Türevin işareti
yönü söyler
f′(x) > 0 ise fonksiyon artandır, f′(x) < 0 ise azalandır, f′(x) = 0 ise sabittir. Grafiğe bakmadan, yalnız türevin işaretine bakarak fonksiyonun nereye tırmandığı ve nereden indiği bulunabilir. Tepe ve dip noktalarında teğet yataylaşır: ekstremum noktasında f′(x₀) = 0’dır — ama tersi her zaman doğru değildir.
f: [a, b] → ℝ ve [a, b]’nda sürekli olmak üzere ∀ x₁, x₂ ∈ [a, b] için x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f fonksiyonu [a, b]’nda artandır. f: [a, b] → ℝ ve [a, b]’nda sürekli olmak üzere ∀ x₁, x₂ ∈ [a, b] için x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) oluyorsa f fonksiyonu [a, b]’nda azalandır. Tanımın söylediği şey basittir: artan fonksiyon girdilerin sıralamasını korur, azalan fonksiyon ters çevirir. Bu, aralığın tamamında sağlanmalıdır — tek bir x₁, x₂ çiftinde sağlanması yetmez.
x büyüdükçe f(x) de büyür: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂). Grafik soldan sağa yukarı gider. Girdilerin sıralaması çıktıda aynen korunur.
x büyüdükçe f(x) küçülür: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂). Grafik soldan sağa aşağı iner. Sıralama ters döner.
Bir fonksiyon “artandır” denemez; hangi aralıkta artan olduğu söylenir. f(x) = x² fonksiyonu (–∞, 0]’da azalan, [0, ∞)’da artandır; bütün ℝ’de ne artan ne azalandır.
f: [a, b] → ℝ olmak üzere f fonksiyonu [a, b]’nda artan ise bu aralığın her noktasındaki teğetinin eğimi pozitiftir (θ dar açı), azalan ise teğetinin eğimi negatiftir (θ geniş açı). Ayrıca f: [a, b] → ℝ ve [a, b]’nda sürekli olmak üzere y = f(x) sabit fonksiyon ise m = tan θ = 0’dır. Buradaki θ, teğetin x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açıdır; eğim ile açı arasındaki bağ m = tan θ eşitliğidir. Dar açının tanjantı pozitif, geniş açının tanjantı negatif olduğu için artanlık-azalanlık doğrudan bu açıdan okunabilir.
Teğetin eğimi, x ekseniyle yaptığı açının tanjantıdır. 0° < θ < 90° (dar açı) ⇒ m > 0, 90° < θ < 180° (geniş açı) ⇒ m < 0.
Sabit fonksiyonun grafiği yatay doğrudur; θ = 0° ve m = tan 0° = 0. Türev de sıfırdır — sabit fonksiyon ne artan ne azalandır.
Bir noktada fonksiyonun değeri çok büyük olabilir ama teğetin eğimi negatif olabilir — bu, o noktada fonksiyonun yüksekte ama inmekte olduğu anlamına gelir. Yükseklik ile yön ayrı bilgilerdir.
f: [a, b] → ℝ ve [a, b]’nda sürekli olmak üzere y = f(x) fonksiyonu (a, b)’nda türevlenebilir olsun. ∀ x ∈ (a, b) için: 1. f′(x) > 0 ise f fonksiyonu [a, b]’nda artandır. 2. f′(x) < 0 ise f fonksiyonu [a, b]’nda azalandır. 3. f′(x) = 0 ise f fonksiyonu [a, b]’nda sabittir. Bu üç satır, artanlık-azalanlık sorularının tamamının çözüm yoludur: türev alınır, sıfır yapan değerler bulunur, bu değerlerin ayırdığı aralıklarda türevin işaretine bakılır.
1) f′(x)’i bul · 2) f′(x) = 0 denklemini çöz · 3) kökleri sayı doğrusuna yerleştir · 4) her aralıkta f′’nin işaretine bak · 5) artan ve azalan aralıkları yaz.
Üçüncü kuraldaki “sabittir” sonucu, türevin bütün aralıkta sıfır olmasını ister. Yalnız tek bir noktada sıfır olması fonksiyonu sabit yapmaz; orada yalnız teğet yataylaşır.
Grafik yukarıdayken f büyüktür; grafik yukarı giderken f′ pozitiftir. f′’nin sıfırlandığı yer f’nin sıfırlandığı yer değil, f’nin yataylaştığı yerdir.
f: A → ℝ ve (a, b) ⊂ A olmak üzere bir x₀ ∈ (a, b) için fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri f(x₀) oluyorsa (x₀, f(x₀)) noktasına f fonksiyonunun yerel maksimum noktası denir. Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değerini aldığı noktaya mutlak maksimum noktası, en büyük değerine ise mutlak maksimum değeri denir. Aynı biçimde: bir x₀ ∈ (a, b) için fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri f(x₀) oluyorsa (x₀, f(x₀)) noktasına yerel minimum noktası denir; tanımlı olduğu aralıktaki en küçük değerini aldığı noktaya mutlak minimum noktası, en küçük değerine ise mutlak minimum değeri denir. Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarına genel olarak ekstremum noktaları denir.
Yerel maksimum, yalnız bulunduğu küçük aralıkta en büyüktür. Fonksiyonun başka bir yerinde daha büyük değerler bulunabilir; bu, o noktanın yerel maksimum olmasını engellemez.
Mutlak maksimum, fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın tamamındaki en büyük değerdir. Her mutlak maksimum aynı zamanda yereldir; tersi doğru değildir.
(x₀, f(x₀)) maksimum noktasıdır; f(x₀) ise maksimum değeridir. Soruda “noktayı bulunuz” deniyorsa iki koordinat da yazılır.
Bir fonksiyonun x₀ apsisli noktasında bir ekstremum noktası varsa bu noktada çizilen teğet x eksenine paralel olacağından bu teğetin eğimi sıfırdır; bu yüzden f′(x₀) = 0 olur. Ama hemen ardından üç ayrı uyarı gelir: bir fonksiyon x₀ apsisli noktada tanımlı değilse bu noktada ekstremum noktası yoktur; x₀ apsisli nokta kırılma noktası ise fonksiyonun x₀ noktasında türevi yoktur, ancak fonksiyonun (x₀, f(x₀)) noktasında bir yerel maksimumu vardır; ve bir fonksiyonun x₀ apsisli noktasında teğetinin eğimi sıfır (f′(x₀) = 0) olmasına rağmen bu nokta ekstremum noktası değildir. Yani f′(x₀) = 0 olması ekstremum için ne gerekli ne de yeterli tek başına bir ölçüttür.
f′(x₀) = 0 olan bir noktanın ekstremum olup olmadığı, türevin o noktada işaret değiştirip değiştirmediğine bakılarak anlaşılır: artıdan eksiye geçerse yerel maksimum, eksiden artıya geçerse yerel minimum, işaret değişmezse ekstremum yoktur. (Bu ölçüt ders kitabında ayrıca yazılmıyor; verilen üç kuralın doğrudan sonucudur.)
f(x) = x³ için f′(0) = 0’dır, teğet yataydır — ama fonksiyon x = 0’ın solunda da sağında da artmaktadır. Türev işaret değiştirmediği için burada ekstremum yoktur. Son grafik tam bu durumdur.
Kırılma noktasında türev yoktur ama orada bir yerel maksimum olabilir. “Ekstremum arıyorsam yalnız f′(x) = 0 köklerine bakarım” demek, bu noktaları gözden kaçırır.
“En çok ne zaman”, “en az nerede” soruları hep ekstremum sorularıdır. Artanlık-azalanlık ise “iyiye mi gidiyor kötüye mi” sorusunun matematikteki karşılığı.
Netlerin haftalık grafiğinde yükselen kısımlar f′ > 0, düşen kısımlar f′ < 0’dır. En yüksek net alınan deneme, o dönemin mutlak maksimum noktasıdır.
Top yükselirken yükseklik artar, düşerken azalır. Tam tepede hız sıfırdır, yani yükseklik fonksiyonunun türevi sıfırdır: klasik yerel maksimum.
Sıcaklık sabah artar, öğleden sonra azalır. En sıcak an yerel maksimum, gece yarısındaki en düşük değer mutlak minimumdur.
Şarj takılıyken yüzde artar (f′ > 0), çıkarınca azalır (f′ < 0). Çıkarma anı bir tepe noktasıdır ve orada grafik köşelidir — yani kırılma noktası.
Yıl boyunca üye sayısı bir artıp bir azalabilir; her tepe bir yerel maksimumdur ama yalnız biri o yılın mutlak maksimumudur.
Can azalırken f′ < 0, iksir içince f′ > 0 olur. İksirin içildiği an yerel minimumdur: türev eksiden artıya geçer.
Yokuş yukarı çıkarken yükseklik grafiğinin teğeti dar açı, inişte geniş açı yapar. Düzlükte açı sıfır, eğim sıfırdır.
Uyku süresi grafiğinde sınav haftası bir dip, tatil bir tepedir. İkisi arasındaki fark yerel ekstremumlarla okunur.
Üçgen çatının tepesi en yüksek noktadır ama orada tek bir teğet çizilemez: türev yoktur, buna rağmen yerel maksimum vardır. Kırılma noktası maddesi tam bu durumdur.
50 soruluk test · artan ve azalan fonksiyon tanımı, teğetin eğimi ile dar-geniş açı bağı, f′ işaretinin üç kuralı, yerel ve mutlak ekstremum ayrımı, tanımsız nokta / kırılma noktası / f′ = 0 olduğu hâlde ekstremum olmayan nokta
[a, b]’nda sürekli f için ∀ x₁, x₂ ∈ [a, b]:
x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) ise artandır.
x₁ < x₂ iken f(x₁) > f(x₂) ise azalandır.
Artanlık aralığa bağlıdır; “şu aralıkta artandır” denir.
Artan aralıkta her noktadaki teğetin eğimi
pozitiftir (θ dar açı); azalan aralıkta
negatiftir (θ geniş açı).
Sabit fonksiyonda m = tan θ = 0.
(a, b)’nda türevlenebilir f için ∀ x ∈ (a, b):
f′(x) > 0 ⇒ artan
f′(x) < 0 ⇒ azalan
f′(x) = 0 ⇒ sabit
Çözüm sırası: türev al → f′ = 0 köklerini bul → aralıklarda işarete bak.
x₀ ∈ (a, b) için f(x₀) bu aralıktaki en büyük değerse
(x₀, f(x₀)) yerel maksimum noktasıdır; en küçük değerse
yerel minimum noktasıdır.
Yerel maksimum ve minimum noktalarına genel olarak
ekstremum noktaları denir.
Tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değerin alındığı nokta
mutlak maksimum noktası, o değer
mutlak maksimum değeridir; en küçük için aynısı
mutlak minimumdur.
Her mutlak ekstremum aynı zamanda yereldir; tersi doğru değildir.
Ekstremum noktasında teğet x eksenine paraleldir, yani
f′(x₀) = 0.
Tanımsız noktada ekstremum yoktur.
Kırılma noktasında türev yoktur ama yerel maksimum
olabilir.
f′(x₀) = 0 olduğu hâlde nokta ekstremum olmayabilir
(y = x³, x = 0). Ölçüt: türev orada işaret değiştiriyor mu.