Oraya varmadan
nereye gidiyor?
Limit, fonksiyonun bir noktadaki değeriyle değil, o noktanın civarındaki yaklaşımıyla ilgilenir. x bir sayıya soldan ve sağdan yaklaşırken f(x) aynı sayıya gidiyorsa limit vardır — fonksiyon o noktada tanımsız olsa bile. Süreklilik ise bir adım daha ister: limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine de eşit olmalıdır.
Soldan Yaklaşma: x bağımsız değişkeni bir a gerçek sayısına a’dan küçük değerler ile artarak yaklaşıyorsa bu yaklaşım durumuna x’in a’ya soldan yaklaşımı denir ve x → a⁻ ile gösterilir. Örneğin x → 3⁻ gösterimi, x’in 3 değerini almadığını ancak 3’ten küçük 2,3; 2,5; 2,7; 2,8; 2,9; 2,99… değerlerini alarak 3’e yaklaştığını ifade eder. Sağdan Yaklaşma: x bağımsız değişkeni bir a gerçek sayısına a’dan büyük değerler ile azalarak yaklaşıyorsa bu yaklaşım durumuna x’in a’ya sağdan yaklaşımı denir ve x → a⁺ ile gösterilir. x → 3⁺ ise x’in 3,7; 3,5; 3,3; 3,2; 3,1; 3,01… değerlerini alarak 3’e yaklaştığını söyler. x, a sayısına soldan yaklaşırken f(x)’in yaklaştığı L₁ gerçek sayısına f fonksiyonunun x = a apsisli soldan limiti denir; sağdan yaklaşırken yaklaştığı L₂ sayısına ise sağdan limiti denir.
lim (x→a⁻) f(x) = L₁ soldan limit, lim (x→a⁺) f(x) = L₂ sağdan limittir. Üstteki eksi ve artı işaretleri sayının işaretini değil, hangi taraftan yaklaşıldığını gösterir.
x 3 değerini almaz; 2,9 · 2,99 · 2,999 diye artarak yanaşır. Sağdan yaklaşımda ise 3,1 · 3,01 · 3,001 diye azalarak yanaşır. İki yanaşmada da 3 sayısına hiç ulaşılmaz.
x → –2⁻ ifadesi “–2’ye soldan yaklaşım” demektir, yani x = –2,1; –2,01 gibi –2’den küçük değerler alır. Eksi işareti sayının soluna değil, üst köşeye yazılana bakılır.
Bir fonksiyonun x = a apsisli noktada sağdan ve soldan limit değerleri eşit ise fonksiyonun x = a noktasında limiti vardır ve sağ – sol limit değerine eşittir. Bir fonksiyonun x = a apsisli noktada sağdan ve soldan limit değerleri farklı ise fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur. Ayrıca: bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma zorunluluğu yoktur ve bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerinden farklı olabilir. Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki kopukluk olan noktalara kritik noktalar denir; bu noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limitler incelenmelidir. Eğer limiti araştırılan nokta kritik nokta değilse fonksiyonun limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir.
lim (x→a⁻) f(x) = lim (x→a⁺) f(x) = L ise lim (x→a) f(x) = L’dir. Eşit değillerse limit yoktur — “sonsuzdur” ya da “belirsizdir” değil, yoktur.
Grafikteki kopukluk noktalarıdır: sıçrama, delik ya da kuralın değiştiği yer. Yalnız buralarda sağ ve sol limit ayrı ayrı incelenir; başka her yerde limit doğrudan f(a)’dır.
Bir nokta grafikte delikse fonksiyon orada tanımsızdır ama iki taraftan da aynı yere gidildiği için limit vardır. “Tanımsızsa limiti de yoktur” cümlesi yanlıştır.
a, c ∈ ℝ ve f(x) = c sabit fonksiyon olmak üzere lim (x→a) f(x) = c olur. f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ polinom fonksiyonu olmak üzere her x₀ gerçek sayısı için lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) olur. lim f(x) ve lim g(x) limitleri mevcut olmak üzere: toplamın limiti limitler toplamına, farkın limiti limitler farkına, çarpımın limiti limitler çarpımına, bölümün limiti limitler bölümüne (payda limiti sıfırdan farklı olmak üzere) eşittir; k ∈ ℝ için lim [k·f(x)] = k·lim f(x) olur. Ayrıca lim [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ, kök alma (n tek ise doğrudan, n çift ise f(x) ≥ 0 ve limit ≥ 0 şartıyla), lim |f(x)| = |lim f(x)|, üstel fonksiyonda lim c^f(x) = c^(lim f(x)) ve logaritmada lim log_b f(x) = log_b (lim f(x)) geçerlidir. Trigonometrik fonksiyonlar için de lim sin x = sin a, lim cos x = cos a, lim tan x = tan a (a ≠ π/2 + k·π), lim cot x = cot a (a ≠ k·π) olur.
Polinom fonksiyonda limit almak x yerine a yazmaktan ibarettir. Kritik nokta yoktur, kopukluk yoktur. Bu yüzden limit soruları neredeyse hep kesirli, köklü ya da parçalı fonksiyonlardan sorulur.
Bölümün limiti kuralı ancak paydanın limiti sıfırdan farklıysa kullanılabilir. Sıfır çıkıyorsa kural değil, belirsizlik yöntemleri devreye girer (05. bölüm).
n çift ise kök içine girmeden önce f(x) ≥ 0 ve limitin ≥ 0 olması aranır. n tek ise böyle bir şart yoktur; tek dereceden kök negatif sayılarda da tanımlıdır.
f(x) = g(x) (x < a ise), c (x = a ise), h(x) (x > a ise) biçiminde tanımlanan fonksiyonlar için: x = a apsisli noktası dışında bir noktanın limiti araştırılırken o nokta fonksiyonun hangi parçasına ait ise o parçada limit araştırılır — t < a ise lim (x→t) f(x) = lim (x→t) g(x), t > a ise lim (x→t) f(x) = lim (x→t) h(x) olur. x = a apsisli noktasında fonksiyonun kuralı değiştiğinden bu nokta kritik noktadır. Bu noktadaki limit araştırılırken sağdan ve soldan limitleri incelenmelidir: lim (x→a⁻) f(x) = lim (x→a⁻) g(x) = L₁ ve lim (x→a⁺) f(x) = lim (x→a⁺) h(x) = L₂ olsun; L₁ = L₂ ise limit vardır ve bu değere eşittir, L₁ ≠ L₂ ise limit yoktur.
x = a’dan uzaktaki bir noktada limit alırken yalnız o noktanın ait olduğu parça kullanılır; öteki parça hiç işe karışmaz. İkisine birden bakmak yalnızca kritik noktada gerekir.
Tanımdaki “x = a ise c” satırı limiti etkilemez. Limit, x’in a’ya yanaşmasıyla ilgilenir; a’daki değer yalnız süreklilik incelenirken devreye girer.
Üç parçalı bir fonksiyonda iki kritik nokta vardır — kuralın değiştiği her sınır ayrı incelenir. Mutlak değerli fonksiyonlarda kritik nokta, mutlak değerin içini sıfır yapan x değeridir.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ve çarpanlarına ayrılabilen f(x) ve g(x) fonksiyonları için lim (x→a) f(x) = 0 ve lim (x→a) g(x) = 0 olması durumunda lim (x→a) f(x)/g(x) limitinde 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Burada x = a için f(a) = 0 ve g(a) = 0 olduğundan her iki fonksiyonun da (x – a) biçiminde çarpanı vardır. Belirsizlik durumunda pay ve payda çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (x – a) çarpanları sadeleştirilerek belirsizlik giderilir ve limit bulunur.
Bir rasyonel fonksiyon ve o fonksiyonun pay ve paydasındaki ortak bir çarpanın sadeleşmiş hâli bir nokta dışında (kritik nokta) aynı fonksiyonlardır ve grafikleri özdeştir. Kritik nokta, pay ve paydadaki çarpanı sıfır yapan ve belirsizliğe neden olan x değerinin karşılık geldiği noktadır. Kritik nokta rasyonel biçimde ifade edilen fonksiyonun grafiğinde tanımsız, sadeleşmiş fonksiyonda ise tanımlıdır. Limit bir noktadaki fonksiyonun değeri ile değil, o noktanın civarındaki yaklaşımla ilgilendiği için iki fonksiyon arasındaki bu ayrımın limit hesaplamasına bir etkisi yoktur.
f(a) = 0 ise a, f’nin bir köküdür; kalanlı bölme gereği f(x) = (x – a)·q(x) yazılabilir. Aynısı g için de geçerlidir. Sadeleşen çarpanın kaynağı budur.
Limitte 0/0 veya ∞/∞ olması durumunda pay ve paydanın türevinin ayrı ayrı alınması kuralına denir. Belirsizlik ortadan kalkıncaya kadar türev almaya devam edilir. Kuralın aslında Johann Bernoulli tarafından bulunduğu kabul edilse de kaynaklarda L’Hospital adıyla yer alır.
(x² – 4)/(x – 2) sadeleşip x + 2 olsa da asıl fonksiyon x = 2’de hâlâ tanımsızdır. Değişen tek şey grafikteki deliktir; limit ikisinde de 4’tür.
A ⊂ ℝ ve f: A → ℝ bir fonksiyon olsun, a ∈ A olmak üzere lim (x→a⁺) f(x) = lim (x→a⁻) f(x) = f(a) ise f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir. Eğer f fonksiyonu A kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonu A kümesinde süreklidir. Örnekler: bir fonksiyon x = a’da tanımlı ve limiti olduğu hâlde limiti görüntüsüne eşit değilse orada sürekli değildir; x = a’da tanımlı değilse o noktada sürekliliğine bakılmaz; x = a’da tanımlı olduğu hâlde limiti yoksa yine sürekli değildir. Üçünde de sürekli olduğu en geniş küme ℝ – {a} olur. [a, b]’nda tanımlı bir fonksiyon (a, b)’nda sürekli, x = a noktasında sağdan sürekli, x = b apsisli noktasında soldan sürekli ise f fonksiyonu [a, b]’nda süreklidir denir. Polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi gerçek sayılar kümesidir; her noktadaki limiti o noktadaki görüntüsüne eşit olduğu için polinom fonksiyonlar her x gerçek sayısı için süreklidir. f(x) ve g(x) birer polinom fonksiyonu olmak üzere h(x) = f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) fonksiyonu, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının ortak tanımlı oldukları en geniş kümede süreklidir.
1) f(a) tanımlı olmalı · 2) limit var olmalı (sol = sağ) · 3) limit = f(a) olmalı. Üçü birden sağlanmadıkça süreklilikten söz edilmez.
[a, b] aralığının uçlarında iki yandan bakılamaz; bu yüzden a’da sağdan, b’de soldan süreklilik aranır. İçeride ise olağan süreklilik şartı geçerlidir.
Limitin varlığı sürekliliği garanti etmez; tersi ise doğrudur — sürekli bir noktada limit mutlaka vardır ve f(a)’ya eşittir. İki kavramı birbirinin yerine kullanma.
Süreklilik “grafik kalem kaldırılmadan çizilebiliyor mu” sorusudur; limit ise “şu ana varmadan hangi değere doğru gidiliyor” sorusu. İkisi de günlük hayatta karşılığı olan sorular.
Süre bitimine 10 sn kala kalan zaman sürekli azalır ve 0’a yaklaşır; “0 saniye”ye ulaşılan an değil, yaklaşım önemlidir. Bu bir limittir.
Öğrenci kartı 18 yaşına kadar indirimliyse ücret 18 yaşta sıçrar. Soldan limit indirimli, sağdan limit tam ücrettir; ikisi eşit olmadığı için o noktada limit yoktur, fonksiyon süreksizdir.
0–1 kg 40 TL, 1–2 kg 60 TL diye giden tarife parçalı tanımlı bir fonksiyondur; her kilogram sınırı bir kritik noktadır.
Şarj yüzdesi zamanla kesintisiz artar: kalem kaldırılmadan çizilen bir grafik, yani sürekli fonksiyon. Şarj aleti çıkarıldığı anda eğim değişir ama grafik kopmaz.
Skor gol anında 1’den 2’ye sıçrar, aradaki değerlerden geçmez. Skor–zaman grafiği her gol anında süreksizdir.
Asansörün yüksekliği süreklidir (bütün ara değerlerden geçer) ama gösterge ekranındaki kat numarası süreksizdir — aynı olayın iki farklı ölçüsü.
Toplanan puan sürekli artar, seviye ise eşik geçilince bir anda değişir. Puan sürekli, seviye parçalı tanımlıdır.
Sıcaklık gün boyunca sürekli değişir: 18 °C’den 20 °C’ye giderken 19,4 °C de mutlaka yaşanır. Bu, sürekli fonksiyonların en somut örneğidir.
“500 TL üzeri alışverişte kargo bedava” kuralı, 500 TL’de bir kritik nokta yaratır. Soldan ve sağdan yaklaşırken ödenen toplam farklıdır.
52 soruluk test · soldan ve sağdan yaklaşma, limitin varlık şartı ve kritik noktalar, limit özellikleri, parçalı fonksiyonlarda sağ-sol limit, 0/0 belirsizliği ve sadeleştirme, sürekliliğin üç şartı
x → a⁻: a’dan küçük değerlerle artarak yaklaşma ·
x → a⁺: a’dan büyük değerlerle azalarak yaklaşma.
Soldan limit L₁, sağdan limit L₂ ile gösterilir. x hiçbir zaman a değerini almaz.
Sağdan ve soldan limitler eşitse limit vardır ve o
değere eşittir; farklıysa limit yoktur.
Limitin olması için fonksiyonun o noktada tanımlı olma
zorunluluğu yoktur; limit, o noktadaki değerden farklı olabilir.
Kopukluk noktalarına kritik nokta denir; kritik değilse
limit doğrudan f(a)’dır.
Sabit fonksiyonda limit c · polinomda f(x₀).
Toplam, fark, çarpım ve bölümün limiti, limitlerin toplam/fark/çarpım/bölümüdür
(bölümde payda limiti ≠ 0).
lim[k·f] = k·lim f · lim[f]ⁿ = [lim f]ⁿ · lim|f| = |lim f|
Kökte n tek ise şartsız, n çift ise f(x) ≥ 0 ve limit ≥ 0 olmalı.
Üstel ve logaritmada limit içeri girer; sin, cos için lim = sin a, cos a; tan için
a ≠ π/2 + k·π, cot için a ≠ k·π.
Kritik nokta dışındaki bir t için: t < a ise g’de,
t > a ise h’de limit araştırılır.
x = a’da kural değiştiği için burası kritik noktadır: L₁ = L₂ ise limit vardır,
L₁ ≠ L₂ ise limit yoktur.
x = a’daki değer limiti etkilemez.
Pay ve paydanın limiti sıfırsa 0/0 belirsizliği çıkar.
f(a) = 0 ve g(a) = 0 olduğundan ikisinde de (x – a)
çarpanı vardır; çarpanlara ayrılıp sadeleştirilir.
Sadeleşmiş fonksiyon ile asıl fonksiyon kritik nokta
dışında özdeştir; kritik nokta asılda tanımsız, sadeleşmişte tanımlıdır — limite
etkisi yoktur.
L’Hospital kuralı: 0/0 veya ∞/∞ durumunda pay ve
paydanın türevi ayrı ayrı alınır.
lim (x→a⁺) f(x) = lim (x→a⁻) f(x) = f(a) ise f, x = a’da
süreklidir. Her noktada sürekliyse kümede süreklidir.
[a, b]’da süreklilik: içeride sürekli, a’da sağdan, b’de soldan sürekli.
Polinomlar ℝ’de süreklidir; f/g biçimli fonksiyon ortak tanımlı en geniş kümede
süreklidir.
Limit varlığı sürekliliği garanti etmez ·
tanımsız nokta limitsiz demek değildir · x⁻ gösterimi sayının işaretiyle ilgili değildir.