Toplamda kolay,
çarpımda değil
Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamının türevi fonksiyonların türevlerinin toplamıdır. Ama bu rahatlık çarpımda ve bölümde yoktur: çarpımın türevi türevlerin çarpımı değil, f′·g + g′·f’tir. Bileşke fonksiyonda ise iki türev art arda çarpılır — buna zincir kuralı denir.
Türevlenebilen iki fonksiyonun toplamlarının türevi fonksiyonların türevlerinin toplamıdır: (f + g)(x) fonksiyonunun türevi d/dx (f + g)(x) = (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x) olur. Türevlenebilen iki fonksiyonun farkının türevi fonksiyonların türevlerinin farkıdır: d/dx (f – g)(x) = (f(x) – g(x))′ = f′(x) – g′(x) olur. Bu iki kural sayesinde çok terimli bir polinomun türevi her terimin türevi ayrı ayrı alınarak bulunur: (3x⁴ – 5x² + 7x – 2)′ ifadesinde dört terim ayrı ayrı ele alınır ve sonuçlar aynı işaretlerle toplanır.
Farkın türevi, türevlerin farkıdır. Terimin önündeki işaret ne ise türevinde de aynı kalır; (x³ – x²)′ = 3x² – 2x’tir.
Polinomdaki sabit terimin türevi sıfırdır; bu yüzden türev alındığında sabit terim kaybolur. Grafikleri yalnız düşey kaydırılmış iki fonksiyonun türevleri aynıdır.
“Parça parça türev alma” kolaylığı sadece toplam ve farkta geçerlidir. Çarpımda ve bölümde bu yol yanlış sonuç verir; onların kendi kuralları vardır.
f(x) ve g(x) türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere (f · g)(x) fonksiyonunun türevi d/dx (f · g)(x) = (f(x) · g(x))′ = f′(x) · g(x) + g′(x) · f(x) olur. Kuralı okumanın kolay yolu şudur: önce birincinin türevi alınıp ikinci olduğu gibi yazılır, sonra ikincinin türevi alınıp birinci olduğu gibi yazılır, iki sonuç toplanır. Sıra önemli değildir — toplama işlemi yer değiştirmeli olduğu için f′g + g′f ile g′f + f′g aynı sonucu verir.
Sonuçta iki terim vardır: her terimde bir fonksiyonun türevi alınmış, öteki olduğu gibi kalmıştır. Tek terimli bir cevap yazdıysan kural eksik uygulanmıştır.
Çarpanlardan biri sabitse çarpım kuralı gerekmez: (5·f(x))′ = 5·f′(x)’tir. Kurala göre ikinci terim 0·f(x) = 0 olur ve kaybolur — sonuç aynı yere çıkar.
En sık yapılan hata çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmaktır. x·x = x² için doğru sonuç 2x’tir; türevlerin çarpımı ise 1·1 = 1 verir. Tek bir örnek bile bu yolun yanlış olduğunu gösteriyor.
f(x) ve g(x) türevlenebilir iki fonksiyon ve g(x) ≠ 0 olmak üzere (f/g)(x) fonksiyonunun türevi d/dx (f(x)/g(x)) = [f′(x)·g(x) – g′(x)·f(x)] / [g(x)]² olur. Çarpım kuralından iki farkı vardır: ortadaki işaret artı değil eksidir ve sonuç paydanın karesine bölünür. Eksi işareti yüzünden burada sıra değiştirilemez: önce payın türevi çarpı payda, sonra paydanın türevi çarpı pay yazılır.
Payda sıfır olduğunda fonksiyonun kendisi tanımsızdır; türevi de aranmaz. Kuralı yazmadan önce paydanın sıfır olduğu x değerlerini belirle.
Sonucun paydasında [g(x)]² vardır — paydanın türevi değil, kendisinin karesi. Paydanın türevi yalnız payın ikinci teriminde geçer.
Terimlerin yerini değiştirirsen sonucun işareti tersine döner — çarpımdaki gibi masum bir değişiklik değildir. Payda her zaman “payın türevi” ile başlar.
f ve g türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere y = (fog)(x) = f(g(x)) bileşke fonksiyonunun türevi y′ = (fog)′(x) = f′(g(x)) · g′(x)’tir. Ders kitabı bu kuralın nasıl elde edildiğini de gösteriyor: y = f(g(x)) ifadesinde u = g(x) dönüşümü yapılırsa u = g(x) ve y = f(u) olur. y = f(u) ⇒ dy/du = f′(u), u = g(x) ⇒ du/dx = g′(x). İfadeler taraf tarafa çarpılırsa y = (fog)(x) bileşke fonksiyonunun türevi y′ = f′(g(x)) · g′(x) olarak elde edilir. y = f(u) ve u = g(x) olmak üzere dy/dx = (dy/du) · (du/dx) ifadesine zincir kuralı denir.
u = g(x), yani içteki fonksiyondur. Dışarıdaki fonksiyonun türevi u cinsinden alınır, sonra u’nun x’e göre türeviyle çarpılır. İki türev art arda uygulanır.
Bu yazım, kuralın neden çarpma olduğunu gösteriyor: iki değişim oranı zincirleme birbirine bağlanıyor. du sembolleri sadeleşiyormuş gibi görünmesi de kuralı akılda tutmayı kolaylaştırır.
(3x + 1)⁵ ifadesinin türevi 5(3x + 1)⁴ değil, 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴’tür. İçteki fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutmak bu ünitenin en sık hatasıdır.
Sonuç: a ∈ ℝ, n ∈ ℚ ve f(x) sıfırdan farklı türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere y = a · [f(x)]ⁿ ise y′ = a · n · [f(x)]ⁿ⁻¹ · f′(x) olur. Bu, kuvvet kuralının bileşke hâlidir: dıştaki kuvvetin türevi alınır, sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır. Pratik Bilgi: y = √f(x) ⇒ y′ = f′(x) / (2·√f(x)) olur. Bu da aynı sonucun n = 1/2 hâlidir; kökün türevini her seferinde yeniden kurmak yerine doğrudan kullanılabilir.
√f(x) = [f(x)]^(1/2) yazılırsa kural (1/2)·[f(x)]^(–1/2)·f′(x) verir; bu da f′(x)/(2√f(x)) demektir. İki ifade aynı sayıdır.
Sonuçta n’in rasyonel olması, kuralın kesirli ve negatif üsleri de kapsadığı anlamına gelir. 1/[f(x)]³ ifadesi [f(x)]⁻³ yazılıp aynı kuralla türevlenebilir.
[f(x)]ⁿ⁻¹ ifadesinde f(x) olduğu gibi kalır; yalnız üssü bir azalır. Parantezin içindeki fonksiyonu türevleyip yerine yazmak sık yapılan bir karıştırmadır — iç türev ayrı bir çarpan olarak sona yazılır.
Zincir kuralı “A, B’ye bağlı; B de C’ye bağlıysa A ne kadar hızlı değişir” sorusunun cevabıdır. Çarpım ve bölüm kuralları ise iki büyüklüğün birlikte değiştiği durumlarda devreye girer.
Okul kulübünün geliri = bilet sayısı × bilet fiyatı. İkisi de zamanla değişiyorsa gelirin değişim hızı çarpım kuralıyla bulunur: iki etkinin toplamıdır.
Ortalama = toplam puan / sınav sayısı. Hem pay hem payda değişiyorsa ortalamanın değişim hızı bölüm kuralıyla hesaplanır; iki etki birbirini çeker.
Balonun hacmi yarıçapa, yarıçap zamana bağlı. Hacmin zamana göre değişimi zincir kuralıyla bulunur: (dV/dr)·(dr/dt).
Seviye toplam XP’ye, XP oynanan süreye bağlı. Seviye atlama hızın iki oranın çarpımıdır — bu düpedüz zincir kuralıdır.
Hız = adım sayısı × adım uzunluğu. İkisini birlikte artırırsan hızın artışı tek bir çarpımdan fazlasıdır; çarpım kuralının iki terimi bu iki katkıyı ayrı ayrı gösterir.
Kalan veri / kalan gün oranının nasıl değiştiğini merak ediyorsan bu bir bölüm türevidir; payın ve paydanın azalma hızları birbirini dengeler.
Gölge boyu güneşin açısına, açı da zamana bağlı. Gölgenin uzama hızı iki oranın zincirlenmesiyle bulunur.
Toplam süre = şarkı sayısı × ortalama şarkı süresi. Listeye kısa şarkılar eklerken toplam sürenin nasıl değiştiğini çarpım kuralının iki terimi ayrı ayrı anlatır.
Depodaki su yüksekliği hacme, hacim zamana bağlı. Yüksekliğin artış hızı (dh/dV)·(dV/dt) ile bulunur; dar depoda aynı akışla seviye daha hızlı yükselir.
50 soruluk test · toplam ve farkta terim terim türev, çarpım kuralının iki terimi, bölüm kuralında eksi işareti ve paydanın karesi, u dönüşümüyle zincir kuralı, a·[f(x)]ⁿ ve √f(x) sonuçları
(f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x)
(f(x) – g(x))′ = f′(x) – g′(x)
Çok terimli ifadelerde her terimin türevi ayrı alınır, işaretler korunur; sabit terim
kaybolur.
(f(x) · g(x))′ = f′(x)·g(x) + g′(x)·f(x)
Sonuç iki terimlidir: birinin türevi alınırken öteki olduğu gibi kalır.
(f·g)′ türevlerin çarpımı DEĞİLDİR.
(f(x)/g(x))′ = [f′(x)·g(x) – g′(x)·f(x)] / [g(x)]²
· g(x) ≠ 0
Ortadaki işaret eksidir, bu yüzden sıra
değiştirilemez; payda karelenir, türevi alınmaz.
y = (fog)(x) = f(g(x)) ⇒ y′ = f′(g(x)) · g′(x)
Türetim: u = g(x) dönüşümüyle y = f(u) · dy/du = f′(u) · du/dx = g′(x); taraf tarafa
çarpılır.
dy/dx = (dy/du) · (du/dx) ifadesine zincir kuralı denir.
y = a·[f(x)]ⁿ ⇒ y′ = a·n·[f(x)]ⁿ⁻¹·f′(x)
(a ∈ ℝ, n ∈ ℚ, f(x) sıfırdan farklı)
Pratik bilgi: y = √f(x) ⇒ y′ = f′(x) / (2·√f(x))
İkincisi, birincisinin n = 1/2 hâlidir.
(f·g)′ ≠ f′·g′ — x·x = x² örneği bunu tek başına çürütür.
Bölümde sıra ve eksi işareti sonucu belirler.
Bileşkede iç türev g′(x) unutulmaz: (3x+1)⁵ türevi
15(3x+1)⁴’tür.