleridir. Oyunun “ritmi” dediğin şey çözüm kümesinin adımıdır.
İki farklı ses dalgası a·sin x + b·cos x biçiminde toplanır. Bu toplamın belirli bir değere ulaşıp ulaşamayacağını c² ≤ a² + b² şartı söyler — ses o yüksekliğe hiç çıkamıyor olabilir.
Belirli bir menzile ulaşmak için gereken atış açısı sin 2α = sayı denkleminden çıkar. İki kök ailesi, aynı mesafeye giden iki farklı açıyı (düz ve yüksek atış) verir.
Deniz seviyesi h(t) = h₀ + A·cos(ωt) ile modellenir. “Su ne zaman şu seviyede olur?” sorusunun cevabı iki kök ailesidir: biri su yükselirken, biri alçalırken.
Pedalın en çok kuvvet aktardığı konum belirli bir açıdadır. Pedal her turda oradan geçtiği için “hangi anlarda?” sorusunun cevabı θ + k·2π biçiminde sonsuz elemanlıdır.
45 soruluk test · trigonometrik denklem kavramı, dört temel denklemin çözüm kümesi, lineer denklemde c² ≤ a² + b² şartı ve homojen denklemin tan x = –b/a hâline getirilmesi
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerler kök, köklerin kümesi çözüm kümesidir.
a ∈ [–1, 1] ve [0, 2π) aralığındaki bir kök θ ise
Ç = {x | x = θ + k·2π v x = π – θ + k·2π, k ∈ ℤ}
a ∈ [–1, 1] ve [0, 2π) aralığındaki bir kök θ ise
Ç = {x | x = θ + k·2π v x = –θ + k·2π, k ∈ ℤ}
a ∈ ℝ ve bir kök θ ise ikisinde de
Ç = {x | x = θ + k·π, k ∈ ℤ}
Tek kök ailesi vardır, adım π’dir.
a·sin x + b·cos x = c denklemi, tan α = b/a seçilerek sin(x + α) = (c/a)·cos α hâline getirilir. Çözülebilmesi için c² ≤ a² + b² olmalıdır; sağlanmazsa Ç = Ø.
a·sin x + b·cos x = 0 denklemi cos x’e bölünüp
a·tan x + b = 0, yani tan x = –b/a hâline gelir.
Uyarı 1: |a| > 1 iken sin x = a ve cos x = a’nın çözümü yoktur.
Uyarı 2: sin ve cos’ta adım 2π, tan ve cot’ta π’dir.