Ortalama değil,
tam o andaki
İki zaman arasındaki ortalama hız, konumdaki değişimin zamandaki değişime oranıdır. Bu iki an birbirine yaklaştırılırsa elde edilen limit, o andaki anlık değişim oranını verir — buna türev denir. Geometrik karşılığı da tektir: bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, aynı noktadaki teğetinin eğimine eşittir.
Doğrusal olarak hareket eden bir hareketlinin t₀. ve t. saniyeler arasındaki ortalama hızı, bu hareketlinin konumundaki değişimin zamandaki değişime oranı ile hesaplanır: V_ort = Δx/Δt = (x(t) – x(t₀)) / (t – t₀). Burada Δx, x bağımlı (t’ye bağlı) değişkenin değişimidir; Δt ise bağımsız değişkenin değişimidir. Buna göre V_ort = Δx/Δt ifadesine değişim oranı denir. Konum–zaman grafiğinde bu oran, iki noktayı birleştiren kesenin eğimidir — bir aralık boyunca ortalama neyin olduğunu söyler, o aralıktaki her anı ayrı ayrı anlatmaz.
Δ (delta) değişim demektir. Δx bağımlı değişkenin, Δt bağımsız değişkenin değişimidir. Değişim oranı bu iki değişimin bölümüdür ve birimi “bağımlı birim / bağımsız birim”dir (m/s gibi).
(t₀, x(t₀)) ve (t, x(t)) noktalarından geçen doğrunun eğimi (x(t) – x(t₀))/(t – t₀)’dir — yani ortalama hızın ta kendisi. Ortalama değişim oranı ile kesenin eğimi aynı sayıdır.
İki saatte 120 km giden araç ortalama 60 km/sa yapmıştır ama hiçbir anda tam 60 gitmiş olması gerekmez. O andaki değeri bulmak için aralığı sıfıra daraltmak, yani türev almak gerekir.
Hareketlinin t₀ anındaki anlık hızı bulunmak istenirse t’nin t₀’a yaklaşırken fonksiyonun değişim oranı hesaplanır: x′(t₀) = lim (t→t₀) (x(t) – x(t₀))/(t – t₀). Bir fonksiyonun t₀ anındaki anlık değişim oranına ise fonksiyonun t₀ noktasındaki türevi denir ve bu türev dx/dt(t₀), (x(t₀))′, Dx(t₀) sembolleri ile gösterilir. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi aynı noktadaki teğetinin eğimine eşittir.
A ⊂ ℝ, f: A → ℝ ve a ∈ A için lim (x→a⁻) (f(x) – f(a))/(x – a) limiti varsa bu limit değerine f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan türevi denir ve f′(a⁻) ile gösterilir; lim (x→a⁺) (f(x) – f(a))/(x – a) limitine ise sağdan türev denir ve f′(a⁺) ile gösterilir. f fonksiyonu sürekli ve soldan türev ile sağdan türev eşit ise lim (x→a) (f(x) – f(a))/(x – a) limitine f fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi denir ve f′(a) ile gösterilir. Bu ifadede x – a = h dönüşümü yapılırsa x = a + h ve x → a iken h → 0 olur; bu durumda türev f′(a) = lim (h→0) (f(a + h) – f(a))/h biçiminde ifade edilebilir.
lim (x→a) (f(x) – f(a))/(x – a) ile lim (h→0) (f(a + h) – f(a))/h aynı sayıyı verir; aralarındaki tek fark x – a = h dönüşümüdür. Soruda hangisi verilirse verilsin ötekine çevrilebilir.
Aynı türev dx/dt(t₀), (x(t₀))′ ve Dx(t₀) sembolleriyle yazılabilir. Farklı kaynaklarda farklı gösterim kullanılır ama anlattıkları şey tektir.
f(2) fonksiyonun değeri, f′(2) ise o noktadaki teğetin eğimidir. Grafiği yüksekte olan bir fonksiyonun türevi negatif olabilir; büyüklük ile eğim ayrı şeylerdir.
c ∈ ℝ olmak üzere f(x) = c ise f′(x) = 0 olur. a ∈ ℝ ve n bir rasyonel sayı olmak üzere f(x) = a · xⁿ ise f′(x) = a · n · xⁿ⁻¹ olur. İkinci kuralda n’in rasyonel olması, kuralın yalnız tam sayı üsler için değil kesirli üsler (yani kökler) için de geçerli olduğu anlamına gelir: √x = x^(1/2) yazılıp aynı kural uygulanabilir. f(x) fonksiyonunun türevi df(x)/dx = f′(x) olmak üzere, bu türevin bir kez daha türevi alınırsa elde edilen d²f(x)/dx² ifadesine f(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir.
f(x) = c ise her x için f(x) – f(a) = 0’dır; oran hep 0 çıkar, limit de 0 olur. Grafiği yatay bir doğru olduğu için teğetinin eğimi de sıfırdır.
Türevin türevidir: f″(x) ya da d²f(x)/dx². Konumun birinci türevi hız, ikinci türevi ivmedir. Aynı işlemi tekrar uygulamaktan başka bir şey değildir.
(5x³)′ = 15x²’dir, 5x² değil. Üs önce katsayıyla çarpılır, sonra bir azalır. n = 1 iken sonuç sabit çıkar; n = 0 iken fonksiyon zaten sabittir ve türevi sıfırdır.
A ⊂ ℝ, f: A → ℝ ve a ∈ A için f sürekli olmak üzere f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan ve sağdan türevleri birbirine eşit ise f fonksiyonu x = a noktasında türevlenebilir. Yani f′(a⁻) = f′(a⁺) = k ise f′(a) = k olur. Bir f fonksiyonu (a, b)’ndaki her noktada türevlenebilir ise bu fonksiyon (a, b)’nda türevlenebilirdir. A ⊂ ℝ, f: A → ℝ ve a ∈ A için f fonksiyonu x = a noktasında sürekli değilse bu noktada türevi yoktur. Bu maddeyi izleyen üç grafik de x = a’da sürekli olmadıkları için o noktada türevli değildir.
Soldan türev f′(a⁻), sağdan türev f′(a⁺). Aynı oranın limiti alınır, yalnız yaklaşma yönü değişir. Eşitlerse türev vardır ve o ortak değere eşittir.
Türevli ⇒ sürekli doğrudur, ama tersi doğru değildir: bir nokta sürekli olduğu hâlde türevsiz olabilir. Bu tek yönlü ilişki, ünitenin en çok sorulan noktasıdır.
Bir noktada süreklilik bozulmuşsa türev hesabına hiç girilmez — sonuç baştan bellidir: türev yoktur. Önce süreklilik, sonra tek yönlü türevler denetlenir.
A ⊂ ℝ, f: A → ℝ ve a ∈ A için f fonksiyonu x = a noktasında sürekli olsa bile türevlenebilir olmayabilir. Grafikte a noktasına soldan yaklaşırken eğriye çizilen teğet d doğrusu, sağdan yaklaşırken çizilen teğet ise k doğrusudur. d doğrusunun eğimi m_d ve k doğrusunun eğimi m_k olarak ifade edilirse f′(a⁻) = m_d ve f′(a⁺) = m_k olur. Burada m_d ≠ m_k olduğundan fonksiyonun a noktasındaki sağdan ve soldan türevleri farklıdır; o hâlde f fonksiyonunun x = a noktasında türevi yoktur. f fonksiyonunun x = a apsisli noktasında sürekli olmasına rağmen bu noktada türevi yoktur; bu tür noktalara fonksiyonun kırılma noktası denir.
f(x) = |x| fonksiyonu x = 0’da süreklidir ama soldan türevi –1, sağdan türevi +1’dir. İki değer farklı olduğu için orada türev yoktur; x = 0 bir kırılma noktasıdır. (Bu örnek ders kitabında yazmıyor, tanımın doğrudan sonucudur.)
Grafikte keskin köşe görüyorsan orada türev yoktur. Kopukluk varsa hem limit hem türev sorunludur; köşe varsa yalnız türev yoktur, süreklilik bozulmamıştır.
“Sürekli olduğuna göre türevi vardır” cümlesi yanlıştır. Kırılma noktası tam olarak bu cümleyi çürütmek için tanımlanmıştır. Tersi ise doğrudur: türevi olan her nokta süreklidir.
Türev, bir büyüklüğün o anda ne kadar hızlı değiştiğini söyler. Aşağıdaki sahnelerin hepsinde aslında bir türev okunuyor.
Gösterge ortalama hızı değil o andaki hızı yazar. Yani konumun zamana göre türevini. Yolculuk sonunda hesaplanan “ortalama hız” ise kesenin eğimidir.
Telefondaki koşu uygulaması hem “ortalama tempo” hem “anlık tempo” gösterir. Birincisi Δx/Δt, ikincisi türev.
“Dakikada %2 doluyor” cümlesi, şarj yüzdesinin zamana göre türevidir. %80’den sonra hız düşer: türev küçülür, yüzde hâlâ artmaktadır.
Denemelerdeki netler artıyorsa türev pozitiftir. Artış yavaşlıyorsa netler hâlâ yükselir ama türev küçülüyordur — bu ikisi ayrı bilgidir.
Kaydırağın her noktasındaki dikliği, yüksekliğin yatay uzaklığa göre türevidir. En dik yerde türevin mutlak değeri en büyüktür.
Saatte kazanılan XP, toplam XP eğrisinin türevidir. Görev bittiğinde eğri yataylaşır: türev sıfıra iner, toplam XP sabit kalır.
Üçgen çatının tepe noktasında eğim soldan pozitif, sağdan negatiftir. Yükseklik süreklidir ama tepe bir kırılma noktasıdır: orada tek bir teğet çizilemez.
Ses düğmesini çevirme hızın, ses seviyesinin zamana göre türevidir. Aynı seviyeye iki farklı hızla çıkılabilir; varış noktası aynı, türev farklıdır.
Otobüs kalkarken hissettiğin itilme, hızın türevi olan ivmedir; yani konumun ikinci mertebeden türevi. Sabit hızda giderken bu duygu kaybolur çünkü ikinci türev sıfırdır.
50 soruluk test · değişim oranı ve kesenin eğimi, türevin limitli tanımı ve h dönüşümü, sabit ile kuvvet kuralı, ikinci mertebeden türev, tek yönlü türevler ve kırılma noktası
V_ort = Δx/Δt = (x(t) – x(t₀))/(t – t₀)
Δx bağımlı, Δt bağımsız değişkenin değişimidir. Bu orana
değişim oranı denir ve grafikte
kesenin eğimidir.
Anlık değişim oranı: x′(t₀) = lim (t→t₀) (x(t) – x(t₀))/(t – t₀)
Genel biçim: f′(a) = lim (x→a) (f(x) – f(a))/(x – a)
h dönüşümüyle: f′(a) = lim (h→0) (f(a+h) – f(a))/h
Gösterimler: dx/dt(t₀) · (x(t₀))′ · Dx(t₀)
Bir noktadaki türev, o noktadaki teğetin eğimidir.
f(x) = c ⇒ f′(x) = 0
f(x) = a·xⁿ ⇒ f′(x) = a·n·xⁿ⁻¹ (n rasyonel)
n rasyonel olduğu için kökler (n = 1/2) ve ters kuvvetler (n = –1) de bu kurala girer.
Türevin türevine ikinci mertebeden türev denir:
d²f(x)/dx².
Soldan türev: f′(a⁻) · sağdan türev:
f′(a⁺)
f sürekli ve f′(a⁻) = f′(a⁺) = k ise f′(a) = k’dır.
(a, b)’nin her noktasında türevliyse fonksiyon o aralıkta türevlenebilirdir.
Fonksiyon x = a’da sürekli değilse orada türevi yoktur.
Fonksiyon x = a’da sürekli olsa bile türevlenebilir
olmayabilir. Soldan çizilen teğetin eğimi m_d, sağdan çizilenin m_k olmak üzere
m_d ≠ m_k ise türev yoktur.
Sürekli olduğu hâlde türevi olmayan bu noktalara
kırılma noktası denir.
Türevli ⇒ sürekli doğrudur; sürekli ⇒ türevli
yanlıştır.
Üs önce katsayıyla çarpılır, sonra bir azalır:
(5x³)′ = 15x².
f(a) fonksiyonun değeri, f′(a) ise teğetin eğimidir;
ikisi ayrı sayılardır.