Dizi aslında
bir fonksiyondur
Matematikte ℤ⁺ kümesinden ℝ’ye tanımlanan her fonksiyona özel olarak gerçek sayı dizisi veya kısaca dizi adı verilir. Yani dizi, “sıralı sayılar listesi” değildir; girdisi sıra numarası, çıktısı o sıradaki terim olan bir fonksiyondur. Bu bakış, dizilerle ilgili her şeyi kolaylaştırır.
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere A kümesinin her bir elemanını, B kümesinin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen ilişkiye A’dan B’ye tanımlı bir fonksiyon denir. Matematikte ℤ⁺ kümesinden ℝ’ye tanımlanan her fonksiyona özel olarak gerçek sayı dizisi veya kısaca dizi adı verilir. f(n) = aₙ olmak üzere f: ℤ⁺ → ℝ’ye tanımlanan her fonksiyona dizi adı verilir. Dizi genellikle (aₙ) biçiminde gösterilir ve “aₙ dizisi” olarak okunur. Genel terimi aₙ olan bir dizi (aₙ) = (a₁, a₂, a₃, a₄, …) biçiminde yazılır; buradaki terimler sırayla 1., 2., 3. ve 4. terimdir.
Dizinin girdisi bir pozitif tam sayıdır: 1. terim, 2. terim, 3. terim… Ara değer sorulmaz; a₂,₅ diye bir terim yoktur.
Terimler herhangi bir gerçek sayı olabilir: negatif, kesirli, irrasyonel. “Dizi” sözcüğü terimlerin tam sayı olmasını gerektirmez.
Genel terimi verilmeyen sayı kümeleri dizi belirtmez. “2, 7, 1, 9, …” diye yazılmış bir liste, kuralı bilinmediği için bir dizi değildir; dizinin kimliği genel terimidir.
f(n) = aₙ değerine dizinin n. terimi veya genel terimi adı verilir. Genel terimi aₙ olan bir dizi, pozitif tam sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan bir fonksiyondur; fonksiyonun kuralı ise dizinin genel terimine karşılık gelmektedir. Yani genel terim, fonksiyonun kuralının ta kendisidir: n yerine 1 yazınca birinci terim, 7 yazınca yedinci terim çıkar. Aşağıdaki gezginde beş ayrı genel terim ve ürettikleri diziler var.
aₙ = 3n – 1 dizisinde a₅ = 3·5 – 1 = 14’tür. Terim bulmak, fonksiyonda değer hesaplamakla aynı işlemdir.
“aₙ = 3n – 1 dizisinin kaçıncı terimi 26’dır?” sorusunda denklem kurulur: 3n – 1 = 26 ⇒ n = 9. Çıkan n pozitif tam sayı değilse o sayı dizinin terimi değildir.
Dizinin grafiği ayrık noktalardan oluşur, sürekli bir eğri değildir; çünkü tanım kümesi ℤ⁺’dir. Noktaları birleştirmek yalnız gözle takip etmek içindir. Bu ayrım tanımdan doğrudan çıkar.
A = {1, 2, 3, …, r} ⊂ ℤ⁺ için A → ℝ’ye tanımlanan dizilere sonlu dizi adı verilir; sonlu dizinin belli bir sayıda terimi bulunur. Sonlu dizi olduğu belirtilmediği sürece her dizinin sonsuz dizi olduğu anlaşılmalıdır. Diziler genel terimleri ile belirlidir; genel terimleri verilmeden yazılan sayı grupları dizi belirtmez. Genel olarak c ⊂ ℝ olmak üzere genel terimi aₙ = c olan (aₙ) = (c, c, c, …, c, …) dizisine sabit dizi adı verilir. (aₙ) ve (bₙ) iki dizi olmak üzere n ∈ ℤ⁺ için aₙ = bₙ oluyorsa (aₙ) ve (bₙ) dizilerine eşit diziler adı verilir ve bu durum (aₙ) = (bₙ) biçiminde gösterilir.
aₙ = 7 kuralı da ℤ⁺’dan ℝ’ye bir fonksiyon tanımlar; terimlerin hepsinin aynı olması bunu bozmaz. Sabit dizinin grafiği yatay bir doğru üzerindeki ayrık noktalardır.
Kuralların farklı yazılmış olması dizileri farklı yapmaz. aₙ = n² – 1 ile bₙ = (n – 1)(n + 1) eşit dizilerdir, çünkü her n için aynı değeri verirler. Eşitlik terimler üzerinden denetlenir.
Bazen dizinin bir terimi, kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanır; bu diziye indirgemeli dizi, tanımlama bağıntısına da indirgeme bağıntısı adı verilir. Böyle bir dizide iki şey birlikte verilmek zorundadır: başlangıç terimi (ya da terimleri) ve bir sonraki terimi üreten bağıntı. İkisinden biri eksikse dizi belirli olmaz.
Başlangıç: a₁ = 2
Bağıntı: aₙ₊₁ = aₙ + 3
İkisi birlikte (2, 5, 8, 11, …) dizisini tek biçimde belirler.
Bağıntı birkaç önceki terimi de kullanabilir: a₁ = 1, a₂ = 1 ve aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ kuralı (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) dizisini verir. Bu örnek ders kitabında yer almıyor, ama “bir veya birkaç önceki terim” ifadesinin tam karşılığıdır.
Yalnız aₙ₊₁ = aₙ + 3 verilirse dizi belirli olmaz: a₁ = 0 ile başlarsa (0, 3, 6, …), a₁ = 100 ile başlarsa (100, 103, …) çıkar. Başlangıç terimi bağıntının ayrılmaz parçasıdır.
1’den n’ye kadar ardışık doğal sayıların toplamını veren sayılara üçgensel sayılar denir: 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 olduğundan 1, 3, 6, 10, 15 sayıları üçgensel sayılardır. n sayma sayısı olmak üzere üçgen sayılar n · (n + 1) / 2 biçiminde yazılabilen sayılardır. Ayrıca ardışık iki üçgen sayısının toplamı bir karesel sayıdır: 1 + 3 = 4 = 2², 3 + 6 = 9 = 3², 6 + 10 = 16 = 4² olduğundan 4, 9, 16 sayıları birer karesel sayıdır. n, 1’den büyük sayma sayısı ve ardışık iki üçgensel sayı (n – 1)·n / 2 ile n · (n + 1) / 2 olmak üzere kare sayı (n – 1)·n / 2 + n · (n + 1) / 2 = n² olur.
Tₙ = n · (n + 1) / 2
T₁ = 1, T₂ = 3, T₃ = 6, T₄ = 10, T₅ = 15, T₆ = 21…
Üçgensel sayılar aynı zamanda indirgemeli yazılabilir: T₁ = 1 ve Tₙ₊₁ = Tₙ + (n + 1). Her adımda bir alt sıraya bir nokta daha eklenir.
(n – 1)·n / 2 + n·(n + 1) / 2 ifadesinde ortak paydada n·[(n – 1) + (n + 1)] / 2 = n · 2n / 2 = n² kalır. Nokta çiziminde bu, iki üçgenin birbirine geçip tam bir kare oluşturmasıdır.
Bir şeyin “kaçıncı” olduğu sorulabiliyorsa orada bir dizi vardır. Aşağıdaki dokuz sahnede genel terimin ve indirgeme bağıntısının günlük karşılıklarını göreceksin.
1. denemede 42, 2. denemede 45, 3. denemede 48 net… Bu bir dizidir: girdi deneme numarası, çıktı o denemenin neti. “8. denemede kaç net?” sorusu genel terim sorusudur.
Her gün bir öncekinden 10 puan fazla ödül veren oyun, tam bir indirgeme bağıntısıdır: aₙ₊₁ = aₙ + 10. Başlangıç ödülü verilmezse hesap yapılamaz.
Yoklama listesinde 17 numaranın kim olduğu bellidir; 17,5 numara yoktur. Tanım kümesinin ℤ⁺ olması tam olarak budur.
n kişinin ikişerli tokalaşma sayısı (n – 1)·n / 2, yani bir üçgensel sayıdır. 5 kişi 10, 6 kişi 15 kez tokalaşır.
Herkesin herkesle bir kez oynadığı turnuvada toplam maç sayısı yine üçgensel sayıdır. Fikstür yapan kişi farkında olmadan n(n+1)/2 hesaplar.
Üstte 1, altında 2, onun altında 3 bardak… n sıralı kulede toplam bardak sayısı üçgensel sayıdır. Nokta çizimindeki üçgenin gerçek hâlidir.
“Bu hafta 3 km, her hafta 500 m ekle” programı bir indirgeme bağıntısıdır. 12. haftada kaç km koşacağın genel terimden tek adımda bulunur.
Listeye rastgele eklenmiş şarkıların sırası bir listedir ama dizi değildir: genel terimi yoktur, 40. şarkının ne olacağı kuralla bulunamaz.
Her hafta aynı miktarda harçlık almak sabit dizidir: aₙ = c. Terimler değişmese de bu hâlâ ℤ⁺’dan ℝ’ye bir fonksiyondur.
42 soruluk test · dizinin ℤ⁺’dan ℝ’ye bir fonksiyon oluşu, genel terim, dizi çeşitleri, indirgeme bağıntısı ile üçgensel ve karesel sayılar
ℤ⁺ kümesinden ℝ’ye tanımlanan her fonksiyona gerçek sayı dizisi veya kısaca dizi denir. f(n) = aₙ olmak üzere dizi (aₙ) biçiminde gösterilir ve “aₙ dizisi” olarak okunur.
f(n) = aₙ değerine dizinin n. terimi veya genel terimi denir. Fonksiyonun kuralı, dizinin genel terimine karşılık gelir. (aₙ) = (a₁, a₂, a₃, a₄, …)
A = {1, 2, …, r} ⊂ ℤ⁺ için tanımlanan dizilere sonlu dizi denir ve belli sayıda terimi vardır. Sonlu olduğu belirtilmediği sürece her dizi sonsuz kabul edilir.
aₙ = c olan (c, c, c, …) dizisine sabit dizi denir.
Her n ∈ ℤ⁺ için aₙ = bₙ ise (aₙ) ve (bₙ) eşit dizilerdir
ve (aₙ) = (bₙ) yazılır.
Bir terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan diziye indirgemeli dizi, tanımlama bağıntısına indirgeme bağıntısı denir. Başlangıç terimi mutlaka verilmelidir.
Üçgensel sayılar n·(n + 1)/2 biçiminde yazılır:
1, 3, 6, 10, 15…
Ardışık iki üçgensel sayının toplamı karesel sayıdır:
(n – 1)·n/2 + n·(n + 1)/2 = n². Örnek: 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6 + 10 = 16.
Uyarı: genel terimi verilmeyen sayı grupları dizi belirtmez.